Egzamin połówkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2009/2010

1. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów m, k ∈ R tak, aby funkcja f(x) była ciągła dla dowolnego

x

∈ R

f

(x) =



























































2

π

· arcctg

sin |2x|

x

2

!

dla x < 0

k

2

− 1

dla x = 0



1

π



1

−

x

x

+ cos(m)

dla 0 < x ¬ 1

x

ln |1 − x|

+ 1

dla x > 1

Dla obliczonej nieujemnej wartości parametru k wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji

g

(x) = 3 arc sin



2x + 3

k



−

π

2

2. [4p.] Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = (sin x)

x

ln a

w punkcie o współrzędnej

x

0

= b ·

π

2

, gdzie a = lim

n→∞



2n + 1
2n − 1



5n

, natomiast b jest dodatnim pierwiastkiem równania

x

2

+ 2x − 3 = 0.

[2p.] b) W oparciu o definicję granicy ciągu pokazać, że liczba g = 2 jest granicą ciągu o wyrazie
ogólnym a

n

=

2n−1

n

+2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) Wyznaczyć ekstrema oraz przedziały, w których funkcja y =

3

√

x

2

e

−x

jest jednocześnie

rosnąca i wypukła w górę.
[2p.] b) Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadzić wzór na pochodną
funkcji y = arc sin x.

4. [4p.] Obliczyć całki

a)

Z

e

−x

arcctg (e

x

) dx

b)

Z

ln x

√

x

3

!

2

dx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Obliczyć całkę

Z

dx

sin

2

x

+ sin x cos x + 2 cos

2

x

[2p.] b) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na

Z

tg

n

x dx

.

6. [4p.] Obliczyć całkę

Z

e

αx

sin βxdx,

gdzie α jest równe kwadratowi skalarnemu wektora ~u = [1, 2], a β jest promieniem okręgu o
równaniu x

2

+ y

2

− 2x + 4y + 1 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z rozwinięcia Taylora przedstawić wielomian

W

(x) = x

5

− x

3

+ x − 1

w postaci sumy potęg dwumianu x − 1.