Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

1

/

34

POLITECHNIKA POZNAŃSKA

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ
NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH
Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

ZŁOŻONE STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE

Materiały pomocnicze do wykładu (v1)

[e-mail]

1

k

2

k+1

…

…

n

„k z n”

…

…

…

…

…

•
•

•

•
•

•

•
•

•

•
•

•

•
•

•

•
•

•

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

2

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

1. Wprowadzenie

1. Wprowadzenie

Struktura niezawodnościowa systemu

Struktura niezawodnościowa systemu

Strukturę niezawodnościową systemu otrzymuje się ze struktury ogólnej (o zbiorze E elementów)

systemu przez wydzielenie z niej podzbioru E”.

Strukturę niezawodnościową systemu otrzymuje się ze struktury ogólnej (o zbiorze E elementów)

systemu przez wydzielenie z niej podzbioru E”.

Zbiór E”

⊂ E jest podzbiorem zbioru E, którego

elementy spełniają następujący warunek – być ele-
mentem aktywnym systemu, to znaczy elementem,
którego istnienie w systemie i prawidłowe działanie
jest niezbędne do realizacji przez system wyzna-
czonych zadań (elementy podstawowe) lub być
elementem zdolnym do przejmowania funkcji dzia-
łania innego elementu system (elementy rezerwo-
we), w przypadku, gdy element ten się uszkodzi.

Zbiór E”

⊂ E jest podzbiorem zbioru E, którego

elementy spełniają następujący warunek – być ele-
mentem aktywnym systemu, to znaczy elementem,
którego istnienie w systemie i prawidłowe działanie
jest niezbędne do realizacji przez system wyzna-
czonych zadań (elementy podstawowe) lub być
elementem zdolnym do przejmowania funkcji dzia-
łania innego elementu system (elementy rezerwo-
we), w przypadku, gdy element ten się uszkodzi.

ZBIÓR E ELEMENTÓW

SYSTEMÓW / OBIEKTÓW

ELEMENTY

AKTYWNE

ELEMENTY

PASYWNE

Elementy podstawowe

E

N

Elementy rezerwowe

E

R

Rys. 1.1. Klasyfikacja elementów systemów (obiektów)

Rys. 1.1. Klasyfikacja elementów systemów (obiektów)

Jest to forma połączeń (sprzężeń) między elementami systemu, która w sposób jednoznaczny wy-

znacza niezawodność systemu w zależności od niezawodności jego elementów.

Jest to forma połączeń (sprzężeń) między elementami systemu, która w sposób jednoznaczny wy-

znacza niezawodność systemu w zależności od niezawodności jego elementów.

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

3

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

Klasyfikację form połączeń między elementami systemu (struktur niezawodnościowych) pokazano

na

rys. 1.2

.

Klasyfikację form połączeń między elementami systemu (struktur niezawodnościowych) pokazano

na

rys. 1.2

.

STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE

SYSTEMÓW

PROSTE STRUKTURY

NIEZAWODNOŚCIOWE

szeregowe struktury nieza-

wodnościowe

równoległe struktury nieza-

wodnościowe

szeregowo-równoległe struk-

tury niezawodnościowe

ZŁOŻONE STRUKTURY

NIEZAWODNOŚCIOWE

mostkowe struktury nieza-

wodnościowe

progowe struktury nieza-

wodnościowe

struktury niezawodnościowe

typu siatka

struktury niezawodnościowe

typu sieć

struktury niezawodnościowe

typu ściana

struktury niezawodnościowe

typu komin

równoległo-szeregowe struk-

tury niezawodnościowe

Rys. 1.2. Klasyfikacja struktur niezawodnościowych systemów (obiektów)

Rys. 1.2. Klasyfikacja struktur niezawodnościowych systemów (obiektów)

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

4

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE

SYSTEMÓW

PROSTE STRUKTURY

NIEZAWODNOŚCIOWE

szeregowe struktury nieza-

wodnościowe

równoległe struktury nieza-

wodnościowe

szeregowo-równoległe struk-

tury niezawodnościowe

ZŁOŻONE STRUKTURY

NIEZAWODNOŚCIOWE

mostkowe struktury nieza-

wodnościowe

progowe struktury nieza-

wodnościowe

struktury niezawodnościowe

typu siatka

struktury niezawodnościowe

typu sieć

struktury niezawodnościowe

typu ściana

struktury niezawodnościowe

typu komin

równoległo-szeregowe struk-

tury niezawodnościowe

1

2

n

y y y

y

y

y

1

2

n

R

11

R

13

R

23

R

12

R

11

R

12

R

22

R

13

R

23

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

5

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

1

2

n

y y y

∏

=

=

n

i

i

R

R

1

y

y

y

1

2

n

(

)

∏

=

−

−

=

n

i

i

R

R

1

1

1

R

11

R

12

R

22

R

13

R

23

∏

∏

=

=

−

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

−

=

n

j

m

i

ij

r

s

j

R

R

1

1

1

1

(

)

∏

∏

=

=

−

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

−

=

n

j

m

i

ij

s

r

j

R

R

1

1

1

1

R

11

R

13

R

23

R

12

Ważne!!!

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

6

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

2. Niezawodność obiektów / systemów

o złożonych strukturach niezawodnościowych

2.1. Uwagi wstępne

Obiektami/systemami o strukturach niezawodnościowych złożonych przyjęto w teorii i praktyce nie-

zawodności nazywać systemy nie należące do klasy systemów szeregowo-równoległych.

Podstawowym problemem w procesie analizy i syntezy niezawodnościowej systemów o złożonych

strukturach niezawodnościowych jest problem obliczania ich niezawodności. Szczegółowo problem
ten przedstawiono w pracy Profesora Janusza Migdalskiego

1

.

Do wyznaczania niezawodności systemów o złożonych strukturach niezawodnościowych stosuje się

tzw. metody dekompozycyjne. W myśl tych metod system o złożonych strukturach niezawodnościo-
wych dekomponuje się na pewną liczbę podsystemów o prostych strukturach niezawodnościowych.
Metody te różnią się sposobem dekompozycji systemu o złożonych strukturach niezawodnościowych.
Jedną z tych metod jest metoda dekompozycji prostej.

1

Migdalski J., Podstawy strukturalnej teorii niezawodności. Skrypt Politechniki Świętokrzyskiej nr 57. Kielce, 1978.

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

7

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

2.2. Metoda dekompozycji prostej obliczania niezawodności systemów

o złożonych strukturach niezawodnościowych

Metoda dekompozycji prostej należy do efektywniejszych metod obliczania niezawodności syste-

mów o złożonych strukturach niezawodnościowych. Idea tej metody polega na tym, że system o nie-
zawodnościowej strukturze złożonej zostaje drogą kolejnych operacji strukturalnych przekształcony na
pewną liczbę podsystemów o prostych strukturach niezawodnościowych, tj. podsystemów
o strukturach szeregowych, równoległych, szeregowo-równoległych i równoległo-szeregowych.

Cechą charakterystyczną metody dekompozycji prostej jest to, że dekompozycję n-elementowego

systemu o złożonej strukturze niezawodnościowej wykonuje się zawsze względem

jednego

odpowied-

nio wybranego elementu systemu, w wyniku czego otrzymuje się na dwa podsystemy

(n–1)-

elementowe

nie zawierające elementu według, którego dokuje się dekompozycji. W przypadku gdy

struktury tak otrzymanych

(n–1)-elementowych

podsystemów są nadal złożonymi strukturami nieza-

wodnościowymi, to przeprowadza się ich kolejne dekompozycje dopóty, dopóki nie otrzyma się pod-
systemów o strukturach prostych.

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

8

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

2.3. Ogólna formuła wyznaczania niezawodności systemu

2.3. Ogólna formuła wyznaczania niezawodności systemu

Formalnym zapisem algorytmu obliczeń, opierającego się na opisanej wcześniej metodzie dekompo-

zycji prostej, jest zależność zwana ogólną formułą niezawodności systemu. Dalej przedstawiono kolej-
ne kroki procedury pozyskania ogólnej formuły niezawodności systemu.

Formalnym zapisem algorytmu obliczeń, opierającego się na opisanej wcześniej metodzie dekompo-

zycji prostej, jest zależność zwana ogólną formułą niezawodności systemu. Dalej przedstawiono kolej-
ne kroki procedury pozyskania ogólnej formuły niezawodności systemu.

Niech istnieje system składający się z n elementów i o dowolnej strukturze niezawodnościowej.

Schemat ideowy takiego systemu przedstawia

rys. 2.1a

. Niech i-ty element tego systemu jest elemen-

tem według którego odbywa się jego dekompozycja. Po takiej operacji system n-elementowy składa
się z dwóch podsystemów (

rys. 2.1b

) – pierwszy z nich jest podsystemem

jednoelementowym

a drugi

jest podsystemem

(n–1)-elementowym

.

Niech istnieje system składający się z n elementów i o dowolnej strukturze niezawodnościowej.

Schemat ideowy takiego systemu przedstawia

rys. 2.1a

. Niech i-ty element tego systemu jest elemen-

tem według którego odbywa się jego dekompozycja. Po takiej operacji system n-elementowy składa
się z dwóch podsystemów (

rys. 2.1b

) – pierwszy z nich jest podsystemem

jednoelementowym

a drugi

jest podsystemem

(n–1)-elementowym

.

SYSTEM

n

− elementowy

O DOWOLNEJ

STRUKTURZE

NIEZAWODNOŚCIOWEJ

Podsystem

(n

− 1) − elementowy

i-ty element

a)

b)

Rys. 2.1. Schemat ideowy systemu n-elementowego (a)
i system n-elementowy po dekompozycji prostej (b)

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

9

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

Przyjmuje się interpretację geometryczną (

rys. 2.2

), opis i oznaczenia następujących zdarzeń:

Przyjmuje się interpretację geometryczną (

rys. 2.2

), opis i oznaczenia następujących zdarzeń:

A

– zdarzenie, że system n-elementowy znajduje się w stanie zdatności,

i

A

– zdarzenie, że i-ty element systemu jest zdatny,

i

A

– zdarzenie, że i-ty element systemu jest niezdatny,

I

– zdarzenie pewne, tzn. takie które musi wystąpić.

I

A

i

A

A

i

Rys. 2.2. Interpretacja geometryczna zdarzeń A, A

i

, Ā

i

, i I

Na podstawie opisanych wcześniej zdarzeń oraz na podstawie

rys. 2.2

, można zapisać następujące

tożsamości:

A

I

A

∩

=

(2.1)

i

i

A

A

I

∪

=

(2.2)

a stąd

(

)

A

A

A

A

i

i

∩

∪

=

(2.3)

i

(

)

(

)

A

A

A

A

A

i

i

∩

∪

∩

=

.

(2.4)

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

10

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

(

)

A

A

i

∩

Ponieważ zdarzenia

i

Ponieważ zdarzenia

i

(

)

A

A

i

∩

(

)

A

A

i

∩ są rozłączne (

rys. 2.2

), to na podstawie tożsamości

(2.4)

,

prawdopodobieństwo zdarzenia A przedstawia zależność:

(

)

(

)

A

A

A

A

A

i

i

∩

∪

∩

=

( )

(

)

(

)

A

A

A

A

A

i

i

∩

+

∩

=

P

P

P

.

(2.5)

Ze znanych zależności na prawdopodobieństwa warunkowe postaci:

(

)

(

)

( )

i

i

i

A

A

A

A

A

P

P

P

∩

=

(2.6)

( ) (

)

( )

i

i

i

A

A

A

A

A

P

P

P

∩

=

(2.7)

i zależności

(2.5)

wynika, że:

( )

( )

(

)

( ) ( )

i

i

i

i

A

A

A

A

A

A

A

P

P

P

P

P

⋅

+

⋅

=

(2.8)

Dla uproszczenia zapisu przyjmuje się następujące oznaczenia:

( )

( )

(

)

(

)

i

n

i

A

A

R

P

=

−1

( )

(

)

( )

i

n

i

A

A

R

P

1

=

−

A

R

n

s

P

=

( )

i

i

A

R

P

=

( )

i

i

A

R

P

1

=

−

a na tej podstawie zależność

(2.8)

ma postać:

( )

(

)

(

)

( )

(

)

1

1

1

−

−

⋅

−

+

⋅

=

n

i

i

n

i

i

n

s

R

R

R

R

R

(2.9)

Ważne!!!

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

11

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

( )

(

)

(

)

( )

(

)

1

1

1

−

−

⋅

−

+

⋅

=

n

i

i

n

i

i

n

s

R

R

R

R

R

(2.9)

Zależność

(2.9)

to postać matematyczna

ogólnej formuły niezawodności systemu

. W wyznaczonej

formule, poszczególnym jej częściom, można nadawać interpretację geometryczną.

W myśl takiego podejścia, element na pewno uszkodzony (R

i

= 0) przedstawić można za pomocą

„przerwy” dla przepływu strumienia informacji lub energii (brak możliwości przepływu), zaś element
na pewno zdatny (tzn. R

i

= 1) przedstawia się przez „zwarcie” (brak oporu) dla przepływu strumienia

informacji lub energii.

W myśl interpretacji geometrycznej, realny element struktury niezawodnościowej systemu/obiektu

przedstawia dla przepływu informacji lub energii pewną rezystancję (opór), którego miara określona
jest na przedziale 0 < R

i

< 1.

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

12

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

2.4. Niezawodność systemu o strukturze niezawodnościowej mostkowej

2.4. Niezawodność systemu o strukturze niezawodnościowej mostkowej

System o strukturze niezawodnościowej

mostkowej

jest najprostszym systemem z klasy systemów

złożonych. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej mostkowej (zwanego dalej sys-
temem mostkowym) przedstawiono na

rys. 2.3

.

System o strukturze niezawodnościowej

mostkowej

jest najprostszym systemem z klasy systemów

złożonych. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej mostkowej (zwanego dalej sys-
temem mostkowym) przedstawiono na

rys. 2.3

.

STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE

SYSTEMÓW

PROSTE STRUKTURY

NIEZAWODNOŚCIOWE

szeregowe struktury nieza-

wodnościowe

równoległe struktury nieza-

wodnościowe

szeregowo-równoległe struk-

tury niezawodnościowe

ZŁOŻONE STRUKTURY

NIEZAWODNOŚCIOWE

mostkowe struktury nie-

zawodnościowe

progowe struktury nieza-

wodnościowe

struktury niezawodnościowe

typu siatka

struktury niezawodnościowe

typu sieć

struktury niezawodnościowe

typu ściana

struktury niezawodnościowe

typu komin

równoległo-szeregowe struk-

tury niezawodnościowe

5

1

2

3

4

Rys. 2.3. Schemat ideowy systemu o strukturze

niezawodnościowej mostkowej

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

13

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

Zgodnie z procedurą obliczeniową, odbywającą się z wykorzystaniem formuły

(2.9)

, dokonuje się

dekompozycji systemu mostkowego względem jednego jego elementu. Dobór elementu do dokonania
dekompozycji systemu jest dowolny. Dalej przyjęto, że system mostkowy będzie dekomponowany
względem elementu piątego (

rys. 2.3

). Uwzględniając ten fakt, formułę

(2.9)

można zapisać w postaci:

Zgodnie z procedurą obliczeniową, odbywającą się z wykorzystaniem formuły

(2.9)

, dokonuje się

dekompozycji systemu mostkowego względem jednego jego elementu. Dobór elementu do dokonania
dekompozycji systemu jest dowolny. Dalej przyjęto, że system mostkowy będzie dekomponowany
względem elementu piątego (

rys. 2.3

). Uwzględniając ten fakt, formułę

(2.9)

można zapisać w postaci:

( )

( )

(

)

( )

( )

4

5

5

4

5

5

5

1

R

R

R

R

R

M

⋅

−

+

⋅

=

(2.10)

W wyniku dekompozycji systemu mostkowego względem piątego elementu otrzymuje się m.in. pod-
systemy 4-elementowe o strukturach niezawodnościowych przedstawionych na

rys. 2.4

. Jeden z nich

jest systemem 4-elementowym o strukturze niezawodnościowej równoległo-szeregowej (

rys. 2.4b

),

zaś drugi jest systemem 4-elementowym o strukturze szeregowo-równoległej (

rys. 2.4c

).

Rys. 2.4. Schematy ideowe systemu mostkowego 5-elementowego i podsystemów 4-elementowych otrzymanych

po dekompozycji systemu mostkowego względem jego piątego elementu

5

1

2

3

4

1

3

2

4

1

3

2

4

b)

c)

0

5

=

R

1

5

=

R

a)

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

14

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

( )

( )

(

)

( )

( )

4

5

5

4

5

5

5

1

R

R

R

R

R

M

⋅

−

+

⋅

=

(2.10)

Na tej podstawie składowe formuły

(2.10)

, posiłkując się zależnościami na niezawodność obiek-

tów/systemów o strukturach niezawodnościowych prostych, przedstawiają się następująco:

( )

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

4

2

3

1

4

5

1

1

1

1

1

1

R

R

R

R

R

−

⋅

−

−

⋅

−

⋅

−

−

=

(2.11)

1

3

2

4

a)

( )

( )

(

) (

)

4

3

2

1

4

5

1

1

1

R

R

R

R

R

−

⋅

−

−

=

(2.12)

1

3

2

4

b)

a stąd niezawodność systemu mostkowego przedstawia zależność:

( )

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

+

−

⋅

−

−

⋅

−

⋅

−

−

⋅

=

4

2

3

1

5

5

1

1

1

1

1

1

R

R

R

R

R

R

M

(

)

(

) (

)

(

)

4

3

2

1

5

1

1

1

1

R

R

R

R

R

−

⋅

−

−

⋅

−

(2.13)

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

15

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

( )

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

+

−

⋅

−

−

⋅

−

⋅

−

−

⋅

=

4

2

3

1

5

5

1

1

1

1

1

1

R

R

R

R

R

R

M

(

)

(

) (

)

(

)

4

3

2

1

5

1

1

1

1

R

R

R

R

R

−

⋅

−

−

⋅

−

(2.13)

skąd

( )

(

) (

)

+

−

+

⋅

−

+

⋅

=

4

2

4

2

3

1

3

1

5

5

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

M

(

)

(

)

4

3

2

1

4

3

2

1

5

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

−

+

⋅

−

(2.14)

a po redukcji wyrażenia

(2.14)

otrzymuje się:

( )

+

−

−

+

+

+

=

5

4

3

2

5

4

2

1

5

3

2

5

4

1

4

3

2

1

5

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

M

5

4

3

2

1

5

4

3

1

5

3

2

1

4

3

2

1

2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

+

−

−

−

(2.15)

Ważne!!!

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

16

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

2.5. Niezawodność systemów o progowych strukturach niezawodnościowych

2.5. Niezawodność systemów o progowych strukturach niezawodnościowych

Definicja

Definicja

Ważne!!!

System o progowej strukturze niezawodnościowej jest w stanie zdatności tylko

wówczas, gdy co najmniej

k

spośród

n

jego elementów jest w stanie zdatności.

System o progowej strukturze niezawodnościowej jest w stanie zdatności tylko

wówczas, gdy co najmniej

k

spośród

n

jego elementów jest w stanie zdatności.

Systemy o progowej strukturze niezawodnościowej w teorii i praktyce niezawodnościowej nazywa

się systemami typu „

k

z

n

” zdatnych elementów. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodno-

ściowej progowej przedstawiono na

rys. 2.5

.

Systemy o progowej strukturze niezawodnościowej w teorii i praktyce niezawodnościowej nazywa

się systemami typu „

k

z

n

” zdatnych elementów. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodno-

ściowej progowej przedstawiono na

rys. 2.5

.

STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE

SYSTEMÓW

PROSTE STRUKTURY

NIEZAWODNOŚCIOWE

szeregowe struktury nieza-

wodnościowe

równoległe struktury nieza-

wodnościowe

szeregowo-równoległe struk-

tury niezawodnościowe

ZŁOŻONE STRUKTURY

NIEZAWODNOŚCIOWE

mostkowe struktury nieza-

wodnościowe

progowe struktury nieza-

wodnościowe

struktury niezawodnościowe

typu siatka

struktury niezawodnościowe

typu sieć

struktury niezawodnościowe

typu ściana

struktury niezawodnościowe

typu komin

równoległo-szeregowe struk-

tury niezawodnościowe

„k z n”

Rys. 2.5. Schemat ideowy systemu o strukturze

niezawodnościowej progowej

1

k

2

k+1

…

…

n

…

…

…

…

•

•

•
•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•
•

•

•

•

…

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

17

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

Warto wiedzieć

, że systemy o szeregowych i równoległych strukturach niezawodnościowych są

szczególnymi przypadkami systemów typu „

k

z

n

” zdatnych elementów. System o szeregowej struktu-

rze niezawodnościowej jest systemem „

n

z

n

”, zaś system o równoległej strukturze niezawodnościo-

wej jest systemem „

1

z

n

”.

Warto wiedzieć

, że systemy o szeregowych i równoległych strukturach niezawodnościowych są

szczególnymi przypadkami systemów typu „

k

z

n

” zdatnych elementów. System o szeregowej struktu-

rze niezawodnościowej jest systemem „

n

z

n

”, zaś system o równoległej strukturze niezawodnościo-

wej jest systemem „

1

z

n

”.

1

k

2

k+1

…

…

n

„k z n”

…

…

…

…

…

•
•

•

•
•

•

•
•
•

•
•

•

•
•

•

•
•

•

1

2

n

y y y

„n z n”

„k = n”

y

y

y

1

2

n

„1 z n”

1

k

2

k+1

…

…

n

„k z n”

…

…

…

…

…

•
•

•

•
•
•

•
•

•

•
•

•

•
•
•

•
•

•

„k = 1”

Warto…!

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

18

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

( )

(

)

(

)

Niezawodność systemu „2 z 3” o różnej niezawodności elementów

Niezawodność systemu „2 z 3” o różnej niezawodności elementów

Niech istnieje system 3-elementowy o strukturze niezawodnościowej „

2

z

3

” (

rys. 2.6

) i o nieza-

wodności początkowej elementów R

i

(i = 1,2,3). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,

gdy co najmniej

2

spośród

3

jego elementów są w stanie zdatności.

Niech istnieje system 3-elementowy o strukturze niezawodnościowej „

2

z

3

” (

rys. 2.6

) i o nieza-

wodności początkowej elementów R

i

(i = 1,2,3). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,

gdy co najmniej

2

spośród

3

jego elementów są w stanie zdatności.

„2 z 3”

1

2

1

3

2

3

Rys. 2.6. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej „2 z 3”

Wyznaczenie niezawodności systemu „

2

z

3

”, zgodnie z procedurą obliczeniową wykorzystującą

formułę

(2.9)

, dokonuje się dekomponując ten system względem jednego jego elementu. Dobór ele-

mentu do dokonania dekompozycji systemu jest dowolny. Dalej przyjęto, że system „

2

z

3

” będzie de-

komponowany względem elementu drugiego (

rys. 2.6

). Uwzględniając ten fakt, formułę

(2.9)

można

zapisać w postaci:

Wyznaczenie niezawodności systemu „

2

z

3

”, zgodnie z procedurą obliczeniową wykorzystującą

formułę

(2.9)

, dokonuje się dekomponując ten system względem jednego jego elementu. Dobór ele-

mentu do dokonania dekompozycji systemu jest dowolny. Dalej przyjęto, że system „

2

z

3

” będzie de-

komponowany względem elementu drugiego (

rys. 2.6

). Uwzględniając ten fakt, formułę

(2.9)

można

zapisać w postaci:

( )

(

)

(

)

( )

(

)

1

1

1

−

−

⋅

−

+

⋅

=

n

i

i

n

i

i

n

s

R

R

R

R

R

(2.9)

( )

( )

(

)

( )

( )

2

2

2

2

2

2

3

"

3

2

"

1

R

R

R

R

R

z

⋅

−

+

⋅

=

(2.16)

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

19

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

( )

( )

(

)

( )

( )

2

2

2

2

2

2

3

"

3

2

"

1

R

R

R

R

R

z

⋅

−

+

⋅

=

(2.16)

W wyniku dekompozycji systemu „

2

z

3

” względem drugiego elementu otrzymuje się podsystemy

2-elementowe. Jeden z nich jest systemem 2-elementowym o strukturze niezawodnościowej równole-
głej (gdy element 2-gi jest na pewno zdatny, tzn. R

2

= 1), zaś drugi jest systemem 2-elementowym o

strukturze szeregowej (gdy element 2-gi jest na pewno niezdatny, tzn. R

2

= 0).

Na tej podstawie składowe formuły

(2.16)

, posiłkując się zależnościami na niezawodność obiek-

tów/systemów o strukturach niezawodnościowych prostych, przedstawiają się następująco:

( )

(

) (

)

3

1

2

2

1

1

1

R

R

R

−

⋅

−

−

=

(2.17)

( )

( )

3

1

2

2

R

R

R

⋅

=

(2.18)

a stąd niezawodność systemu „

2

z

3

” przedstawia zależność:

( )

(

) (

)

(

) (

)

3

1

2

3

1

2

3

"

3

2

"

1

1

1

1

R

R

R

R

R

R

R

z

⋅

−

+

−

⋅

−

−

⋅

=

(2.19)

1

2

1

3

2

3

„2 z 3”

skąd

( )

3

2

1

3

1

3

2

2

1

3

"

3

2

"

2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

z

⋅

−

+

+

=

(2.20)

Ważne!!!

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

20

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

( )

(

)

(

)

Niezawodność systemu „2 z 4” o różnej niezawodności elementów

Niezawodność systemu „2 z 4” o różnej niezawodności elementów

Niech istnieje system 4-elementowy o strukturze niezawodnościowej „

2

z

4

” (

rys. 2.7

) i o nieza-

wodności początkowej elementów R

i

(i = 1,2,3,4). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,

gdy co najmniej 2 spośród 4 jego elementów jest w stanie zdatności.

Niech istnieje system 4-elementowy o strukturze niezawodnościowej „

2

z

4

” (

rys. 2.7

) i o nieza-

wodności początkowej elementów R

i

(i = 1,2,3,4). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,

gdy co najmniej 2 spośród 4 jego elementów jest w stanie zdatności.

1

2

1

3

1

4

2

3

2

4

3

4

„2 z 4”

Rys. 2.7. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej „2 z 4”

Niezawodność systemu „

2

z

4

” można wyznaczyć dekomponując sys-

tem względem elementu czwartego (

rys. 2.7

). Uwzględniając ten fakt,

formułę

(2.9)

można zapisać w postaci:

Niezawodność systemu „

2

z

4

” można wyznaczyć dekomponując sys-

tem względem elementu czwartego (

rys. 2.7

). Uwzględniając ten fakt,

formułę

(2.9)

można zapisać w postaci:

( )

(

)

(

)

( )

(

)

1

1

1

−

−

⋅

−

+

⋅

=

n

i

i

n

i

i

n

s

R

R

R

R

R

(2.9)

( )

( )

(

)

( )

( )

3

4

4

3

4

4

4

"

4

2

"

1

R

R

R

R

R

z

⋅

−

+

⋅

=

(2.21)

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

21

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

( )

( )

(

)

( )

( )

3

4

4

3

4

4

4

"

4

2

"

1

R

R

R

R

R

z

⋅

−

+

⋅

=

(2.21)

W wyniku dekompozycji systemu „

2

z

4

” względem

czwartego

elementu otrzymuje się podsystemy

3-elementowe. Jeden z nich jest systemem 3-elementowym o strukturze niezawodnościowej równole-
głej (gdy element 4-ty jest na pewno zdatny, tzn. R

4

= 1), zaś drugi jest systemem 3-elementowym

o strukturze typu „

2

z

3

” (gdy element 4-ty jest na pewno niezdatny, tzn. R

4

= 0).

Na tej podstawie składowe formuły

(2.21)

, posiłkując się zależnościami posiłkując się zależnościami

na niezawodność obiektów/systemów o strukturach niezawodnościowych prostych

oraz

(2.16)

i

(2.19)

,

przedstawiają się następująco:

( )

(

) (

) (

)

3

2

1

3

4

1

1

1

1

R

R

R

R

−

⋅

−

⋅

−

−

=

(2.22)

( )

( )

(

) (

)

(

) (

)

3

1

2

3

1

2

3

4

1

1

1

1

R

R

R

R

R

R

R

⋅

−

+

−

⋅

−

−

⋅

=

(2.23)

a stąd niezawodność systemu „

2

z

4

” przedstawia zależność:

( )

(

) (

) (

)

(

)

+

−

⋅

−

⋅

−

−

⋅

=

3

2

1

4

4

"

4

2

"

1

1

1

1

R

R

R

R

R

z

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

3

1

2

3

1

2

4

1

1

1

1

1

R

R

R

R

R

R

R

⋅

−

+

−

⋅

−

−

⋅

⋅

−

(2.24)

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

22

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

skąd

( )

+

+

−

−

−

+

+

=

4

3

2

1

4

3

2

4

3

1

4

2

1

4

3

4

2

4

1

4

"

4

2

"

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

z

−

⋅

−

+

+

+

3

2

1

3

1

3

2

2

1

2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

4

3

2

1

4

3

1

4

3

2

4

2

1

2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

⋅

+

−

−

(2.25)

i ostatecznie

( )

+

+

+

+

+

+

=

4

3

4

2

3

2

4

1

3

1

2

1

4

"

4

2

"

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

z

4

3

2

1

4

3

2

4

3

1

4

2

1

3

2

1

3

2

2

2

2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

⋅

+

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

(2.26)

1

2

1

3

1

4

2

3

2

4

3

4

„2 z 4”

Ważne!!!

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

23

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

( )

(

)

(

)

Niezawodność systemu „3 z 4” o różnej niezawodności elementów

Niezawodność systemu „3 z 4” o różnej niezawodności elementów

Niech istnieje system 4-elementowy o strukturze niezawodnościowej „

3

z

4

”

(rys. 2.8)

i o nieza-

wodności początkowej elementów R

i

(i = 1,2,3,4). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,

gdy co najmniej 3 spośród 4 jego elementów jest w stanie zdatności.

Niech istnieje system 4-elementowy o strukturze niezawodnościowej „

3

z

4

”

(rys. 2.8)

i o nieza-

wodności początkowej elementów R

i

(i = 1,2,3,4). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,

gdy co najmniej 3 spośród 4 jego elementów jest w stanie zdatności.

1

2

3

1

2

4

1

3

4

2

3

4

„3 z 4”

Rys. 2.8. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej „3 z 4”

Niezawodność systemu „

3

z

4

” wygodnie jest wyznaczać dekomponując system względem elementu

czwartego

(ze względu na wyznaczoną wcześniej formułę na niezawodność systemu „

2

z

3

” – formuła

(

2.20

)). Biorąc to pod uwagę, formułę (

2.9

) dla systemu „

3

z

4

”można zapisać jako:

Niezawodność systemu „

3

z

4

” wygodnie jest wyznaczać dekomponując system względem elementu

czwartego

(ze względu na wyznaczoną wcześniej formułę na niezawodność systemu „

2

z

3

” – formuła

(

2.20

)). Biorąc to pod uwagę, formułę (

2.9

) dla systemu „

3

z

4

”można zapisać jako:

( )

(

)

(

)

( )

(

)

1

1

1

−

−

⋅

−

+

⋅

=

n

i

i

n

i

i

n

s

R

R

R

R

R

(2.9)

( )

( )

(

)

( )

( )

3

4

4

3

4

4

4

"

4

3

"

1

R

R

R

R

R

z

⋅

−

+

⋅

=

(2.27)

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

24

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

( )

( )

(

)

( )

( )

3

4

4

3

4

4

4

"

4

3

"

1

R

R

R

R

R

z

⋅

−

+

⋅

=

(2.27)

W wyniku dekompozycji systemu „

3

z

4

” względem

czwartego

elementu otrzymuje się podsystemy

3-elementowe. Jeden z nich jest systemem 3-elementowym o strukturze niezawodnościowej „

2

z

3

”

(gdy element 4-ty jest na pewno zdatny, tzn. R

4

= 1), zaś drugi jest systemem 3-elementowym o struk-

turze szeregowej (gdy element 4-ty jest na pewno niezdatny, tzn. R

4

= 0).

Na tej podstawie składowe formuły

(2,27)

przedstawiają się następująco:

( )

( )

(

) (

)

(

) (

)

3

1

2

3

1

2

3

4

1

1

1

1

R

R

R

R

R

R

R

⋅

−

+

−

⋅

−

−

⋅

=

(2.28)

( )

( )

3

2

1

3

4

R

R

R

R

⋅

⋅

=

(2.29)

Uwzględniając zależność

(2,20)

można zapisać, że

( )

( )

( )

3

2

1

3

1

3

2

2

1

3

"

3

2

"

3

4

2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

z

⋅

−

+

+

=

=

(2.20)

a stąd

( )

(

)

(

)

3

2

1

4

3

2

1

3

1

3

2

2

1

4

4

"

4

3

"

1

2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

z

⋅

⋅

⋅

−

+

⋅

−

+

+

⋅

=

(2.30)

a stąd ostatecznie niezawodność systemu „

3

z

4

” przedstawia zależność:

( )

4

3

2

1

4

3

2

4

3

1

4

2

1

3

2

1

4

"

4

3

"

3

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

z

⋅

−

+

+

+

=

(2.31)

Ważne!!!

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

25

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

Niezawodność systemów typu „k z n” o identycznej niezawodności elementów

Niezawodność systemów typu „k z n” o identycznej niezawodności elementów

Niech istnieje system n-elementowy o strukturze niezawodnościowej „

k

z

n

” i o identycznej nieza-

wodności elementów

Niech istnieje system n-elementowy o strukturze niezawodnościowej „

k

z

n

” i o identycznej nieza-

wodności elementów

R

1

= R

2

= ... = R

n

= R

(2.32)

R

1

= R

2

= ... = R

n

= R

(2.32)

1

k

2

k+1

…

…

n

„k z n”

…

…

…

…

…

•
•

•

•
•

•

•
•

•

•
•
•

•
•
•

•
•

•

System „

k

z

n

” jest w stanie zdatności tylko wówczas, gdy co najmniej

k

spośród

n

jego elementów

tego systemu jest w stanie zdatności. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia gdy spełniony jest waru-
nek

(2.32)

można wyznaczyć z zależności:

System „

k

z

n

” jest w stanie zdatności tylko wówczas, gdy co najmniej

k

spośród

n

jego elementów

tego systemu jest w stanie zdatności. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia gdy spełniony jest waru-
nek

(2.32)

można wyznaczyć z zależności:

( )

(

)

(

)

i

n

i

n

k

i

n

n

k

R

R

i

n

n

k

R

R

−

=

−

⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∑

1

,

,

"

z

"

(2.33)

Ważne!!!

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

26

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

( )

(

)

(

)

i

n

i

n

k

i

n

n

k

R

R

i

n

n

k

R

R

−

=

−

⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∑

1

,

,

"

z

"

(2.33)

Dalej, wykorzystując zależność

(2.33)

przedstawiono formuły na niezawodność wybranych syste-

mów o strukturach niezawodnościowych typu „

k

z

n

” przy założeniu identycznej niezawodności ich

elementów:

•

niezawodność systemu typu „

2

z

3

” o identycznej niezawodności elementów

( )

(

)

(

)

3

2

3

3

2

3

"

3

z

2

"

2

3

1

3

3

,

2

,

R

R

R

R

i

R

R

i

i

i

⋅

−

⋅

=

−

⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

=

∑

,

(2.34)

•

niezawodność systemu typu „

2

z

4

” o identycznej niezawodności elementów

( )

(

)

(

)

4

3

2

4

4

2

4

"

4

z

2

"

3

8

6

1

4

4

,

2

,

R

R

R

R

R

i

R

R

i

i

i

⋅

+

⋅

−

⋅

=

−

⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

=

∑

,

(2.35)

•

niezawodność systemu typu „

3

z

4

” o identycznej niezawodności elementów

( )

(

)

(

)

4

3

4

4

3

4

"

4

z

3

"

3

4

1

4

4

,

3

,

R

R

R

R

i

R

R

i

i

i

⋅

−

⋅

=

−

⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

=

∑

.

(2.36)

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

27

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

3. Zasada maksymalnej wrażliwości

Zasada maksymalnej wrażliwości wskazuje uwagę na elementy dowolnego systemu, których popra-

wa niezawodności daje maksymalną zmianę niezawodności systemu.

Niezawodność systemu

n

-elementowego można wyznaczyć z formuły:

( )

(

)

(

)

( )

(

)

1

1

1

−

−

−

+

⋅

=

n

i

i

n

i

i

n

s

R

R

R

R

R

(

)

(

)

n

i

i

n

i

R

R

R

R

R

R

,...,

,

1

,

,...,

,

1

1

2

1

1

+

−

−

( )

(

)

(

)

n

i

i

n

i

R

R

R

R

R

R

,...,

,

0

,

,...,

,

1

1

2

1

1

+

−

−

Mając niezawodność systemu

n

-elementowego oblicza się wrażliwości poszczególnych elementów

systemu, przez liczenie kolejnych pochodnych cząstkowych:

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

Δ

=

−

=

Δ

=

−

=

Δ

=

−

=

−

−

−

−

−

−

n

n

n

n

n

n

n

s

i

n

i

n

i

i

n

s

n

n

n

s

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

..

..........

..........

..........

..........

..

..........

..........

..........

..........

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

28

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

Następnie w oparciu o uzyskane wartości liczbowe szuka się wartości maksymalnej z listy wrażli-

wości:

( )

( )

( )

( )

{

}

n

i

n

i

Δ

Δ

Δ

Δ

=

Δ

<

<

,...,

,...,

,

max

2

1

1

oraz element charakteryzujący się największą wrażliwością na zmianę niezawodności systemu (tzn.
taki, że poprawa jego niezawodności daje maksymalną zmianę niezawodności systemu).

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

29

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

3

2

1

R

R

R

R

4. Zastosowanie zasady maksymalnej wrażliwości

4. Zastosowanie zasady maksymalnej wrażliwości

Dla systemu o szeregowej strukturze niezawodnościowej

Dla systemu o szeregowej strukturze niezawodnościowej

1

2

3

R

1

= 0,7 R

2

= 0,8

R

R

3

= 0,9

3

2

1

R

R

R

R

⋅

⋅

=

( )

( )

( )

56

,

0

8

,

0

7

,

0

63

,

0

9

,

0

7

,

0

72

,

0

9

,

0

8

,

0

2

1

3

3

3

1

2

2

3

2

1

1

=

⋅

=

⋅

=

=

Δ

=

⋅

=

⋅

=

=

Δ

=

⋅

=

⋅

=

=

Δ

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

∂

∂

∂

∂

∂

∂

( )

( )

( )

{

}

( )

72

,

0

,

,

max

1

3

2

1

3

1

=

Δ

=

Δ

Δ

Δ

=

Δ

<

<i

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

30

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

(

)

Dla systemu o równoległej strukturze niezawodnościowej

Dla systemu o równoległej strukturze niezawodnościowej

(

)(

)(

)

3

2

1

1

1

1

1

R

R

R

R

−

−

−

−

=

(

)(

)

(

)(

)

[

]

3

2

1

3

2

1

1

1

1

1

R

R

R

R

R

R

−

−

−

−

−

−

=

(

)(

)

(

)(

)

[

]

3

1

2

3

1

1

1

1

1

1

R

R

R

R

R

R

−

−

−

−

−

−

=

(

)(

)

(

)(

)

[

]

2

1

3

2

1

1

1

1

1

1

R

R

R

R

R

R

−

−

−

−

−

−

=

R

3

= 0,9

R

1

= 0,7

1

2

3

R

R

2

= 0,8

( )

(

)(

) (

)(

)

02

,

0

1

,

0

2

,

0

9

,

0

1

8

,

0

1

1

1

3

2

1

1

=

⋅

=

−

−

=

−

−

=

=

Δ

R

R

R

R

∂

∂

( )

(

)(

) (

)(

)

03

,

0

1

,

0

3

,

0

9

,

0

1

7

,

0

1

1

1

3

1

2

2

=

⋅

=

−

−

=

−

−

=

=

Δ

R

R

R

R

∂

∂

( )

(

)(

) (

)(

)

05

,

0

2

,

0

3

,

0

8

,

0

1

7

,

0

1

1

1

2

1

3

3

=

⋅

=

−

−

=

−

−

=

=

Δ

R

R

R

R

∂

∂

( )

( )

( )

{

}

( )

05

,

0

,

,

max

3

3

2

1

3

1

=

Δ

=

Δ

Δ

Δ

=

Δ

≤

≤i

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

31

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

Dla systemu mostkowej strukturze niezawodnościowej

( )

(

)(

)

[

]

+

⋅

−

+

⋅

−

+

=

4

2

4

2

3

1

3

1

5

5

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

M

(

)

[

]

4

3

2

1

4

3

2

1

5

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

⋅

⋅

⋅

−

⋅

+

⋅

−

Badanie wrażliwości

( )

(

)(

) (

)(

)

4

3

2

2

5

3

4

2

4

2

5

1

1

1

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

M

⋅

⋅

−

−

+

−

⋅

−

+

=

=

Δ

∂

∂

( )

(

)(

) (

)(

)

4

3

1

1

5

4

3

1

3

1

5

2

2

1

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

M

⋅

⋅

−

−

+

−

⋅

−

+

=

=

Δ

∂

∂

( )

(

)(

) (

)(

)

4

2

1

4

5

1

4

2

4

2

5

3

3

1

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

M

⋅

⋅

−

−

+

−

⋅

−

+

=

=

Δ

∂

∂

( )

(

)(

) (

)(

)

3

2

1

3

5

2

3

1

3

1

5

4

4

1

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

M

⋅

⋅

−

−

+

−

⋅

−

+

=

=

Δ

∂

∂

( )

(

)(

) (

)

4

3

2

1

4

3

2

1

4

2

4

2

3

1

3

1

5

5

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

M

⋅

⋅

⋅

−

⋅

+

⋅

−

⋅

−

+

⋅

−

+

=

=

Δ

∂

∂

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

32

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

( )

( )

( )

( )

( )

{

}

5

4

3

2

1

5

1

,

,

,

,

max

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

=

Δ

≤

≤i

Gdyby przyjąć, że elementy struktury mostkowej mają wszystkie tę samą niezawodność

Ri = R dla i = 1,2,3,4,5

to

(

)(

) (

)(

)

=

⋅

⋅

−

−

+

−

⋅

−

+

=

Δ

=

Δ

=

Δ

=

Δ

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

1

1

4

3

2

1

(

)(

)

(

)

(

)

=

+

−

−

+

+

−

−

=

−

−

+

−

−

=

4

2

3

4

3

3

2

3

2

2

2

2

1

2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

4

3

2

2

4

R

R

R

R

+

−

+

=

( )

(

)(

) (

)

=

⋅

⋅

⋅

−

⋅

+

⋅

−

⋅

−

+

⋅

−

+

=

Δ

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

5

(

)(

) (

)

=

+

−

+

−

−

=

−

+

−

−

−

=

4

2

4

3

3

2

4

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

4

3

2

2

4

2

R

R

R

+

−

=

4

3

2

2

4

R

R

R

R

+

−

+

(

< = >

)

4

3

2

2

4

2

R

R

R

+

−

4

3

2

2

4

R

R

R

R

+

−

+

>

4

3

2

2

4

2

R

R

R

+

−

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

33

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

( )

( )

( )

( )

( )

{

}

5

4

3

2

1

5

1

,

,

,

,

max

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

=

Δ

≤

≤i

Gdyby przyjąć, że elementy struktury mostkowej mają wszystkie tę samą niezawodność

Ri = R dla i = 1,2,3,4,5

to

(

)(

) (

)(

)

=

⋅

⋅

−

−

+

−

⋅

−

+

=

Δ

=

Δ

=

Δ

=

Δ

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

1

1

4

3

2

1

(

)(

)

(

)

(

)

=

+

−

−

+

+

−

−

=

−

−

+

−

−

=

4

2

3

4

3

3

2

3

2

2

2

2

1

2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

4

3

2

2

4

R

R

R

R

+

−

+

=

( )

(

)(

) (

)

=

⋅

⋅

⋅

−

⋅

+

⋅

−

⋅

−

+

⋅

−

+

=

Δ

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

5

(

)(

) (

)

=

+

−

+

−

−

=

−

+

−

−

−

=

4

2

4

3

3

2

4

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

4

3

2

2

4

2

R

R

R

+

−

=

4

3

2

2

4

R

R

R

R

+

−

+

(

< = >

)

4

3

2

2

4

2

R

R

R

+

−

4

3

2

2

4

R

R

R

R

+

−

+

>

4

3

2

2

4

2

R

R

R

+

−

Plik:

TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc

34

/

34

A. KADZIŃSKI,

WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

Syntetycznie przypomniano problematykę niezawodności systemów/obiektów o niezawodno-

♦

Ogólna formuła niezawodności – metoda dekompozycji prostej, wyprowadzenie i postać ma-

♦

Niezawodność systemów/obiektów o niezawodnościowych strukturach złożonych – systemy

♦

Sterowanie niezawodnością systemów/obiektów – reguła maksymalnej wrażliwości, sterowa-

5. Podsumowanie

W ramach wykładu przedstawiono niżej przedstawione zagadnienia.

♦

Pojęcie struktury niezawodnościowej.

♦

Klasyfikacje struktur niezawodnościowych i elementów struktur niezawodnościowych.

♦

ściowych strukturach prostych (szeregowych, równoległych, równoległo-szeregowych, szere-
gowo-równoległych).

tematyczna, zastosowanie dla niezawodnościowych struktur prostych.

o strukturze mostkowej, systemy o strukturach progowych.

nie niezawodnością struktur prostych i złożonych.