Lista zadań do wykładu

Zbiór liczb zespolonych

Zadanie 1. Wykonaj podane działania:

a) (4i − 3) − (1 − 10i),

b) (

√

2 + i) · (3 −

√

3i),

c) (3 − 2i)(1 + i) + |3 + 4i|,

d)

(−2+2i)

2

−1+i

+ 2i − 5,

e)

3−2i

1−i

−

3−7i
2−3i

,

f)

(1−i)

3

−1

(1+i)

3

+1

.

Zadanie 2. Znajdź liczby rzeczywiste x, y spełniające podane równania:

a) x(2 + 3i) + y(4 − 5i) = 6 − 2i,

b)

1+yi
x−2i

= 3i − 1.

Zadanie 3. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż podane równania (z ∈ C):

a) z

2

− 4z + 13 = 0,

b) zz + (z − z)

2

= 3 + 2i,

c)

2+i

z−1+4i

=

1−i

2z+i

,

d) z + i − z + i = 0.

Zadanie 4. Na płaszczyźnie zespolonej narysuj zbiory liczb z spełniających podane warunki:

a) Im[(1 + 2i)z − 3i] < 0,

b) zz + (5 + i)z + (5 − i)z + 1 = 0,

c) Re(z + 1) < 0 oraz |i − z|

6 3,

d) |z

2

+ 4| 6 |z − 2i|.

Zadanie 5. Podane liczby zespolone zapisz w postaci trygonometrycznej:

a) −6 + 6i,

b)

√

2 −

√

6i,

c)

√

3 − i.

Zadanie 6. Oblicz wartości podanych wyrażeń (wynik zapisz w postaci algebraicznej):

a) (

√

3 − i)

32

,

b) (−2 + 2i)

8

,

c) (2

√

3 − 2i)

30

d)



1−i

√

3+i



6

,

e) (cos 33

◦

+ i sin 33

◦

)

10

,

f)

(1+i)

22

(1−i

√

3)

6

.

Zadanie 7. Narysuj zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:

a) Im(z

3

) < 0,

b) Re(z

4

) > 0,

c) Re(z

3

) > 0.

Zadanie 8. Oblicz i narysuj na płaszczyźnie zespolonej podane pierwiastki:

a)

3

√

−27i,

b)

8

√

−4,

c)

4

p

−8 + 8

√

3i,

d)

5

√

−1 − i,

e)

6

q

√

3−i

i−1

,

f)

7

q

1 +

√

3−i

2

.

Zadanie 9. Udowodnij, że:

a) Re(z

1

· z

2

) = Re(z

1

· z

2

),

b) Jeżeli |z| = 1, to z =

1
z

,

c) Re(z

1

· z

2

) = Re(z

1

· z

2

) 6= Im(z

1

· z

2

),

d) Jeżeli z = a + bi, to |a| + |b|

6

√

2|z|,

e) Im(z) = 0

⇔ Im



z−1
z+1



= 0

dla(z 6= −1),

f)



1+i tg α
1−i tg α



n

=

1+i tg nα
1−i tg nα

.