3. Znając transformację współrzędnych Lorentza, dla
przypadku, gdy układ S

2

porusza się względem S

1

ze stałą

prędkością v wzdłuż osi x-ów:…wyprowadź transformację
prędkości. Przeanalizuj otrzymany wynik w porównaniu z
transformacją Galileusza.
Lorentzowskie dodawanie prędkości - transformacja
prędkości Lorentza

Przypomnienie: Def. Prędkości:

dt

r

d

v

r

r

=

(1.29)

składowe prędkości
v

x

= dx/dt

v

y

= dy/dt (1.30a-

c)
v

z

= dz/dt

Korzystamy z TL wzór (1.21a-d) , następnie wyliczamy
różniczki kolejnych współrzędnych a potem ich pochodne po
czasie.

2

1

1

2

1

1

2

)

/

(

1

)

(

)

/

(

1

c

v

t

d

v

v

c

v

vdt

dx

dx

x

−

−

=

−

−

=

1

2

dy

dy

=

1

2

dz

dz

=

(1.31a-d)

2

1

1

2

2

1

2

1

2

)

/

(

1

]

)

/

(

1

[

)

/

(

1

/

c

v

dt

v

c

v

c

v

dx

c

v

dt

dt

x

−

−

=

−

−

=

Dzieląc obustronnie równania (1.31a-c) przez (1.31c)
otrzymujemy transformacje prędkości Lorentza w następującej
postaci:

x

x

x

v

c

v

v

v

1

2

1

2

)

/

(

1

−

−

=

v

x

y

y

v

c

v

c

v

v

v

1

2

2

1

2

)

/

(

1

)

/

(

1

−

−

=

(1.32a-c)

x

z

z

v

c

v

c

v

v

v

1

2

2

1

2

)

/

(

1

)

/

(

1

−

−

=

Ze związków (1.32a-d) wynika, że mimo iż ruch układu S

2

względem S

1

odbywa się wzdłuż osi x-ów to składowe

prędkości v

2y

oraz v

2z

zależą również od v

1x

. Dla v/c →0 TL

równania (1.32a-d) przechodzą w równania opisujące TG dla
prędkości.
v

2x

= v

1x

– v

v

2y

= v

1y

(1.33a-d)

v

2z

= v

1z

10. Dla równania ruchu: x=Asin(ωt+φ) znajdź: prędkość,
przyspieszenie oraz wyrażenie na siłę, która powoduje taki
ruch. Objaśnij wielkości występujące w równaniu ruchu.
Korzystając z wektora wirującego podaj graficzną
interpretację wychylenia x w ruchu harmonicznym.
Wychylenie i siła
Szukamy wyrażenia na siłę, która powoduje ruch oscylacyjny
np. sinusoidalny.
x = A sin(

ω

t +

ϕ

) (2.18)

gdzie:A – amplituda (maksymalne wychylenie dla sin (

ω

t+

ϕ

)

=1),

ω

= 2

π

/T (T okres ), jest prędkością kątową,

ϕ

- faza

początkowa ruchu (dla t=0)
Szukamy wyrażenia na prędkość v oraz na przyspieszenie a:
v = dx/dt = A

ω

cos(

ω

t +

ϕ

) (2.19)

a = dv/dt = d

2

x/dt

2

= - A

ω

2

sin(

ω

t +

ϕ

) (2.20)

Znając wyrażenie na a możemy zapisać wzór na siłę F, która
musi działać na ciało, ażeby poruszało się ono ruchem
harmonicznym (np. sinusoidalnym). Zgodnie z zasadami
dynamiki Newtona otrzymujemy:

x

m

a

m

F

2

ω

−

=

=

r

r

(2.21)

F=-kx (2.22)
k jest stałą sprężystości zdefiniowaną :
k = m

ω

2

(2.23)

Stąd relacja :

ω

= (k/m)

1/2

(2.24)

Wychylenie w ruchu harmonicznym można zilustrować za
pomocą wektora wirującego.
Wychylenie ciała w ruchu harmonicznym (sinusoidalnym)
można rozważyć, jako składową x-ową wektora OP, którego
moduł



OP



= A.

Wektor OP obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
wokół osi O, z prędkością kątową

ω

i dla t=0, tworzy kąt

ϕ

z

osią y

Rys. Układ współrzędnych i wektor wirujący.

23. Podaj i zilustruj definicję zdolności rozdzielczej
Reyleigh’a.
Zdolność rozdzielcza Reyleigh’a – iest to najmniejszy kąt jaki
tworzą między sobą dwie fale pochodzące od dwóch
oddalonych źródeł, dla którego obrazy dyfrakcyjne mogą być
rozdzielone, przyjmuje się że dwa obrazy mogą być
rozdzielone, gdy centralne maksymum jednego (n>0) pokrywa
się z pierwszym minimum drugiego oznacza to, że

θ=λ/

b

32.Podaj prawa dla statycznych pól B i E. W oparciu o te
prawa omów własności tych pól.
Pola statyczne:Pola E i B traktowane oddzielnie, podstawowe
równanie pozwalające wyliczyć E i B, gdy znane są ładunki i
prądy

Prawo

Forma całkowa

Forma różniczkowa

Prawo Gaussa dla pola
E; pole źródłowe

ε

q

s

d

E

=

⋅

∫

Σ

r

r

ε

ρ

=

E

div

r

Prawo Gaussa dla pola
B; pole bez źródłowe

0

=

⋅

∫

Σ

s

d

B

r

r

0

=

B

div

r

Krążenie pola E; pole
bez wirowe

0

=

⋅

∫

Γ

l

d

E

r

r

0

=

E

rot

r

Krążenie pola B; pole
wirowe

I

l

d

B

0

µ

=

⋅

∫

Γ

r

r

j

B

rot

r

r

0

µ

=

33. Wylicz pole E oraz B w układzie wspolzednych S1 i S2
dla następującego przykładu: układ S2 porusza się względem
S1 z prędkością v (v,0,0) W układzie S2 znajdują się w
spoczynku ładunki Qi q. Ładunek Q znajduje się w początku
układu S2 i jest źródłem pola elektrycznego, ładunek q jest
ładunkiem próbnym.

Rozważamy :

Układ

2

S

porusza się względem układu

1

S

wzdłuż osi x-ów

z prędkością

v

r

. Ładunki

q

(ładunek próbny) oraz

Q

ładunek, który wytwarza pole

E

) znajdują się w spoczynku w

układzie

2

S

.

Ładunki

q

i

Q

są takie same w układzie

1

S

i

2

S

.

Rys. 5.7 Układ współrzędnych oraz ładunki Q i q

W układzie

2

S

, występuje tylko oddziaływanie

elektryczne, którego siła jest opisana znanym wzorem (5.21).

2

2

E

q

F

r

r

=

2

E

r

jest polem elektrycznym wytworzonym przez ładunek

Q

i mierzonym w punkcie, gdzie znajduje się ładunek

q

.

Składowe

2

F

r

są następujące:

2

2

x

x

qE

F

=

2

2

y

y

qE

F

=

2

2

z

z

qE

F

=

Obserwator znajdujący się w układzie

1

S

widzi ładunki

Q

i

q

w ruchu, czyli występuje pole

1

E

i

1

B

, którego siła

wyraża się wzorem:

)

(

1

1

1

B

v

E

q

F

r

r

r

r

×

+

=

Po rozpisaniu iloczynu wektorowego i uwzględnieniu
składowej wektora

( , 0 , 0 )

v

v

r

, otrzymujemy

następujące równania skalarne na składowe wektora siły w

układzie

1

:

S

1

1

1

1

(

,

,

)

x

y

z

F F

F

F

r

1

1

x

x

qE

F

=

)

(

1

1

1

z

y

y

vB

E

q

F

−

=

)

(

1

1

1

y

z

z

vB

E

q

F

+

=

Zgodnie z transformacją Lorentza związki między siłą

1

F

w

układzie

1

S

, a siłą

2

F

w układzie

2

S

są następujące:

2

1

x

x

F

F

=

2

2

1

2

1

c

v

F

F

y

y

−

=

2

2

1

2

1

c

v

F

F

z

z

−

=

Wykorzystując związki (5.22a-c) oraz (5.25a-c) otrzymujemy:

1

2

x

x

qE

qE

=

2

2

1

1

2

1

)

(

c

v

vB

E

q

qE

z

y

y

−

−

=

2

2

1

1

2

1

)

(

c

v

vB

E

q

qE

y

z

z

−

+

=

Wzory (5.26a-c) stanowią TL dla pola elektromagnetycznego.

Wynika z nich, że pola

E

i

B

nie są wielkościami

rozdzielonymi, ale stanowią całość - pole elektromagnetyczne.
Rozdzielenie pola elektromagnetycznego na składową
elektryczną i magnetyczną nie jest sprawa bezwzględną, ale
zależy od ruchu ładunku w stosunku do obserwatora. Tak więc
możemy mówić o oddziaływaniach elektromagnetycznych.