Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

1

WYKŁAD 1. Informacje wstępne. Sylabus. Wprowadzenie w

problematykę badao statystycznych. Elementy statystyki
opisowej

SYLABUS



1. Wprowadzenie w problematykę badao statystycznych.
Elementy statystyki opisowej.



2. Próba losowa prosta. Momenty z próby. Model
Statystyczny. Przykłady statystyk.



3. Dystrybuanta empiryczna. Twierdzenie.Gliwienki-
Cantelliego. Prawa wielkich liczb i Centralne twierdzenia
graniczne.



4.Funkcje charakterystyczne. Własności. Związek funkcji
charakterystycznych z rozkładami prawdopodobieostwa.



5. Przegląd i charakterystyka ważniejszych rozkładów
prawdopodobieostwa . Rozkład Chi-kwadrat. Rozkład
t-Studenta.



6. Estymatory i ich własności. Metody estymacji
punktowej. Problem oceny estymatora. Funkcja ryzyka.
Związek ryzyka z wariancją i obciążeniem



7. Informacja Fishera i nierównośd informacyjna

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

2



8. Estymacja przedziałowa. Przykłady konstrukcji
przedziałów ufności



9. Asymptotyczne przedziały ufności. Metoda delta



10. Weryfikacja hipotez. Metody konstrukcji testów

statystycznych



11.Testy parametryczne. Przykłady zastosowań



12. Testy nieparametryczne. Przykłady zastosowań



13. Weryfikacja hipotez dotyczących dwu populacji



14.Testy ilorazu wiarogodności. Podstawowy Lemat

Neymana-Pearsona. Krzywa mocy testu. Przykłady
wyznaczania krzywych



15. Elementy analizy regresji i analizy wariancji

Literatura

[1] M. Sobczyk.Statystyka Opisowa. CM.BECK, Warszawa 2010

[2] W. Niemiro. Rachunek Prawdopodobieostwa i Statystyka Matematyczna.
Biblioteka Szkoły Nauk Ścisłych, Warszawa 1999.

[3] M. Krzyśko. Statystyka Matematyczna, UAM, Poznań 2004.

[4] A. Plucińska i E. Pluciński. Probabilistyka . Rachunek
Prawdopodobieństwa. Statystyka Matematyczna. Procesy Stochastyczne. WNT.

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

3

Warszawa 2000.

[5] S. Trybuła. Statystyka Matematyczna z Elementami Teorii Decyzji. OWPW,
Wrocław 2004.
[6] W. Krysicki i inni. Rachunek prawdopodobieostwa i statystyka
matematyczna w zadaniach. Cz.2., PWN, 2007.

Wprowadzenie w problematykę badao

statystycznych.

(por.Sobczyk [1])

I. Przedmiot, metody i organizacja badao
statystycznych



Rodowód terminu statystyka pochodzi od słowa
łacioskiego status czyli paostwo. (

Gottfried

Achenwal (1719-1772)

– nazwa „statystyka” pojawiła się w

piśmiennictwie)

 Do połowy XIX w. statystyka, to zbiór danych

liczbowych dotyczących paostwa. Rozszerzono
pojęcie na inne zbiory danych liczbowych.

 Zbiory danych ujmowano w tablice. Pojawili się

tabelaryści. (1741 r. praca J. P. Anchersona)

(Opisywano najczęściej warunki bytu ludności , zestawiano
bilanse itp.)

 Rozwój nauki: 1835r. W Anglii powołano

Królewskie Towarzystwo Statystyczne. W 1854 r.
odbył się w Brukseli I Międzynarodowy Kongres
Statystyczny.

 Współcześnie statystyka ma wiele znaczeo:

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

4

- zbiory danych liczbowych,
- gromadzenie oraz opracowywanie danych,
- charakterystyki zbioru danych,
- dyscyplina naukowa o „ ilościowych metodach
badania prawidłowości występujących w zjawiskach
masowych” (Kurkiewicz,Stanowski 2005r).

-

potocznie - metody gromadzenia, prezentacji,

analizy i interpretacji danych dotyczących zjawisk
masowych.

W

Polsce, zasady gromadzenia danych, przechowywania,

opracowywania, udostępniania i rozpowszechniania danych oraz
wyników badao, tworzy System Informacyjny Statystyki Publicznej(
SIST). Prace SIST koordynuje GUS.

Statystyka – w programach nauczania

 statystyka opisowa – wstępna analiza danych



statystyka matematyczna (wnioskowanie
statystyczne)

– metodologia wyciągania wniosków

(dotyczących badanego zjawiska masowego) na
podstawie danych statystycznych. Podstawy
teoretyczne metodologii – rachunek
prawdopodobieostwa

Zjawiska masowe (z.m.)

 metody statystyczne są wykorzystywane do takich

z.m. , które dotyczą zbiorowości złożone z dużej
liczby jednostek (elementów).Na ogół jednostki te
są podobne ale nie identyczne.

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

5

 prawidłowości ujawnione w obserwacji z.m.

nazywamy statystycznymi.(Np. prawidłowości
dotyczące charakterystyk demograficznych).

Badania statystyczne są pomocne przy podejmowaniu
decyzji w wielu dziedzinach życia i dają dużą siłę
poznawczą w różnych dyscyplinach naukowych.

Podstawowe pojęcia

a) Populacja generalna (p.g). (Inne nazwy: populacja,

zbiorowośd statystyczna)

 p.g.- zbiór elementów (jednostek) objętych

badaniem.

b) Cecha statystyczna – badana właściwośd elementów
p.g. Bada się te cechy, które różnią elementy p.g -

(inna nazwa - zmienna obserwowalna).

 cech jakościowe(niemierzalne) i ilościowe

(mierzalne)

 cechy o wartościach skokowych (dyskretnych) i

ciągłych

 Cechy wielowymiarowe.

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

6

Organizacja badao statystycznych

Etapy

 przygotowanie badania: cel, metoda (badanie

pełne,

częściowe),

zbiorowośd

statystyczna,

badane cechy, jednostki sprawozdawcze.

 obserwacja statystyczna: ustalenie wartości cech

ilościowych lub odmian cech jakościowych w
badanej próbie lub całej populacji – zbieranie
danych - materiał statystyczny pierwotny i wtórny.

 opracowanie

materiału

statystycznego:

grupowanie i zliczanie,

 prezentacja materiału statystycznego: szeregi

statystyczne,

 opis lub wnioskowanie statystyczne.

Szereg statystyczny – zbiór wyników obserwacji cech
(materiał statystyczny)









szereg szczegółowy rozdzielczy przestrzenny dynamiczny

(uporządkowany) (strukturalny) (geograficzny) (czasowy)

wariantom cechy

przyporządkowuje się

liczebności

lub częstości

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

7

Przykład szeregu rozdzielczego punktowego:

Ocena testu (cecha)

2

3

4

5

Liczba studentów

3

20 6

1

Dane jakościowe

Podstawą analiz statystycznych są:

- rozkład empiryczny cechy. (Pojęciem tym określa się
przyporządkowanie

poszczególnym

wariantom

cechy,

obserwowalnym w próbce, liczności lub częstości ich występowania).

- wykresy: kołowe, słupkowe…

Przykład

Tabela: Skład wyznaniowy ludności Warszawy w 1864 i 1917 (K.M. str.14,15)

Wyznanie

Rok

Liczebnośd

1864

%

Rok

Liczebnośd

1917

%

Katolicy

131808

59.1

387069

46.2

Prawosławni

3026

1.4

3961

0.5

Ewangelicy

15909

6.7

12147

1.5

Żydzi

72772

32.6

329535

39.3

Inne

287

0.2

104500

12.5

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

8

Dane ilościowe

 tablice, szeregi rozdzielcze, wykresy
 histogram : zbiór przylegających prostokątów;

podstawa - rozpiętośd klasy, wysokośd -
liczebnośd, częstotliwośd lub natężenie
liczebności.

 wielobok liczebności(częstości)- łamana

powstała przez połączenie punktów
odpowiadającym środkom klas i odpowiadającym
licznościom (częstościom))

 dystrybuanta empiryczna

3. Grupowanie danych

Przykład.

Rejestr wieku 20 pracowników zgłaszających się na

badanie lekarskie w pewnej firmie:

36, 41, 33, 34, 38, 26, 33, 36, 30, 48, 39, 31, 35, 36, 38, 37, 22,
31, 25, 32.

Liczba różnych wartości cechy = 16. Wykres 16-słupkowy
mało czytelny – wkładamy wartości cechy w przedziały, np:

[20,25), [25,30), [30,35), [35,40), [40,45), [45,50)

1 2 7 8 1 1

Szereg rozdzielczy przedziałowy przedstawia się graficznie w postaci wykresu
nazywanego histogramem.

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

9



Przy dużej liczności próbki dane grupuje się w przedziały klasowe.
Najczęściej tworzy się szereg rozdzielczy z klasami o jednakowej
długości (nie jest to konieczne). Liczbę klas dobiera się w zależności
od liczności próbki n. Praktycy mają swoje sposoby na ustalania
liczby klas. Niektórzy zalecają przyjąd liczbę klas k spełniającą
nierównośd

n

k

n





4

3



Jeżeli przyjąd, że klasy będą jednakowej długości to praktycy
zalecają wyznaczyd długośd klasy z następującego wzoru

Długośd klasy:

k

x

x

min

max



max

x

,

min

x

oznaczają odpowiednio największą i najmniejszą

obserwację.

Końcowy etap badania statystycznego

Opis statystyczny (dziedzina statystyki opisowej)



dotyczy całej badanej populacji lub jej podzbioru (próby,
która nie musi byd losowa). Miary opisu: miary centralne
(np. średni poziom cechy), rozproszenia (dyspersji),
asymetrii, ...

histogram liczebności

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

10

 dotyczy także współzależności zjawisk - powiązao między

różnymi cechami zbiorowości (np. staż pracy
i wynagrodzenie w ustalonej firmie).

 dotyczy również dynamiki zjawisk (rozwój badanego

zjawiska w czasie nazywa się szeregiem czasowym)



Wnioskowanie statystyczne

 Wnioskowanie o generalnej populacji na podstawie

próby losowej (wnioskowanie reprezentacyjne) –
uogólnianie wyników z próby na całą zbiorowośd
statystyczną. W zakres wnioskowania wchodzi
estymacja

i

testowanie

hipotez.

Teoretyczną

podstawą jest rachunek prawdopodobieostwa

Przykłady problemów statystycznych

1 . Testowanie hipotezy, że producent utrzymuje
zapowiedzianą na opakowaniu normę.

Listwy podłogowe dostarczane przez tartak powinny mied średnią
długośd 240 cm z odchyleniem standardowym 15cm.
Czy można na poziomie istotności

05

,

0





twierdzid, że dostarczona

duża partia listew jest zgodna z tą normą, jeśli w losowej próbie 20
listew średnia długośd wynosiła 234 cm. (Można założyd, że rozkład
długości produkowanych listew jest normalny).

2. Sprawdzanie rzetelności kostki do gry planszowej

W celu sprawdzenia , czy kostka sześcienna do gry jest rzetelna
(symetryczna) wykonano 120 rzutów, uzyskując wyniki:

Liczba oczek

1 2 3 4

5

6

Liczba rzutów

11 30 14 10

33

22

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

11

Zweryfikuj, na poziomie istotności 0.05, hipotezę, że kostka jest
rzetelna.

3. Przykład zadania ze statystyki opisowej

1.

Przeprowadzono badania dotyczące rozkładu czasu trwania

rozmów telefonicznych. Wyniki – w minutach - dla 32 połączeo
telefonicznych przedstawiały się następująco:

Czas
rozmowy

liczba
rozmów

0 – 5 7
5 – 10 10
10 –15 8
15 –20 4
20 –25 2
25 –30 1

32

a) podaj średni czas rozmowy………………………………………………………………………………………….

b) Wyznacz następujące miar zróżnicowania czasu trwania rozmów i podaj ich wartości:



wariancję empiryczną i odchylenie standardowe……..……………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………



typowy obszar zmienności badanej cechy…… ………………………………………….…………

…………………………………………………………………………………………………………………………



Oceo (w przybliżeniu) jaki procent rozmów znajduje się w typowym obszarze………..
zmienności? …………………………………………………………………………………………………………

Prezentacja i analiza danych empirycznych

a) szereg punktowy: x

1,

x

2

,…, x

n

b) szereg rozdzielczy punktowy,

c) szereg rozdzielczy przedziałowy.

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

12

Ad b) Schemat szeregu rozdzielczego punktowego

Cecha

x

1

licznośd

n

i

częstość

w

i

Udział procentowy

w

i

100

x

2

n

1

w

1

w

1

100

x

3

n

2

w

2

w

2

100

x

4

n

3

w

3

w

3

100

...

x

k

n

k

w

k

w

k

100

Suma

n

1

100

Ad c) Schemat szeregu rozdzielczego przedziałowego

Cecha

x

0i

-x

1i

licznośd

n

i

częstość

w

i

Udział procentowy

w

i

100

x

01

-x

11

n

1

w

1

w

1

100

x

02

-x

12

n

2

w

2

w

2

100

x

03

-x

13

n

3

w

3

w

3

100

...

x

0k

-x

1k

n

k

w

k

w

k

100

Suma

n

1

100

Rozważmy szereg punktowy częstości

Wartości cechy

x

1

x

2

… x

n

częstosci wzgledne w

1

w

2

… w

n

gdzie w

i

= n

i

/n, n

i

– licznośd i-tej obserwacji w próbie,

n-ogólna liczba obserwacji.

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

13

Dystrybuanta empiryczna, to taka funkcja : F: R

że F(x)=

Materiał na dwiczenia

Opis próbki empirycznej.

Mierniki statystyczne: średnia

arytmetyczna, mediana, dominanta, wariancja, odchylenie
standardowe skośnośd i kurtoza.

Miary opisowe rozkładu empirycznego

 Syntetyczny sposób charakteryzacji struktury danych

statystycznych: poziom cechy, zróżnicowanie wartości
oraz kształt rozkładu.
 Miary położenia (inne nazwy- miary tendencji

centralnej, przeciętnego poziomu): średnia
arytmetyczna, dominanta, kwantyle, kwartyle,
mediana

 Miary rozproszenia (inne nazwy - miary

zróżnicowania, zmienności, rozrzutu, dyspersji):
rozstęp, wariancja, odchylenie standardowe,
typowy obszar zmienności, klasyczny współczynnik
zmienności, odchylenie dwiartkowe (kwartylowe)

 Miary kształtu rozkładu: współczynnik skośności

Pearsona, klasyczny współczynnik zmienności,
pozycyjny współczynnik asymetrii, współczynnik
kurtozy.

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

14

Miary położenia

1) Średnia arytmetyczna, oznaczenie x

a) szereg szczegółowy

x

1

, x

2

, ...,x

n

- wartości cechy w doświadczeniu

)

x

x

x

(

n

1

x

n

2

1















=





n

1

i

i

x

n

1

b) szereg rozdzielczy punktowy

Ogólnie:



















k

1

i

k

1

i

k

1

i

i

i

i

i

i

i

w

x

n

n

x

n

x

n

1

x

c) szereg rozdzielczy przedziałowy

Przykład. X – wyraża czas dojazdu do pracy w min.

Ogólnie: mamy k przedziałów klasowych:i=1,2,...,k

x

0i

-dolna granica i-tego przedziału

x

0i

-górnana granica i-tego przedziału

i

x

-środek i-tego przedziału



















k

1

i

k

1

i

k

1

i

i

i

i

i

i

i

w

x

n

n

x

n

x

n

1

x







Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

15

Własności

max

min

x

x

x





,







n

1

i

i

)

x

x

(

= 0







n

1

i

2

i

)

x

x

(









n

1

i

2

i

)

x

x

(

dla każdego x

2. Dominanta (moda, wartośd najczęstsza)

 Miara tendencji centralnej – najczęściej występująca

wartośd cechy w zbiorze.
Oznaczenie- D

Przykład: X-liczba wizyt w kinie

0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3

D = 1

a) szereg szczegółowy i szereg rozdzielczy punktowy

D = wartośd najliczniejszego wariantu cechy

b) szereg rozdzielczy przedziałowy

Dominantę wyznacza się w rozkładzie, który ma:

 wyraźnie zaznaczone maksimum
 zbliżony jest do symetrycznego

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

16

. -

. -

. -

. -

. -

-

Dominanta

h

)

n

n

(

)

n

n

(

n

n

x

D

1

D

D

1

D

D

1

D

D

D

0



















(*)



Wzór (*) można także podad w wersji odpowiadającej
rozkładowi określonemu za pomocą częstości . Ma on
wtedy postad:

)

w

w

(

)

w

w

(

w

w

x

D

1

D

D

1

D

D

1

D

D

D

0



















h

w

D

, w

D-1

, w

D+1

oznaczają odpowiednio częstości względne

przedziałów dominanty, przedziału poprzedniego i
następnego.

3. Kwantyle

Kwantyle są miarami pozycyjnymi. Charakterystyki te
wskazują na położenie rozkładu względem osi liczbowej,

x

0D

- dolna granica dominującego przedziału

n

D

- licznośd dominującego przedziału

n

D-1

– licznośd przedziału poprzedniego

n

D+1

- licznośd przedziału następnego

h

- rozpiętośd dominującego przedziału

Równanie dłuższej prostej : L(t)= n

D-1

+ (t-x

0D

)

h

n

n

1

D

D





Równanie krótszej prostej: L(t)= n

D

+ (x

0D

-t)

h

n

n

1

D

D





Punkt przecię

cia prostych = dominanta ( D)

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

17

na której zaznaczono wartości cechy. Kwantylem rzędu p
(0<p<1) w rozkładzie jest taka wartośd cechy, że

%

100

p



obserwacji ma wartości nie większe od niej .

Kwantyle rzędu p = 1/4 i p=3/4 nazywają się kwartylami.
Oznaczamy je odpowiednio

4

/

3

4

/

1

Q

,

Q

.

Kwantyl rzędu p = ½ nazywa się medianą. Oznaczamy go
literą M.

4. Mediana

W przybliżeniu można powiedzied, że jest to środkowa
wartośd cechy w doświadczeniu. Dzieli ona wartości próbki
na połowy tak, że połowa obserwacji ma wartości nie
większe od niej a druga nie mniejsze.

a) szereg szczegółowy uporządkowana lub szereg
rozdzielczy punktowy

Przykład. 1, 3, 5 , 6, 9 ; M= 5

1, 3, 5 , 6, 9, 10;

5

.

5

2

6

5

M







liczebnośd

parzysta

2

x

x

M

2

/

)

2

n

(

2

/

n







liczebnośd

nieparzysta

2

/

)

1

n

(

x

M





Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

18

Wyznaczanie mediany w przypadku szeregu rozdzielczego

przedziałowego

Przykład. Czas obsługi klienta w sklepie w min. (przedziału
prawostronnie domknięte)

x

0i

-x

1i

n

i

w

i

n(x

i

) =

licz. sk.

F

n

(x

i

) =

czest. sk.

0-4

4-8

8-12

12-16

16-18

12

16

10

9

3

0,24

0.32

0.20

0.18

0.06

12

28

38

47

50

0.24

0.56

0.76

0.94

1

suma

50

1



Zauważmy, że środkowa obserwacja: n/2 = 25, po raz pierwszy
została przekroczona w przedziale (4,8+.



Przyjmujemy następujące (upraszczające) założenie.

(**) Obserwacja w przedziałach są rozłożone równomiernie.

Zatem w przedziale (4,8] obserwacje są w odstępach (8-4)/16 =
0.25



Stąd wynika, że 25 obserwacją jest 13 obserwacją z
przedziału (4,8+, co oznacza, że jest to wielkośd

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

19

M= 4+ (13) (0.25) = 7.25

Ogólny wzór na medianę jest oparty na opisanej metodzie.

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego przyjmuje się
następujący wzór na wyznaczanie mediany (M)

(***)

M

M

M

0

M

0

n

h

)

x

(

n

2

n

x

M







 





gdzie

x

0M

– dolna granica przedziału , w którym znajduje

się mediana,

)

x

(

n

M

0

- licznośd skumulowana do dolnej granicy

przedziału median, h

M

– rozpiętośd przedziału mediany,

n

M

– licznośd przedziału mediany, n - liczba zbadanych

jednostek.

Wyznaczanie mediany za pomocą częstości względnych

(dystrybuanty empirycznej) dla cech ciągłej

Ta metoda opiera się na przekształconym wzorze (***).

Jeżeli znamy dystrybuantę empiryczną to mediana jest taką
wartością cechy, która po raz pierwszy przekroczy wartośd
0.5.

Uwagi. Mediana jest miarą tendencji centralnej dla
wartości cechy w próbce -lokuje „środek rozkład ”.

Jest niewrażliwa na występowanie „odstających” t.zn.
bardzo małych lub bardzo dużych wartości cech.

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

20

5. Kwartyle rzędu 1/4 i ¾. Oznaczamy je odpowiednio

4

/

3

4

/

1

Q

,

Q

 Pierwszy kwartyl

,

Q

4

/

1

oznacza, że 25% zbiorowości

przyjmuje wartości nie większe niż

4

/

1

Q

a 75% nie

mniejsze.

 Trzeci kwartyl

,

Q

4

/

3

oznacza, że 75% zbiorowości

przyjmuje wartości nie większe niż

4

/

3

Q

a 25% nie

mniejsze.

 Drugi kwartyl to mediana

Wzory na wielkości kwartyli

 Dla szeregów punktowych (bez poprawki na parzystośd)

Q

1



)

4

/

n

(

x

;

Q

3



)

4

/

n

3

(

x

 Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych

1

1

1

1

Q

Q

Q

0

Q

0

)

4

/

n

(

1

n

h

)

x

(

n

4

n

x

x

Q







 







3

3

3

3

Q

Q

Q

0

Q

0

)

4

/

n

3

(

3

n

h

)

x

(

n

4

n

3

x

x

Q

















gdzie

3

1

Q

0

Q

0

x

,

x

- Dolne granice przedziałów odpowiednio dla Q

1,

Q

3;

)

x

(

n

1

Q

0

,

)

x

(

n

3

Q

0

- liczebności skumulowane do momentu pojawienia się

odpowiednio przedziału pierwszego i przedziału trzeciego kwartyla;

3

1

Q

,

Q

h

h

- rozpiętości przedziałów odpowiednio pierwszego i trzeciego

kwartyla;

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

21

2

1

Q

Q

n

,

n

licznośd przedziałów odpowiednich kwartyli.

Miary rozproszenia (inne nazwy - miary zróżnicowania,
zmienności, rozrzutu, dyspersji)

1. Rozstęp

Całkowita zmiennośd w wartości cechy w próbie
(wstępna ocena dyspersji, miara pozycyjna)

R= x

max

- x

min

x

max

– najwyższa wartośd cechy

x

min

– najniższa wartośd cechy

Wykres pudełkowy czasu obsługi

x

min

Q

1

M Q

3

x

max

Wykres pudełkowy pozwala różne parametry rozkładu
przedstawid poglądowo.

Wartości cechy w przedziale

]

M

,

Q

[

1

są bardziej „zagęszczone” niż w

].

Q

,

M

[

3

2. Wariancja z próby

a)

szereg szczegółowy, (n = licznośd próby, k = liczba

wariantów cechy).



2

S

n

1







n

1

i

2

i

)

x

x

(

- wartośd średnia sumy

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

22

kwadratów odchyleo od średniej

b) szereg rozdzielczy punktowy



2

S

n

1







k

1

i

i

2

i

n

)

x

x

(

c) szereg rozdzielczy przedziałowy



2

S

n

1







k

1

i

i

2

i

n

)

x

x

( 

Uproszczona formuła liczenia S

2

Po prostych przekształceniach można wykazad , że



2

S

n

1







k

1

i

i

2

i

n

)

x

x

(

=

n

1

2

k

1

i

i

2

i

x

)

n

x

(







3. Odchylenie standardowe

Bezwzględna miara zróżnicowania: S =

2

S

4. Typowy obszar zmienności wartości cechy w
doświadczeniu

s

x

x

s

x

typ









Przykład. Komunikat: Średnia temperatura lipca wynosi
17

0 +

_

2

0

Typowy obszar zmienności to przedział *15

0

, 19

0

]

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

23

5. Standaryzowane wartości cechy.

Przy porównywaniu obszarów zmienności kilku cech
wygodnie jest wprowadzid uniwersalny obszar zmienności.

W tym celu przekształcamy wartości cechy:

u

i

=

s

x

x

i



Typowy obszar zmienności dla przekształconych wartości
cechy to

-1

1

u

i





Przykład zastosowania (slajd)

6. Klasyczny współczynnik zmienności

Względna miara zróżnicowania cechy:

V=

%

100

x

S

7. Odchylenie dwiartkowe

(kwartylowe)

Bezwzględna miara zróżnicowania – rozstęp

uwzględniający 50% środkowych wartości

Q= Q

3/4

– Q

1/4

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

24

Miary skośnośd i spłaszczenia rozkładu

1.

Współczynnik skośności Pearsona

Charakteryzuje asymetrię rozkładu przez porównanie
średniej i dominanty

w

pirson

=

S

D

x



2. Klasyczny współczynnik asymetrii

Charakteryzuje skośnośd rozkłady za pomocą 3

momentu centralnego z próby

W

klasyk

=

3

3

S



Niech n = licznośd próby, k = liczba wariantów cechy

a) szereg szczegółowy





3

n

1







n

1

i

3

i

)

x

x

(

b) szereg rozdzielczy punktowy





3

n

1







k

1

i

i

3

i

n

)

x

x

(

c) szereg rozdzielczy przedziałowy (



i

x

środek

przedziału)





3

n

1







k

1

i

i

3

i

n

)

x

x

( 

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

25

Trzeci moment centralny liczy się jak wariancję zamieniając we wzorze

potęgę drugą na trzecią

3.Pozycyjny współczynnik asymetrii

Współczynnik mierzy skośnośd rozkładu w jego

centralnej części. Definiowany jest za pomocą 1,2 i 3
kwartyla:

W

pozycyjny

=

4

/

1

4

/

3

4

/

1

4

/

3

Q

Q

)

Q

M

(

)

M

Q

(









Znak informuje o kierunku skośności (dodatni skośnośd
prawostronna, ujemny lewa), moduł wartości informuje o
sile asymetrii w części centralnej rozkładu.

4. Pudełko z wąsami

min Q

1/4

M Q

3/4

max

Rysunek przedstawia obrazowo rozkład za pomocą kwartyli:
1,2 i 3

oraz minimalnej i maksymalnej wartości cechy. (Widad, że

rozkład jest lewostronnie skośny).

Mat.Statystyka,2013L. Wykład 1 oraz materiał na dwiczenia

Ryszarda Rempała. Materiały dydaktyczne

26

3.

Współczynnik kurtozy (spłaszczenia rozkładu)

Dotyczy jedynie rozkładów symetrycznych. Jest miarą
spłaszczenia rozkładu cechy. Wykorzystuje 4 moment
centralny.

W

kurtoza

=

4

4

S



Czwarty moment centralny liczy się tak jak wariancję
wstawiając w miejsce drugiej potęgi potęgę czwartą.

Wyliczony dla rozkładu normalnego współczynnik kurtozy wynosi 3.
Wartośd W

kurtoza

porównuje się więc z liczbą 3. Jeśli W

kurtoza

< 3

spłaszczenie jest mniejsze od normalnego, jeśli W

kurtoza

> 3 skupienie

wartości cechy wokół średniej jest większe niż w rozkładzie
normalnym.