www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW NR
56226
WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM ROZSZERZONY
C
ZAS PRACY
: 180
MINUT
Z
ADANIE
1
(4
PKT
.)
W trójk ˛
acie ABC dane s ˛
a: A
= (−
1, 3
)
,
→
AB
= [
5,
−
4
]
oraz
→
BC
= [
2, 6
]
. Trójk ˛
at MNP jest
obrazem trójk ˛
ata ABC w jednokładno´sci o ´srodku w punkcie O
= (
0, 0
)
i skali k
= −
1
2
.
Wyznacz współrz˛edne wierzchołków B, C, M, N, P.
R
OZWI ˛
AZANIE
Warto zacz ˛
a´c od schematycznego rysunku.
-5
-1
+1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
P
A
B
C
M
N
Wida´c, ˙ze łatwo mo ˙zemy wyliczy´c współrz˛edne punktów B
= (
x
B
, y
B
)
i C
= (
x
C
, y
C
)
.
[
5,
−
4
] =
→
AB
= [
x
B
+
1, y
B
−
3
]
⇒
B
= (
4,
−
1
)
[
2, 6
] =
→
BC
= [
x
C
−
4, y
C
+
1
]
⇒
C
= (
6, 5
)
.
Z podanej informacji o jednokładno´sci wiemy, ˙ze
[
x
M
, y
M
] =
→
OM
= −
1
2
→
OA
= −
1
2
[−
1, 3
]
⇒
M
=
1
2
,
−
3
2
[
x
N
, y
N
] =
→
ON
= −
1
2
→
OB
= −
1
2
[
4,
−
1
]
⇒
N
=
−
2,
1
2
[
x
P
, y
P
] =
→
OP
= −
1
2
→
OC
= −
1
2
[
6, 5
]
⇒
P
=
−
3,
−
5
2
.
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Odpowied´z: B
= (
4,
−
1
)
, C
= (
6, 5
)
, M
= (
1
2
,
−
3
2
)
, N
= (−
2,
1
2
)
, P
= (−
3,
−
5
2
)
Z
ADANIE
2
(3
PKT
.)
Uzasadnij, ˙ze dwusieczne dwóch s ˛
asiednich k ˛
atów równoległoboku przecinaj ˛
a si˛e pod k ˛
a-
tem prostym.
R
OZWI ˛
AZANIE
Zaczynamy od rysunku i oznaczmy
]
A
=
2α,
]
B
=
2β.
A
B
C
D
S
α
α
β β
Poniewa ˙z
]
A
+ ]
B
=
180
◦
, mamy
2α
+
2β
=
180
◦
⇒
α
+
β
=
90
◦
.
Zatem z trójk ˛
ata ASB mamy
]
ASB
=
180
◦
− (
α
+
β
) =
90
◦
.
Z
ADANIE
3
(4
PKT
.)
Mo ˙zna przyj ˛
a´c, ˙ze piramida Cheopsa jest ostrosłupem prawidłowym czworok ˛
atnym o kra-
w˛edzi podstawy 233m. Długo´s´c cienia piramidy w momencie, gdy promienie słoneczne pa-
daj ˛
a prostopadle do jednej ze ´scian wynosi 67,5m. Wyznacz wysoko´s´c piramidy.
R
OZWI ˛
AZANIE
Zaczynamy od rysunku.
A
B
C
S
F
233
D
67,5
E
G
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Gdy si˛e dokładnie przyjrzymy, to mamy trójk ˛
at prostok ˛
atny GES, w którym znamy GF
i FE, a mamy wyliczy´c wysoko´s´c SF. Standardowy sposób to podobie ´nstwo trójk ˛
atów GFS
i SFE. Mamy z niego
GF
FS
=
SF
FE
FS
=
√
GF
·
FE
=
s
233
2
·
233
2
+
67, 5
=
√
116, 5
·
184
=
√
21436
≈
146, 4.
Odpowied´z: Około 146,4m
Zadania
.info
Podobają Ci się nasze rozwiązania?
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
Z
ADANIE
4
(5
PKT
.)
Z urny zawieraj ˛
acej 8 kul białych i 4 czarne wylosowano bez zwracania 5 kul. Jakie jest
prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze stosunek liczby kul czarnych do liczby kul białych w urnie
uległ zwi˛ekszeniu.
R
OZWI ˛
AZANIE
Wszystkich mo ˙zliwych wyników jest
|
Ω
| =
12
5
=
12!
5!7!
=
8
·
9
·
10
·
11
·
12
2
·
3
·
4
·
5
=
3
·
2
·
11
·
12
=
66
·
12.
Na pocz ˛
atku stosunek liczby kul czarnych do białych wynosi
4
8
=
1
2
. Aby uległ zwi˛ekszeniu
musimy wylosowa´c co najmnej 4 kule białe. Liczymy ilo´s´c zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych
C, B, B, B, B : 4
·
8
4
=
4
·
8!
4!4!
=
4
·
5
·
6
·
7
·
8
2
·
3
·
4
=
40
·
7
B, B, B, B, B :
8
5
=
8!
5!3!
=
6
·
7
·
8
2
·
3
=
7
·
8.
Mamy zatem
P
=
40
·
7
+
7
·
8
66
·
12
=
35
+
7
33
·
3
=
14
33
.
Odpowied´z:
14
33
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
5
(5
PKT
.)
Dana jest funkcja f
(
x
) = |(
x
−
m
)
2
−
4m
|
, gdzie m
∈
R.
a) Naszkicuj wykres funkcji f
(
x
)
dla m
=
1.
b) Dla jakich warto´sci parametru m równanie f
(
x
) =
7 ma dokładnie trzy rozwi ˛
azania.
-5
-1
+1
+5
x
-1
+1
+5
+10
y
R
OZWI ˛
AZANIE
a) Wykres funkcji f powstaje z wykresu paraboli y
=
x
2
przez przesuni˛ecie o wektor
[
m,
−
4m
]
i odbicie cz˛e´sci znajduj ˛
acej si˛e poni ˙zej osi do góry. Bez trudu rysujemy t˛e
sytuacj˛e dla m
=
1.
-5
-1
+1
+5
x
-1
+1
+5
+10
y
-5
-1
+1
+5
x
-1
+1
+5
+10
y
m=1
m=7/4
b) Równanie f
(
x
) =
7 b˛edzie miało dokładnie trzy rozwi ˛
azania dokładnie wtedy gdy
prosta y
=
7 przetnie oba ramiona praboli i przejdzie przez jej wierzchołek. Poniewa ˙z
druga współrz˛edna wierzchołka (po odbiciu) jest równa
|
4m
|
(jest to warto´s´c f
(
m
)
),
wi˛ec m
=
7
4
lub m
= −
7
4
. Dla drugiej z tych liczb prosta y
=
7 nie przecina ramion
paraboli, zatem m
=
7
4
.
Odpowied´z: m
=
7
4
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
6
(4
PKT
.)
Wyznacz te warto´sci parametru p, dla których dziedzin ˛
a funkcji f
(
x
) =
x
+
p
(
p
2
−
9
)
x
2
+(
p
+
3
)
x
+
1
jest zbiór liczb rzeczywistych.
R
OZWI ˛
AZANIE
To co mamy sprawdzi´c, to dla jakich warto´sci p mianownik nie ma miejsc zerowych.
Sprawd´zmy najpierw co si˛e dzieje je ˙zeli mianownik jest liniowy. Je ˙zeli p
= −
3 to mamy
w mianowniku 1 i jest OK. Je ˙zeli p
=
3, to mamy 6x
+
1 i
−
1
6
nie nale ˙zy do dziedziny danej
funkcji.
Je ˙zeli p
6= ±
3 to mamy w mianowniku funkcj˛e kwadratow ˛
a i aby nie miała ona pier-
wiastków musimy mie´c
∆
<
0.
0
>
∆
= (
p
+
3
)
2
−
4
(
p
2
−
9
) =
p
2
+
6p
+
9
−
4p
2
+
36
=
= −
3p
2
+
6p
+
45
= −
3
(
p
2
−
2p
−
15
)
0
<
p
2
−
2p
−
15
∆
=
4
+
60
=
64
p
1
= −
3,
p
2
=
5
p
∈ (−
∞,
−
3
) ∪ (
5,
∞
)
.
Odpowied´z: p
∈ (−
∞,
−
3
i ∪ (
5,
∞
)
Z
ADANIE
7
(5
PKT
.)
W trapezie ABCD o podstawach AB i CD punkt O jest punktem wspólnym przek ˛
atnych.
Oblicz pole trapezu wiedz ˛
ac, ˙ze pole trójk ˛
ata ABO jest równe t, a pole trójk ˛
ata CDO jest
równe r.
R
OZWI ˛
AZANIE
C
A
B
O
D
Kluczowa własno´s´c trapezu (któr ˛
a warto zapami˛eta´c) to, ˙ze trójk ˛
aty ABO i CDO s ˛
a podobne
(maj ˛
a takie same k ˛
aty). W dodatku znamy ich skal˛e podobie ´nstwa k
=
√
t
√
r
.
Jak wyliczy´c pole trójk ˛
ata AOD? Zauwa ˙zmy, ˙ze ma on tak ˛
a sam ˛
a wysoko´s´c opuszczon ˛
a
z wierzchołka D jak trójk ˛
at COD i na mocy wcze´sniejszej uwagi wiemy jaki jest stosunek ich
podstaw. Zatem
P
AOD
P
DOC
=
AO
OC
=
√
t
√
r
P
AOD
=
P
DOC
·
√
t
√
r
=
r
·
√
t
√
r
=
√
tr.
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Podobnie wyliczamy
P
BOC
=
√
tr.
Odpowied´z: t
+
r
+
2
√
tr
= (
√
t
+
√
r
)
2
Z
ADANIE
8
(5
PKT
.)
Rozwi ˛
a ˙z równanie sin 2x
=
8
√
3 sin 2x
−
9
4 sin 2x
, gdzie x
∈ (
0,
π
2
)
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Na pocz ˛
atku zauwa ˙zmy, ˙ze w podanym przedziale mianownik si˛e nie zeruje, wi˛ec nie ma-
my kłopotu z dziedzin ˛
a. Podstawiamy t
=
sin 2x i przekształcamy
t
=
8
√
3t
−
9
4t
4t
2
=
8
√
3t
−
9
4t
2
−
8
√
3t
+
9
=
0
/ : 4
t
2
−
2
√
3t
+
9
4
=
0
∆
=
12
−
9
=
3
t
=
2
√
3
−
√
3
2
=
√
3
2
∨
t
=
2
√
3
+
√
3
2
=
3
√
3
2
.
Drugie rozwi ˛
azanie odrzucamy, bo jest wi˛eksze od 1 i dostajemy
sin 2x
=
√
3
2
.
Teraz trzeba troch˛e uwa ˙za´c, bo niby szukamy rozwi ˛
aza ´n w przedziale
(
0,
π
2
)
, ale 2x mo ˙ze
ju ˙z by´c w przedziale
(
0, π
)
. Daje to nam dwa rozwi ˛
azania.
2x
=
π
3
∨
2x
=
2π
3
x
=
π
6
∨
x
=
π
3
.
Odpowied´z: x
=
π
6
lub x
=
π
3
Z
ADANIE
9
(5
PKT
.)
Wyka ˙z, korzystaj ˛
ac z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu, ˙ze liczba
3
√
6
jest niewymierna.
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczba
3
√
6 jest pierwiastkiem wielomianu
f
(
x
) =
x
3
−
6.
Gdyby ten wielomian miał pierwiastki wymierne, to z twierdzenia o wymiernych pierwiast-
kach wielomianu, musiałaby to by´c jedna z liczb
±
6,
±
3,
±
2,
±
1. Łatwo sprawdzi´c, ˙ze ˙zadna
z tych liczb nie jest pierwiastkiem tego wielomianu, zatem nie ma on pierwiastków wymier-
nych. W szczególno´sci
3
√
6 nie mo ˙ze by´c liczb ˛
a wymiern ˛
a.
Z
ADANIE
10
(5
PKT
.)
Trzy liczby tworz ˛
a ci ˛
ag geometryczny. Je ˙zeli drug ˛
a z nich zwi˛ekszymy o 8, to otrzymamy
ci ˛
ag arytmetyczny. Je ˙zeli trzeci wyraz otrzymanego ci ˛
agu arytmetycznego zwi˛ekszymy o 64
to znów otrzymamy ci ˛
ag geometryczny. Wyznacz te liczby.
R
OZWI ˛
AZANIE
Powiedzmy, ˙ze dane liczby to a, aq, aq
2
. Wiemy, ˙ze ci ˛
ag
(
a, aq
+
8, aq
2
)
jest ci ˛
agiem arytme-
tycznym, a
(
a, aq
+
8, aq
2
+
64
)
geometrycznym. Daje to nam równania
(
2
(
aq
+
8
) =
a
+
aq
2
(
aq
+
8
)
2
=
a
(
aq
2
+
64
)
(
2aq
+
16
=
a
+
aq
2
a
2
q
2
+
16aq
+
64
=
a
2
q
2
+
64a
Przekształ´cmy drugie równanie
16aq
+
64
=
64a
aq
=
4a
−
4.
Podstawmy to do pierwszego równania
2
(
4a
−
4
) +
16
=
a
+
1
a
(
4a
−
4
)
2
2a
(
4a
−
4
) +
16a
=
a
2
+
16a
2
−
32a
+
16
9a
2
−
40a
+
16
=
0
9
2
a
2
−
20a
+
8
=
0
∆
=
400
−
144
=
256
=
16
2
a
1
=
20
−
16
9
=
4
9
,
a
2
=
20
+
16
9
=
4.
Mamy wtedy odpowiednio
q
1
=
4
−
4
a
1
=
4
−
9
= −
5
q
2
=
4
−
4
a
2
=
3.
Odpowied´z:
(
4
9
,
−
20
9
,
100
9
)
lub
(
4, 12, 36
)
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
11
(5
PKT
.)
Dwa okr˛egi s ˛
a styczne zewn˛etrznie w punkcie P. Poprowadzono prost ˛
a, styczn ˛
a do obu
okr˛egów odpowiednio w punktach A i B (A
6=
B). Wyka ˙z, ˙ze k ˛
at
]
APB jest prosty.
R
OZWI ˛
AZANIE
Zacznijmy od rysunku.
P
O
1
O
2
A
B
α
α
β
β
Poniewa ˙z punkty O
1
, O
2
i P le ˙z ˛
a na jednej prostej, oraz odcinki O
1
A i O
2
B s ˛
a równoległe
(bo oba s ˛
a prostopadłe do prostej AB), to
]
AO
1
P
+ ]
BO
2
P
=
180
◦
.
Je ˙zeli oznaczymy k ˛
aty α i β jak na rysunku, to powy ˙zsz ˛
a równo´s´c mo ˙zemy zapisa´c jako
180
◦
−
2α
+
180
◦
−
2β
=
180
◦
⇒
α
+
β
=
90
◦
.
Z drugiej strony,
]
APB
=
180
◦
−
α
−
β
=
90
◦
.
Materiał pobrany z serwisu
8
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
56226R
więcej podobnych podstron