Kazimierz Cegiełka
Katedra Nauk ´Scisłych
Materiały pomocnicze z matematyki
dla słuchaczy ZSZ PC 8 i ZSZ PF 33
Streszczenie
. W semestrze III zaj ˛ecia z matematyki obejmuj ˛
a tylko ´cwiczenia. Wobec tego na
´cwiczeniach podaje si ˛e podstawowe poj ˛ecia, ich własno´sci i przykłady ilustruj ˛
ace podane poj ˛ecia i włas-
no´sci. Dalsze zdobywanie wiedzy musi odbywa´c si ˛e poprzez prac ˛e własn ˛
a. Poni˙zsze materiały pomocnicze
maj ˛
a umo˙zliwi´c zdobycie niezb ˛ednej wiedzy i ukierunkowa´c do dalszych studiów, w szczególno´sci przygo-
towa´c si ˛e do egzaminu z matematyki. Realizacja tych materiałów przewidziana jest na 8 godzin ´cwicze´n
rachunkowych.
1. Całka podwójna
Całk˛e podwójn ˛
a definiuje si ˛e najpierw dla funkcji dwóch zmiennych okre´slonej na prostok ˛
acie.
Twierdzenie 1
Je´sli P
=
{(x, y) : x ∈ a; b i y ∈ c; d} jest prostok ˛
atem i f
: P
−→ R jest
funkcj ˛
a ci ˛
agł ˛
a, t
o
(1)
P
f
(x, y) dxdy =
b
a
d
c
f
(x, y) dy
dx
.
W powy˙zszym wzorze całk˛e
d
c
f
(x, y) dy obliczamy w ten sposób, ˙ze x traktujemy jako stał ˛a -
otrzymujemy w ten sposób funkcj ˛e zale˙zn ˛a od x. Nast ˛epnie funkcj ˛e t ˛e całkujemy wzgl˛edem tej
zmiennej w przedziale
a; b.
Przykład 1
. Obliczy´c
P
(3xy + x
− 2y + 1) dxdy, gdzie P = {(x, y) : x ∈ 0; 1 i y ∈ 1; 2} .
Zgodnie ze wzorem (1) mamy:
P
(3xy + x
− 2y + 1) dxdy =
1
0
2
1
(3xy + x
− 2y + 1) dy
dx
=
=
1
0
3
2
xy
2
+ xy
− y
2
+ y
y
= 2
y
= 1
dx
=
1
0
3
2
x
· 2
=
=
1
0
3
2
x
· 2
2
+ x
· 2 − 2
2
+ 2
−
3
2
x
· 1 + x · 1 − 1
2
+ 1
dx
=
1
0
11
2
x
− 2
dx
=
=
11
2
·
1
2
x
2
− 2x
x
= 1
x
= 0
=
11
4
· 1
2
− 2 · 1
−
11
4
· 0
2
− 2 · 0
=
3
4
.
Uwaga
. We wzorze (1) mo˙zna zmieni´c kolejno´s´c całkowania, tzn.
(1’)
P
f
(x, y) dxdy =
c
d
b
a
f
(x, y) dx
dy.
Poj ˛ecie całki podwójnej rozszerza si ˛e na zbiory postaci
(2)
D
=
{(x, y) : y ∈ y
1
(x) ; y
2
(x)
i x ∈ a; b},
gdzie funkcje y
1
:
a; b −→ R i y
2
:
a; b −→ R s ˛a funkcjami ci ˛agłymi oraz y
1
(x)
≤ y
2
(x) dla
x
∈ a; b lub na zbiory postaci
(2’)
D
=
{(x, y) : x ∈ x
1
(y) ; x
2
(y)
i y ∈ c; d},
gdzie funkcje x
1
:
c; d −→ R i x
2
:
c; d −→ R s ˛a funkcjami ci ˛agłymi oraz x
1
(y)
≤ x
2
(y) dla
y
∈ c; d.Zbiór postaci (2) nazywamy zbiorem normalnym wzgl ˛edem osi x, a zbiór postaci (2
)
nazywamy zbiorem normalnym wzgl ˛edem osi y.
Twierdzenie 2
Je´sli zbiór D jest postaci
(2) i funkcja f : D
−→ R jest ci ˛
agła, to
(3)
D
f
(x, y) dxdy =
b
a
y
=y
2
(x)
y
=y
1
(x)
f
(x, y) dy
dx.
Twierdzenie 2’
. Je´sli D jest zbiorem postaci (2
) i funkcja f: D
−→ R jest ci ˛
agła, to
(3’)
D
f
(x, y) dxdy =
d
c
x
=x
2
(y)
x
=x
1
(y)
f
(x, y) dx
dy.
1
Przykład 2
. Obliczy´c
D
(2x + xy
− 3) dxdy, gdzie D jest trójk ˛atem o wierzchołkach (1, 1),
(4, 1) i (4, 4).
Poniewa˙z
D
=
{(x, y) : y ∈ 1; x i x ∈ 1; 4},
wi ˛ec zbiór D jest postaci (2), gdzie y
1
(x) = 1 i y
2
(x) = x. Wobec tego, zgodnie ze wzorem (3),
otrzymujemy
D
(2x + xy
− 3) dxdy =
4
1
y
=x
y
=1
(2x + xy
− 3) dy
dx
=
4
1
2xy + x
·
1
2
y
2
− 3y
y
= x
y
= 1
=
=
4
1
2x
· x + x ·
1
2
x
2
− 3 · y
−
2x
· 1 + x ·
1
2
1
2
− 3 · 1
dx
=
=
4
1
1
2
x
3
+ 2x
2
−
11
2
x
+ 3
dx
=
1
2
·
1
4
x
4
+ 2
·
1
3
x
3
−
11
2
·
1
2
x
2
+ 3x
4
1
=
=
1
8
· 4
4
+
2
3
· 4
3
−
11
4
· 4
2
+ 3
· 4
−
1
8
· 1
4
+
2
3
· 1
3
−
11
4
· 1
2
+ 3
· 1
= 41
5
8
.
Przy obliczaniu całek podwójnych korzysta si ˛e cz ˛esto z twierdzenia o zamianie zmiennych.
Własno´s´c t ˛e sformułujemy tylko przy zamianie zmiennych kartezja´nskich na współrz ˛edne biegunowe.
Twierdzenie 3
. Je´sli D jest zbiorem normalnym, funkcja f: D
−→ R jest funkcj ˛
a ci ˛
agł ˛
a oraz
x
= r cos ϕ i y = r sin ϕ dla r
∈ a; b i ϕ ∈ c; d, to
D
f
(x, y) dxdy =
b
a
d
c
f
(r cos ϕ, r sin ϕ) rdϕ
dr.
Oczywi´scie po prawej stronie wzoru mo˙zna zmieni´c kolejno´s´c obliczania poszczególnych całek.
2. Całki krzywoliniowe
Płaskim łukiem regularnym
(gładkim) nazywamy zbiór L postaci
(4)
L
=
{(x (t) , y (t)) : t ∈ α; β},
gdzie x (t) , y (t) maj ˛
a ci ˛
agłe pochodne, (x
(t))
2
+ (y
(t))
2
>
0 dla t
∈ α; β oraz (x (t
1
) , y (t
1
))
=
= (x (t
2
) , y (t
2
)) dla t
1
= t
2
(t
1
∈ α; β, t
2
∈ α; β).
Twierdzenie 4
. Je´sli L jest łukiem regularnym postaci (4) i funkcja f: L
−→ R jest funkcj ˛
a
ci ˛
agł ˛
a
, to
L
f
(x, y) dl =
β
α
f
(x (t) , y (t))
(x
(t))
2
+ (y
(t))
2
dt.
Twierdzenie 5
. Je´sli L jest łukiem regularnym zorientowanym postaci (4), parametryzacja
(x (t) , y (t)) jest zgodna z orientacj ˛
a oraz funkcje P
: L
−→ R i Q: L −→ R s ˛
a funkcjami ci ˛
agłymi
,
to
L
P
(x, y) dx + Q (x, y) dy =
β
α
(P (x (t) , y (t))
· x
(t) + Q (x (t) , y (t))
· y
(t)) dt.
Przykład 3
. Obliczy´c
AB
(3x + y
− 1) dx + (2x + 4y + 1) dy, gdzie A = (2, 3), B = (−3, 5)
i odcinek AB jest zorientowany od punktu A do punktu B.
Je´sli
AB
=
A
+ t
·
−−→
AB
: t
∈ 0; 1
,
to parametryzacja odcinka AB jest zgodna z orientacj ˛
a o pocz ˛
atku w punkcie A i ko´ncu w punkcie
B.
Wobec tego
AB
=
A
+ t
·
−−→
AB
: t
∈ 0; 1
=
{(2, 3) + t · [−6, 2] : t ∈ 0; 1} = {(2 − 6t, 3 + 2t) : t ∈ 0; 1} .
St ˛
ad
x
(t) = 2
− 6t x
(t) =
−6
y
(t) = 3 + 2t
y
(t) = 2
.
Zatem
AB
(3x + y
− 1) dx + (2x + 4y + 1) dy =
=
1
0
((3
· (2 − 6t) + (3 + 2t) − 1) · (−6) + (2 · (2 − 6t) + 4 · (3 + 2t) + 1) · 2) dt =
=
1
0
(88t
− 14) dt =
44t
2
− 14t
1
0
= 44
· 1
2
− 14 · 1 − 0 = 30
2
3. Równania ró˙zniczkowe zwyczajne
Równanie ró˙zniczkowe postaci
(5)
y
= f (x) g (y) ,
gdzie f: (a; b)
−→ R, g: (c; d) −→ R, nazywamy równaniem ró˙zniczkowym o zmiennych rozdzielo-
nych
.
Twierdzenie 6
. Je´sli funkcje f i g s ˛
a ci ˛
agłe
, g (y)
= 0 dla y ∈ (c; d), x
0
∈ (a; b) i y
0
∈ (c; d),
to istnieje dokładnie jedno rozwi ˛
azanie równania
(5) takie, ˙ze y (x
0
) = y
0
.
Równanie postaci
(6)
y
+ p (x) y = q (x)
nazywamy równaniem ró˙zniczkowym liniowym. Natomiast równanie postaci
(7)
y
+ p (x) y = 0
nazywamy równaniem jednorodnym równania liniowego (6). Równanie jednorodne jest równaniem
o zmiennych rozdzielonych.
Twierdzenie 7
. Je´sli funkcje f oraz g s ˛
a okre´slone na przedziale
(a; b) i s ˛
a ci ˛
agłe, to dla dowol-
nego x
0
∈ (a; b) i y
0
∈ R istnieje dokładnie jedno rozwi ˛
azanie równania
(6) takie, ˙ze y (x
0
) = y
0
.
Twierdzenie 8
.
Je´sli funkcje f oraz g s ˛
a okre´slone na przedziale
(a; b) i s ˛
a ci ˛
agłe, to
całka ogólna równania niejednorodnego
(CORN) jest sum ˛
a całki ogólnej równania jednorodnego
(7) (CORJ) i całki szczególnej równania niejednorodnego (CSRN):
CORN=CORJ + CSRN.
Zwykle całk˛e szczególn ˛
a równania niejednorodnego wyznacza si ˛e metod ˛
a przewidywania.
Przykład 4
. Wyznaczymy całk˛e ogóln ˛
a równania ró˙zniczkowego y
+ 2y = 6x + 7.
W tym celu rozwi ˛
azujemy najpierw równanie jednorodne
y
+ 2y = 0.
Mamy:
dy
dx
+ 2y = 0,
dy
y
=
−2dx,
dy
y
=
(
−2xdx), ln |y| = −x
2
+ C,
|y| = e
−
x
2
C
1
.
Zatem CORJ jest
|y| = e
−
x
2
C
1
(C
1
>
0).
Wyznaczymy teraz całk˛e szczególn ˛
a równania ró˙zniczkowego niejednorodnego. Poniewa˙z po
prawej stronie równania mamy wielomian stopnia pierwszego i w wyniku ró˙zniczkowania wielo-
mianu otrzymujemy wielomian, wi ˛ec CSRN b ˛edziemy wyznacza´c w´sród funkcji wielomianowych.
A zatem zbadamy, czy istniej ˛
a liczby A i B takie, by funkcja y = Ax + B była CSRN. Skoro
y
= Ax + B i y
= A, to uwzgl ˛edniaj ˛
ac to w równaniu y
+ 2y = 6x + 7 otrzymujemy kolejno:
A
+ 2 (Ax + B) = 6x + 7, 2Ax + (A + 2B) = 6x + 7.
St ˛
ad
2A = 6
A
+ 2B = 7.
Rozwi ˛
azaniem tego układu równa´n jest A = 3, B = 2. Wobec tego y = 3x + 2 jest CSRN i tym
samym
|y| = 3x + 2 + e
−
x
2
C
1
jest całk ˛
a ogóln ˛
a równania ró˙zniczkowego y
+ 2y = 6x + 7.
Równanie postaci
(8)
y
+ p
· y
+ q
· y = f (x)
gdzie p i q s ˛
a dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy równaniem ró˙zniczkowym rz ˛edu
drugiego o stałych współczynnikach
. Równanie postaci
(9)
y
+ p
· y
+ q
· y = 0
nazywamy równaniem jednorodnym równania postaci (8) .Równanie kwadratowe
(10)
r
2
+ pr + q = 0 (z niewiadom ˛
a r)
nazywamy równaniem charakterystycznym równania postaci (9)
Twierdzenie 9
. (i) Je´sli r
1
i r
2
s ˛
a ró˙znymi rozwi ˛
azaniami rzeczywistymi równania
(10), to
funkcja y postaci
y
= C
1
e
r
1
x
+ C
2
e
r
2
x
jest całk ˛
a ogóln ˛
a równania ró˙zniczkowego jednorodnego (9), gdzie C
1
∈ R, C
2
∈ R.
(ii) Je´sli r
0
jest podwójnym rozwi ˛
azaniem równania charakterystycznego
(10), to funkcja y
postaci
y
= (C
1
+ C
2
x
) e
r
0
x
jest całk ˛
a ogóln ˛
a równania ró˙zniczkowego jednorodnego (9), gdzie C
1
∈ R, C
2
∈ R.
(iii) Je´sli liczba zespolona α+βi (α
∈ R, β ∈ R) jest rozwi ˛
azaniem równania charakterystycznego
(10), to funkcja y postaci
y
= (C
1
cos βx + C
2
sin βx) e
αx
3
jest całk ˛
a ogóln ˛
a równania ró˙zniczkowego jednorodnego (9), gdzie C
1
∈ R, C
2
∈ R.
Twierdzenie 10
. Je´sli funkcja f jest ci ˛
agła, to całka ogólna równania niejednorodnego
(CORN)
y
+ p
·y
+ q
·y = f (x) jest sum ˛
a całki ogólnej równania jednorodnego
(CORJ) y
+ p
·y
+ q
·y = 0
i całki szczególnej równania niejednorodnego
(CSRN):
CORN = CORJ + CSRN.
Twierdzenie 11
. Je´sli funkcja f: (a; b)
−→ R jest ci ˛
agła na przedziale
(a; b) i x
0
∈ (a; b), to
istnieje dokładnie jedno rozwi ˛
azanie równania ró˙zniczkowego y
+ p
· y
+ q
· y = f (x) takie, ˙ze
y
(x
0
) = y
0
i y
(x
0
) = y
1
dla dowolnych y
0
∈ R i y
1
∈ R.
Przykład 5
. Wyznaczymy rozwi ˛
azanie równania ró˙zniczkowego y
+ 5y
+ 4y = 0 takie, ˙ze
y
(0) = 2 i y
(0) =
−5.
Równanie y
+5y
+4y = 0 jest równaniem jednorodnym. Jego równaniem charakterystycznym
jest
r
2
+ 5r + 4 = 0,
a jego rozwi ˛
azaniami s ˛
a liczby
−4 i −1.Wobec tego
y
= C
1
e
−
4x
+ C
2
e
−
x
jest całk ˛
a ogóln ˛
a równania ró˙zniczkowego y
+ 5y
+ 4y = 0, gdzie C
1
∈ R i C
2
∈ R. Pochodn ˛a
funkcji y = C
1
e
−
4x
+ C
2
e
−
x
jest
y
=
−4C
1
e
−
4x
− C
2
e
−
x
,
Nale˙zy dobra´c stałe C
1
i C
2
takie, by y (0) = 2 i y
(0) =
−5. Otrzymujemy układ równa´n
C
1
e
−
4·0
+ C
2
e
−
0
= 2
−4C
1
e
−
4·0
− C
2
e
−
0
=
−5
,
czyli
C
1
+ C
2
= 2
−4C
1
− C
2
=
−5
St ˛
ad C
1
= 1, C
2
= 1 i y = e
−
4x
+ e
−
x
jest całk ˛
a szczególn ˛
a równania y
+ 5y
+ 4y = 0
spełniaj ˛
ac ˛
a warunki pocz ˛
atkowe y (0) = 2 i y
(0) =
−5.
Przykład 6
. Wyznaczy´c całk˛e ogóln ˛
a równania ró˙zniczkowego y
− y
− 6y = −18x − 15.
Równaniem jednorodnym tego równania jest równanie
y
− y
− 6y = 0,
a jego równaniem charakterystycznym jest
r
2
− r − 6 = 0.
Rozwi ˛
azaniem równania charakterystycznego s ˛
a liczby
−2 i 3.Wobec tego całk ˛a ogóln ˛a równania
jednorodnego (CORJ) jest
y
= C
1
e
−
2x
+ C
2
e
3x
,
gdzie C
1
∈ R i C
2
∈ R.
Całk˛e szczególn ˛
a równania niejednorodnego (CSRN) wyznaczymy metod ˛
a przewidywania. Po-
niewa˙z po prawej stronie równania y
− y
− 6y = −18x − 15 jest funkcja liniowa, wi˛ec spróbujemy
wyznaczy´c całk˛e szczególn ˛
a w´sród funkcji liniowych. Sprawdzimy, czy istniej ˛
a liczby A i B takie,
by funkcja y = Ax + B była rozwi ˛
azaniem równania y
− y
− 6y = −18x − 15. Skoro y
= A
i y
= 0, to nale˙zy wyznaczy´c A i B takie, by
0
− A − 6 (Ax + B) = −18x − 15,
czyli
−6Ax + (−A − 6B) = −18x − 15.
St ˛
ad
−6A = −18
−A − 6B = −15
.
Rozwi ˛
azaniem układu równa´n jest para (3, 2). Wobec tego funkcja
y
= 3x + 2
jest rozwi ˛
azaniem równania (CSRN)
y
− y
− 6y = −18x − 15.
Zatem y = C
1
e
−
2x
+C
2
e
3x
+3x+2 (C
1
∈ R i C
2
∈ R) jest całk ˛a ogóln ˛a równania ró˙zniczkowego
y
− y
− 6y = −18x − 15.
4. Zmienna losowa i jej parametry
W rachunku prawdopodobie´nstwa u˙zywa si˛e zapisów skrótowych. I tak na przykład
P
(X = x) oznacza P (
{ω ∈ Ω: X (ω) = x}),
P
(X < x) oznacza P (
{ω ∈ Ω: X (ω) < x}),
P
(X > x) oznacza P (
{ω ∈ Ω: X (ω) > x});
P
(a
≤ X < b) oznacza P ({ω ∈ Ω: a ≤ X (ω) < b}) .
Je´sli X jest zmienn ˛
a losow ˛
a, to funkcj ˛e F : R
−→ R okre´slon ˛a wzorem
4
F
(x) = P (X < x) dla x
∈ R
nazywamy dystrybuant ˛
a zmiennej losowej X
.
Je´sli zmienna losowa X przyjmuje tylko warto´sci x
1
,x
2
,...,x
n
, przy czym
p
i
= P (X = x
i
) dla i
∈ {1, 2, ..., n},
to pary
(x
1
, p
1
), (x
2
, p
2
),...,(x
n
, p
n
)
nazywamy rozkładem prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej X (krótko: rozkładem). Zwykle rozkład
prawdopodobie´nstwa podaje si ˛e w postaci tabeli.
Zmienna losowa X nazywa si ˛e zmienn ˛
a losow ˛
a ci ˛
agł ˛
a (typu ci ˛
agłego), gdy istnieje taka nieu-
jemna funkcja f : R
−→ R taka, ˙ze
F
(x) =
x
−∞
f
(t) dt dla x
∈ R.
Funkcj ˛e f nazywamy g ˛
esto´sci ˛
a zmiennej losowej X
.
Uwaga
. W niektórych podr ˛ecznika dystrybuanta jest okre´slana wzorem
F
(x) = P (X
≤ x) dla x ∈ R
co w przypadku zmiennej losowej ci ˛
agłej nie ma ˙zadnego znaczenia.
Przykład 7
. W loterii pozostało 10 losów: 1 los daj ˛
acy wygran ˛
a 100 zł, 2 losy daj ˛
ace wygrane
po 50 zł i 7 losów „pustych". Oznaczmy przez X zmienn ˛
a losow ˛
a wyra˙zaj ˛
ac ˛
a wygran ˛
a przy zakupie
2 losów. Wyznaczymy rozkład prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej X.
Przyjmijmy, ˙ze zdarzeniem elementarnym jest wynik wylosowania 2 losów spo´sród 10 (kupienie
2 losów spo´sród 10). Poniewa˙z kolejno´s´c wylosowania nie jest istotna, wi˛ec wszystkich zdarze´n
elementarnych jest
10
2
= 45. Zakładamy, ˙ze wszystkie zdarzenia jednoelementowe s ˛a równo-
prawdopodobne (schemat klasyczny).
W zadaniu tym zmienna losowa przyjmuje warto´sci: 150 zł (gdy w´sród kupili´smy los daj ˛
acy
wygran ˛
a 100 zł i los daj ˛
acy wygran ˛
a 50 zł), 100 zł (gdy kupili´smy los daj ˛
acy wygran ˛
a 100 zł i drugi
los „pusty" lub gdy kupili´smy dwa losy daj ˛
ace wygran ˛
a po 50 zł), 50 zł (gdy kupili´smy los daj ˛
acy
wygran ˛
a 50 zł i los „pusty") i 0 zł (gdy kupili´smy losy „puste"). Rozkład prawdopodobie´nstwa
zmiennej losowej X podaje tabela.
Tabela
. Rozkład prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej X
x
i
150
100
50
0
p
i
1
1
·
2
1
10
2
1
1
·
7
1
+
2
2
10
2
2
1
·
7
1
10
2
7
2
10
2
lub po wykonaniu oblicze´n
x
i
150
100
50
0
p
i
2
45
8
45
14
45
21
45
.
Podstawowymi parametrami zmiennej losowej X s ˛
a: warto´s´c oczekiwana EX i wariancja D
2
X
.
Liczb ˛e σ =
√
D
2
X
nazywamy odchyleniem standardowym.
Warto´s´c oczekiwana EX jest okre´slana wzorem
EX
=
n
i
=1
x
i
p
i
, gdy X ma rozkład (x
1
, p
1
) , (x
2
, p
2
) , ..., (x
n
, p
n
)
+∞
−∞
xf
(x) dx, gdy f jest funkcj ˛
a g ˛esto´sci zmiennej X
W przypadku, gdy zmienna losowa X jest zmienn ˛
a losow ˛
a ci ˛
agł ˛
a, to warto´s´c oczekiwan ˛
a okre´sla
si ˛e tylko w przypadku, gdy całka niewła´sciwa wyst ˛epuj ˛
aca w definicji jest zbie˙zna.
Twierdzenie 12
. D
2
X
= E
X
2
− (EX)
2
.
Przykład 8
. Obliczy´c odchylenie standardowe i poda´c wzór dystrybuanty zmiennej losowej X
o rozkładzie prawdopodobie´nstwa
x
i
1
5
7
p
i
0,3
0,2
0,5
W przykładzie tym rozkładem prawdopodobie´nstwa s ˛
a pary: (1, 0.3), (5, 0.2), (7, 0.5). Wobec
tego
EX
= Σx
i
p
i
= 1
· 0.3 + 5 · 0.2 + 7 · 0.5 = 4.8,
E
X
2
= Σx
2
i
p
i
= 1
2
· 0.3 + 5
2
· 0.2 + 7
2
· 0.5 = 29. 8
Na mocy twierdzenia 12 mamy
5
σ
=
E
(X
2
)
− (EX)
2
=
29.8
− (4.8)
2
= 2. 6.
Zmienna losowa X przyjmuje tylko trzy warto´sci: 1, 5 i 7. Wobec tego
i) Je´sli x
≤ 1, to {ω ∈ Ω: X (ω) < x} = ∅. St ˛ad
F
(x) = P (X < x) = P (
∅) = 0 dla x ≤ 1.
ii) Je´sli 1 < x
≤ 5, to {ω ∈ Ω: X (ω) < x} = {ω ∈ Ω: X (ω) = 1}. St ˛ad
F
(x) = P (X < x) = P (X = 1) = 0, 3 dla 1 < x
≤ 5.
iii) Je´sli 5 < x
≤ 7, to
{ω ∈ Ω: X (ω) < x} = {ω ∈ Ω: X (ω) = 1} ∪ {ω ∈ Ω: X (ω) = 5}.
St ˛
ad
F
(x) = P (X < x) = P (X = 1) + P (X = 5) = 0, 3 + 0, 2 = 0, 5 dla 5 < x
≤ 7.
iv) Je´sli x > 7, to
{ω ∈ Ω: X (ω) < x} = {ω ∈ Ω: X (ω) = 1} ∪ {ω ∈ Ω: X (ω) = 5} ∪ {ω ∈ Ω: X (ω) = 7}.
St ˛
ad
F
(x) = P (X < x) = P (X = 1) + P (X = 5) + P (X = 7) = 0, 3 + 0, 2 + 0, 5 = 1 dla x > 7.
Dystrybuanta jest wi ˛ec okre´slona wzorem
F
(x) =
0 dla x
≤ 1
0, 3 dla 1 < x
≤ 5
0, 5 dla 5 < x
≤ 7
1 dla x > 7
Zadania do samodzielnego rozwi ˛
azania
1
. Obliczy´c: a)
P
(x + 2y) dxdy, gdzie P jest prostok ˛
atem o wierzchołkach: (
−4, −2), (1, −2),
(1, 2) i (
−4, 2); b)
D
(3x
− 2y + 1) dxdy, gdy D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2 i 1 ≤ y ≤ 2},
c)
D
(x
− y + 1) dxdy, gdy D jest trójk ˛atem o wierzchołkach (0, 0), (−1, 0) i (−1, −2),
d)
D
(2x + 2y
− 1) dxdy, gdy D jest trójk ˛atem o wierzchołkach (1, 1),(3, 1) i (3, 3),
e)
D
(x + y
− 1) dxdy, gdzie D jest trójk ˛atem o wierzchołkach (−3, 0), (0, 0) i (0, 3);
f)
D
(x
− y) dxdy, gdzie D =
(x, y): x
2
+ y
2
9
, g)
D
(x + y) dxdy, gdy D: x
2
+ y
2
≤ 4,
h)
D
3x
2
+ 3y
2
dxdy
, gdy D: x
2
+ y
2
≤ 1, i)
D
x
2
+ y
2
+ 1
dxdy
, gdy D: x
2
+ y
2
≤ 1,
j)
D
3
x
2
+ y
2
dxdy
, gdy D: x
2
+ y
2
≤ 4, k)
D
2x
2
+ 2y
2
dxdy
, gdy D: x
2
+ y
2
≤ 9.
2
. Obliczy´c: a)
L
dl
x
− y
, gdzie L =
(x, y): y =
1
2
x
− 2 i 0 x 4
; b)
L
x
2
+ y
2
dl
, gdzie L =
=
{(cos t + t sin t, sin t − t cos t):0 t 2π }; c)
L
x
2
+ y
2
dl
, gdzie
L
=
{(r cos t, r sin t) :0 t 2π}; d)
AB
(x + y) dx + ydy, gdzie AB jest odcinkiem o ko´ncach
w punktach A = (1, 1), B = (3, 2) zorientowanym od punktu A do punktu B;e)
AB
(x
− 2y) dx+ydy,
gdzie AB jest odcinkiem o ko´ncach w punktach A = (
−1, 1), B = (4, 3) skierowanym od punktu A
do punktu B, f)
K
(x + y) dx + (x + 2y) dy, gdzie K =
t, t
2
: 0 t 1
skierowanym zgodnie ze
wzrostem parametru t; g)
K
(x + y) dx + (x + 2y) dy, gdzie K =
{(t, t) : 0 t 1} zorientowanym
zgodnie ze wzrostem parametru t., h)
K
(x
− 3y) dx + (x + y) dy, gdzie K = {(2t, t) : 0 t 1}
skierowanym zgodnie ze wzrostem parametru t, i)
K
2xdx + ydy, gdzie K jest ´cwiartk ˛
a okr ˛egu
o równaniu x
2
+ y
2
= 1 skierowanym od punktu (1, 0) do punktu (0, 1) .
6
3
. Wyznaczy´c całk˛e ogóln ˛
a równania ró˙zniczkowego: a) ydx
−
x
2
− 1
dy
= 0, b)
dy
dx
= e
x
+y
,
c)
1 + y
2
dx
+
1 + x
2
dy
= 0, d) x
2
y
+ y = 0, e) y
=
x
− 1
y
, f) xy
+ 2y
− 1 = 0, g) y
= xy.
4
. Wyznaczy´c całk˛e szczególn ˛
a równania ró˙zniczkowego spełniaj ˛ac ˛a podany warunek pocz ˛atkowy:
a) y
=
2x
y
, y (0) = 2; b) y
= e
2x+y
, y (
−1) = 1, c) y
+ 10y = 0, y (0) = 1.
5
. Wyznaczy´c całk˛e szczególn ˛
a równania ró˙zniczkowego spełniaj ˛ac ˛a podany warunek pocz ˛atkowy:
a) y
− 3y = 2x + 5, y (0) = 1; b) y
+ 2y = x
2
, y (0) =
−1; c) y
+ 3y = sin x, y (0) = 2;
d) y
− y = e
2x
, y (0) = 1, e) y
+ 7y = 5 sin 2x + 9 cos 2x, y (0) = 2, f) y
− y = 2 sin 3x, y (0) =
2
5
.
6
. Wyznaczy´c całk˛e ogóln ˛
a równania ró˙zniczkowego: a) y
−5y
+6y =
−2+x
2
, b) y
−4y
+13y =
= sin 2x, c) y
−5y
= 3x+2, d) y
−7y
+6y = 2x
−1, e) y
+4y
+3y = x
−1, f) y
+4y
+3y = 9x+9,
g) y
+ 5y
+ 4y = 12x + 7, h) y
− 2y
= 6
− 12x, i) y
− 4y
+ 4y = x
− 1, j) y
+ 9y = 18x
− 9.
7
. Wyznaczy´c całk˛e szczególn ˛
a równania ró˙zniczkowego spełniaj ˛ac ˛a podany warunek pocz ˛atkowy:
a) y
+ y = 0, y (0) = 1, y
(0) = 1, b) y
+ 8y
+ 7y = 0, y (0) = 1, y
(0) = 1; c) y
− 4y
+
+3y = 0,y (0) = 2, y
(0) = 4; d) y
+ 4y = 0, y (0) = 1, y
(0) =
−1, e) y
− 2y
+ 2y = 0,y (0) = 0,
y
(0) =
−1; f) y
− y = 3x + 1, y (0) = 0, y
(0) =
−2; g) y
− y
− 12y = −12x − 13, y (0) = 3,
y
(0) = 2. h) y
+ 9y = 9x + 9,y (0) = 2, y
(0) =
−2; i) y
+ 3y
− 4y = −4x + 7,y (0) = 2,
y
(0) =
−1, j) y
+ y
− 6y = 2x − 1, y (0) =
19
9
, y
(0) =
−
4
3
. k) y
+ y
− 6y = 2x − 1, y (0) =
19
9
,
y
(0) =
−
4
3
.
8
. Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami sze´sciennymi do gry. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo
zdarzenia polegaj ˛
acego na tym, ˙ze: a) suma otrzymanych oczek jest liczb ˛
a z przedziału
8; 11,
b) warto´s´c bezwzgl ˛edna ró˙znicy otrzymanych oczek jest równa 4, c) iloczyn otrzymanych oczek
jest liczb ˛
a podzieln ˛
a przez 3 lub przez 4.
9
. W magazynie znajduje si ˛e 12 w˛e˙zy po˙zarniczych, a w´sród nich 4 s ˛a uszkodzone. Obliczy´c praw-
dopodobie´nstwo zdarzenia, ˙ze w´sród losowo wybranych trzech w˛e˙zy: a) dokładnie dwa s ˛
a dobre,
b) co najmniej jeden jest uszkodzony, c) wszystkie s ˛
a uszkodzone.
10
. Z pojemnika zawieraj ˛
acego 3 kule białe i 4 czerwone wybieramy losowo 6 razy po 2 kule,
przy czym wylosowan ˛
a par ˛e wkładamy z powrotem do pojemnika. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo
zdarzenia: a) trzykrotnego wylosowania pary kul tego samego koloru, b) przynajmniej pi ˛eciokrot-
nego wylosowania pary kul o ró˙znych kolorach.
11
. Czujka wykrywa po˙zar z prawdopodobie´nstwem 0,9. Obliczy´c liczb ˛e takich czujek pracuj ˛acych
w sposób niezale˙zny, aby prawdopodobie´nstwo wykrycia po˙zaru było wi˛eksze od 0,99999.
12
. Rzucamy dwa razy monet ˛
a symetryczn ˛
a. Oznaczmy przez X zmienn ˛
a losow ˛
a, która przyjmuje
warto´sci równe liczbie otrzymanych orłów. a) Poda´c rozkład prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej
X
. b) Poda´c wzór dystrybuanty zmiennej losowej X i narysowa´c jej wykres. c) Obliczy´c EX i D
2
X.
13
. Funkcja f jest okre´slona wzorem
f
(x) =
0 dla x < 0
Ax
dla 0 x 2
0 dla x > 2.
a) Wyznaczy´c A tak, by funkcja f była funkcj ˛
a g ˛esto´sci prawdopodobie´nstwa pewnej zmiennej
losowej X. b) Poda´c wzór dystrybuanty zmiennej losowej X i narysowa´c jej wykres. c) Obliczy´c
EX
, D
2
X
i σ. d) Obliczy´c P
0 < X
3
2
.
14
. Obliczy´c EX i σ zmiennej losowej X o rozkładzie: a)
x
i
−2
1
3
p
i
0,2
0,4
0,4
,
b)
x
i
12
15
20
p
i
0,3
0,3
0,4
,
c)
x
i
−2
−1
2
3
p
i
0,1
0,2
0,3
0,4
. W ka˙zdym zadaniu narysowa´c dystry-
buant ˛e zmiennej losowej.
Odpowiedzi
1
. a)
−30.b) 2. c) 1. d)14. e) −
9
2
. f) 0. g) 0. h)
3
2
π
. i)
3
2
π
. j)
24
7
3
√
2π. k) 18
√
2π. 2. a)
√
5 ln 2.
b)
4
3
π
2
√
4π
2
+ 1 +
1
3
√
4π
2
+ 1
−
1
3
. c) 2πr. d) 12. e) 21
1
2
. f)
5
2
. g)
5
2
. h)
1
2
.
i)
−
1
2
.
7
3
. a) y = C
x−
1
x
+1
. b) y =
− ln (C − e
x
). c) y = tg (arctg (x + C)).d) y = Ce
1
x
. e) y
2
= x
2
−2x+C.
f) y =
1
2x
2
x
2
+ C
. g) y = Ce
1
2
x
2
. 4. a) y =
√
2x
2
+ 4. b) y =
− ln
e
−
1
+
1
2
e
−
2
−
1
2
e
2x
.
c) y = e
−
10x
. 5. a) y =
26
9
e
3x
−
2
3
x
−
17
9
. b) y =
−
5
4
e
−
2x
+
1
2
x
2
−
1
2
x
+
1
4
. c) y =
3
10
sin x+
−
1
10
cos x +
21
10
e
−
3x
. d) y = e
2x
. e) y = cos 2x + sin 2x + e
−
7x
. f) y = e
x
−
3
5
cos 3x
−
1
5
sin 3x.
6
. a) y = C
1
e
2x
+ C
2
e
3x
+
1
6
x
2
−
1
3
. b) y = e
2x
(C
1
cos 3x + C
2
sin 3x) +
8
145
cos 2x +
9
145
sin 2x.
c) y = C
1
+ C
2
e
5x
−
3
10
x
2
−
13
25
x
. d) y = C
1
e
x
+ C
2
e
6x
+
1
3
x
+
2
9
. e) y = C
1
e
−
3x
+ C
2
e
−
x
+
1
3
x
−
7
9
.
f) y =
−1 + 3x + C
1
e
−
x
+ C
2
e
−
3x
.
g) y = 3x
− 2 + e
−
4x
C
1
+ C
2
e
−
x
. h) y = 3x
2
+ C
1
+ C
2
e
2x
.
i) y =
1
4
x
+ C
1
e
2x
+ C
2
xe
2x
. j) y = 2x
− 1 + C
1
cos 3x + C
2
sin 3x. 7. a) y = cos x + sin x.
b) y =
4
3
e
−
x
−
1
3
e
−
7x
.
c) y = e
x
+ e
3x
. d) y = cos 2x
−
1
2
sin 2x. e) y =
− sin x ·e
x
.
f)y = e
x
−3x −1.
g) y = e
−
3x
+ e
4x
+ x + 1. h) y = cos 3x
− sin 3x + x + 1. i) y = 2e
x
+ e
−
4x
+ x
− 1.
j) y = e
2x
+ e
−
3x
−
1
3
x
+
1
9
. k) y = e
2x
+ e
−
3x
−
1
3
x
+
1
9
. 8
. a)
7
18
. b)
1
9
. c)
7
9
. 9. a)
28
55
. b)
41
55
.
c)
1
55
. 10. a)
34560
117649
. b)
22 528
117 649
. 11
. Potrzeba co najmniej 6 czujek.
12
. a)
x
i
0
1
2
p
i
1
4
1
2
1
4
. b) F (x) =
0
dla
x
≤ 0
1
4
dla
0 < x
≤ 1
3
4
dla
1 < x
≤ 2
1
dla
x >
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
x
F(x)
c) EX = 1, D
2
X
=
1
2
13
. a)
1
2
. b) F (x) =
0
dla
x <
0
1
4
x
2
dla
0
≤ x ≤ 2
1
dla
x >
2
8
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
c) EX =
4
3
, D
2
X
=
2
9
, σ =
√
2
3
.
d)
9
16
.
14
. a) EX = 1. 2, σ = 1. 833.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
b) EX = 16. 1; σ = 3. 389 7
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
c) EX = 1. 4; σ = 1. 854 7
9
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x)
Literatura
[1] I. Dziubi´nski, L. Siewierski, Matematyka dla wy˙zszych szkół technicznych, tom 2, PWN,
Warszawa 1981
[2] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, wyd. XV, PWN, Warszawa
1983
[3] W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wy˙zszych uczelni technicznych, wyd. IX, PWN,
Warszawa 1998
10
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Plyta CD materialy edukacyjne dla nauczycieli i rodzicow
Nowe materiały i technologie dla motoryzacji
ftryg, materialy, Matematyka, matematyka - dowody
zestaw9, Matematyka stosowana, Analiza, Analiza matematyczna dla leniwych
Rozniczka elast tempo, STUDIA MATERIAŁY, MATEMATYKA
bryły obrotowe powtorzenie - lekcja otwarta w III g, Matematyka dla Szkoły Podstawowej, Gimnazjum
Scenariusz zajęć matematycznych dla klasy I szkoły podstawowej
Sprawdzian wiadomości z?ukacji matematycznej dla kl III
Szczygieł, inżynieria materialów i nauka o materiałach, zagadnienia dla części metale
zestaw10, Matematyka stosowana, Analiza, Analiza matematyczna dla leniwych
Pole powierzchni i objetość brył - scenariusz III g, Matematyka dla Szkoły Podstawowej, Gimnazjum
więcej podobnych podstron