Funkcje wykładnicze i logarytmiczne

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

NTERNETOWY

BIÓR

ADA ´

N Z

ATEMATYKI

UNKCJE WYKŁADNICZE I

LOGARYTMICZNE

Funkcje

wykładnicze i logarytmiczne s ˛

a ze sob ˛

a bardzo blisko zwi ˛

azane i dlatego omówimy

je w jednym poradniku.

Funkcja wykładnicza

Funkcj ˛

a wykładnicz ˛

a nazywamy funkcj˛e postaci y

, gdzie a

0 i a

1. Dziedzin ˛

funkcji wykładniczej jest cały zbiór liczb rzeczywistych.

y=a

a>1

y=a

a<1

Je ˙zeli a

1 to funkcja wykładnicza jest rosn ˛

aca i ro´snie od 0 do

∞. Je˙zeli natomiast

1, to funkcja jest malej ˛

aca i maleje od

∞ do 0.

W obu przypadkach

wykres

funkcji wykładniczej przecina o´s Oy w punkcie

(

0, 1

)

Funkcja logarytmiczna

Funkcj ˛

a logarytmiczn ˛

a nazywamy funkcj˛e postaci y

log

x, gdzie a jest ustalon ˛

a liczb ˛

dodatni ˛

a i a

1. Dziedzin ˛

a funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich.

y=log x

a<1

y=log x

a>1

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

NTERNETOWY

BIÓR

ADA ´

N Z

ATEMATYKI

Dla a

1 funkcja y

log

x jest funkcj ˛

a rosn ˛

ac ˛

a i ro´snie od

−

∞ do

∞. Dla a

funkcja y

log

x jest funkcj ˛

a malej ˛

ac ˛

a i maleje od

∞ do

−

∞.

W obu przypadkach wykres funkcji logarytmicznej przecina o´s Ox w punkcie

(

1, 0

)

Zwi ˛

azek funkcji wykładniczej z funkcj ˛

a logarytmiczn ˛

Funkcja logarytmiczna f

(

) =

log

x jest

funkcj ˛

a odwrotn ˛

do funkcji wykładniczej g

(

) =

, tzn.

(

)) =

log

(

)) =

log

O funkcji odwrotnej nale ˙zy my´sle´c tak: je ˙zeli traktujemy funkcj˛e g

(

) =

jako maszyn-

k˛e, która zamienia liczb˛e x na liczb˛e g

(

)

, czyli 2 na 4, 4 na 16, 10 na 1024 itd., to funkcja

odwrotna f

(

) =

log

x zamienia te liczby w drug ˛

a stron˛e: 4 na 2, 16 na 4, 1024 na 10.

Na wykresie ten zwi ˛

azek przejawia si˛e symetri ˛

a: wykresy funkcji a

i log

x s ˛

a syme-

tryczne wzgl˛edem prostej y

y=log x

a<1

y=a

a<1

y=x

y=log x

a>1

y=a

a>1

y=x

Je ˙zeli popatrzymy na wykres logarytmu to wida´c, ˙ze logarytm ro´snie/maleje (w zale ˙z-

no´sci od a) na pocz ˛

atku szybko (powiedzmy do x

1), a potem bardzo wolno. Odpowiada

to temu, ˙ze funkcja wykładnicza ro´snie/maleje wolno dla y

1 i bardzo szybko dla y

Zadania

.info

Podoba Ci się ten poradnik?

Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!

IPS

& T

RICKS

Na pocz ˛

atku cz˛esto uczniom myl ˛

a si˛e funkcja pot˛egowa y

z funkcj ˛

a wykładnicza y

. Ró ˙znica jest zasadnicza: w pierwszym przypadku wykładnik jest stały, a zmienia si˛e

podstawa; w drugim jest odwrotnie.

Oczywi´scie jest jeszcze jedna mo ˙zliwo´s´c, mog ˛

a si˛e zmienia´c obie rzeczy naraz: np. y

. Warto pami˛eta´c, ˙ze tego typu funkcja nie jest ani funkcj ˛

a pot˛egow ˛

a, ani wykładnicz ˛

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

NTERNETOWY

BIÓR

ADA ´

N Z

ATEMATYKI

Symetria pomi˛edzy wykresami funkcji y

i y

log

x to nie jedyna symetria pomi˛edzy

wykresami funkcji wykładniczych/logarytmicznych. Z łatwej do sprawdzenia równo´sci

log

= −

log

wynika, ˙ze wykresy funkcji y

log

x i y

log

x s ˛

a symetryczne wzgl˛edem osi Ox.

y=log x

y=a

( )

x=0

y=0

Podobnie, z równo´sci

−

wynika, ˙ze wykresy funkcji a

s ˛

a symetryczne wzgl˛edem osi Oy.

Poniewa ˙z

log

wykresy funkcji y

log

x i y

log

x ró ˙zni ˛

a si˛e tylko przemno ˙zeniem przez liczb˛e

log

To mno ˙zenie odpowiada przeskalowaniu wykresu wzdłu ˙z osi Oy. W tym sensie wszystkie
wykresy funkcji logarytmicznych s ˛

a prawie takie same.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

NTERNETOWY

BIÓR

ADA ´

N Z

ATEMATYKI

y=b

y=a

y=log x

Podobnie jest dla funkcji wykładniczych:

log

x log

Z tego wzoru wynika, ˙ze wykresy funkcji a

i b

ró ˙zni ˛

a si˛e o skalowanie wzgl˛edem osi Ox

(ze współczynnikiem

log

)

. To, ˙ze wyszedł ten sam współczynnik co dla funkcji logaryt-

micznych to nic dziwnego, ustalili´smy ju ˙z przecie ˙z, ˙ze wykresy funkcji logarytmicznych
powstaj ˛

a z wykresów funkcji wykładniczych przez odbicie wzgl˛edem prostej y

Warto zapami˛eta´c wykresy funkcji logarytmicznych i wykładniczych – bardzo si˛e one przy-
daj ˛

a przy rozwi ˛

azywaniu

nierówno´sci logarytmicznych/wykładniczych

. Nie jest to bardzo

trudne – jak ju ˙z pisałem, wszystkie wykresy maj ˛

a praktycznie ten sam kształt i przechodz ˛

przez punkt

(

1, 0

)

(funkcje logarytmiczne) lub

(

0, 1

)

(funkcje wykładnicze).

To, ˙ze w definicji funkcji wykładniczej zakładamy, ˙ze a

1 jest do´s´c naturalne: dla a

otrzymujemy funkcj˛e stał ˛

Mo ˙ze warto te ˙z napomkn ˛

a´c dlaczego zakładamy, ˙ze a

0. Powód jest taki, ˙ze nie da si˛e

sensownie zdefiniowa´c a

dla a ujemnego.

Ile jest równe

(−

)

Je ˙zeli x jest liczb ˛

a całkowit ˛

a, to nie ma problemu:

(−

)

b˛edzie równe -1 lub 1 w

zale ˙zno´sci od parzysto´sci x. Je ˙zeli jednak dopu´scimy, ˙zeby x był liczb ˛

a wymiern ˛

to zaczynaj ˛

a si˛e ju ˙z powa ˙zne kłopoty. Na przykład dla x

mamy

(−

)

√

−

który nie istnieje. Za to

(−

)

√

−

= −

1. A co np. z x

? Je ˙zeli napiszemy to

jako

(−

)

to jest OK, ale jak napiszemy

(

√

−

)

to jest bez sensu. Wida´c, ˙ze co´s

nie gra. Je ˙zeli natomiast x nie jest liczb ˛

a wymiern ˛

a to ju ˙z kompletnie nie wiadomo

co ma oznacza´c

(−

)

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

NTERNETOWY

BIÓR

ADA ´

N Z

ATEMATYKI

Analogicznie jest z dziedzin ˛

a logarytmu: log

x byłby odpowiedzi ˛

a na pytanie: do jakiej po-

t˛egi nale˙zy podnie´s´c 1, ˙zeby wyszło x? Wida´c, ˙ze to pytanie nie ma sensu dla x

1. Podobnie

jest z log

x dla a

0 – jak ju ˙z pisali´smy wy ˙zej, pot˛egowanie liczb ujemnych na ogół nie ma

˙zadnego sensu.

Funkcje wykładnicze/logarytmiczne s ˛

a ró ˙znowarto´sciowe, tzn. ka ˙zd ˛

a warto´s´c przyjmuj ˛

a co

najwy ˙zej raz. Na wykresie przejawia si˛e to tym, ˙ze z ka ˙zd ˛

a poziom ˛

a prost ˛

a maj ˛

a co najwy-

˙zej jeden punkt wspólny. Dzi˛eki tej własno´sci mo ˙zna łatwo rozwi ˛

azywa´c proste równania

wykładnicze/logarytmiczne.

Rozwi ˛

a ˙zmy równanie 4

128.

Liczymy

No i teraz korzystamy z ró ˙znowarto´sciowo´sci funkcji 2

⇐⇒

Rozwi ˛

a ˙zmy równanie log 5

log x

log 7.

Liczymy

log 5x

log 7

⇐⇒

7
5

Ponownie, opuszczenie logarytmów było mo ˙zliwe dzi˛eki ró ˙znowarto´sciowo´sci
funkcji log x.

W nierówno´sciach logarytmicznych/wykładniczych potrzeba nam odrobin˛e wi˛ecej ni ˙z ró ˙z-
nowarto´sciowo´s´c, potrzebujemy monotoniczno´sci. Tu kluczowe jest pami˛etanie o tym, ˙ze
funkcje a

i log

x s ˛

a malej ˛

ace dla a

1 co oznacza, ˙ze opuszczaj ˛

ac je zmieniamy znak nie-

równo´sci na przeciwny.

Rozwi ˛

a ˙zmy nierówno´s´c

log

Liczymy

log

−

log

> −

log

Trzeba jeszcze uwzgl˛edni´c dziedzin˛e i mamy x

∈ (

0, 9

)

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

NTERNETOWY

BIÓR

ADA ´

N Z

ATEMATYKI

Funkcja wykładnicza y

dla a

1 bardzo szybko ro´snie. W zasadzie to łatwo to sobie

wyobrazi´c: wystarczy na kalkulatorze oblicza´c kolejne pot˛egi 2. Bardzo szybko wyjdziemy
poza zakres kalkulatora. Je ˙zeli kto´s nie wierzy, ˙ze na przykład 10

100

to jest du ˙zo (w ko ´ncu

to tylko 1 i 100 zer), to jest to prawdopodobnie wi˛ecej ni ˙z liczba atomów we wszech´swiecie.
Gdy pomy´sli si˛e o tym w ten sposób to liczba ta powinna wzbudza´c respekt.

Z drugiej strony, gdy jedziemy z x do

−

∞ to funkcja ta bardzo szybko zbiega do 0. ´Sredni-

ca j ˛

adra atomu to około 10

−

metra. Długo´s´c Plancka, czyli ok. 1, 6

−

metra, to długo´s´c,

na której ko ´nczy si˛e znany przez nas wszech´swiat: poni ˙zej tej długo´sci kompletnie trac ˛

a sens

współczesne prawa fizyki (ł ˛

acznie z mechanik ˛

a kwantow ˛

a). To te ˙z powinno budzi´c respekt.

Nawet najmniejsza funkcja wykładnicza y

z a

1 ro´snie szybciej od ka ˙zdej

funkcji pot˛egowej (wielomianu) w nast˛epuj ˛

acym sensie: dla ka ˙zdej liczby n

istnieje K, ˙ze dla wszystkich x

K mamy

˙Zeby doceni´c sens tego stwierdzenia mo ˙zemy my´sle´c tak: dla dostatecznie du ˙zych

x, warto´sci funkcji

(

1, 0000001

)

s ˛

a wi˛eksze ni ˙z warto´sci funkcji x

999999999

. Jak jesz-

cze nie jest jasne, ˙ze to jest dziwne, to spróbujcie sobie wstawi´c do tych wzorów

2, 100, 1000.

Podobnie jest z logarytmem i pierwiastkami. I log

x dla a

1 i

√

x rosn ˛

a wolno,

ale logarytm jest mniejszy od ka ˙zdego pierwiastka (dla du ˙zych x).

Badanie jak szybko co´s ro´snie ma wiele zastosowa ´n praktycznych. We´zmy jeden prosty
przykład z informatyki. Mamy do wykonania pewne zadanie, np. chcemy posortowa´c n
liczb. Zale ˙zy nam oczywi´scie na tym, ˙zeby to sortowanie było szybkie (nawet jak jest bar-
dzo du ˙zo liczb). Jak to zmierzy´c? – liczymy ile pojedynczych operacji procesora zabiera
nasz program. W ten sposób dostajemy pewn ˛

a funkcj˛e zmiennej n, któr ˛

a zwykle nazywa

si˛e zło ˙zono´sci ˛

a obliczeniowa danego algorytmu. No i teraz mamy ró ˙zne mo ˙zliwo´sci. Je ˙zeli

ta funkcja jest wykładnicza, to zadanie uwa ˙za si˛e praktycznie za nieobliczalne. Je ˙zeli jest
to wielomian, to jest lepiej, na ogół da si˛e takie rzeczy liczy´c. Je ˙zeli natomiast zło ˙zono´s´c
jest logarytmiczna, to jest bardzo dobrze – zwi˛ekszanie ilo´sci danych nie b˛edzie drastycznie
wydłu ˙za´c czasu wykonywania programu.

Która funkcja logarytmiczna jest najwa ˙zniejsza? Oczywi´scie to zale ˙zy od kontekstu, ale na
szczególn ˛

a uwag˛e zasługuje logarytm naturalny, czyli logarytm o podstawie e

≈

2, 7183. W

pierwszej chwili sprawa jest do´s´c tajemnicza, bo sama definicja liczby e jako granicy ci ˛

agu

lim

→+

∞

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

NTERNETOWY

BIÓR

ADA ´

N Z

ATEMATYKI

jest do´s´c dziwna i trudno zrozumie´c co takiego magicznego jest w tej liczbie.

Jedna z motywacji jest nast˛epuj ˛

aca. Startujemy od funkcji y

i liczymy pole pod jej

wykresem na przedziale

1, x

dla x

+0.5

+1.25

-0.25

+0.25

+1.25

+2.5

f(x)

Otrzymamy w ten sposób pewna funkcj˛e y

(

)

i okazuje si˛e, ˙ze jest to dokładnie

ln x. Co ciekawe, zacz˛eli´smy od funkcji y

, czyli nie było ˙zadnego e, a jednak jako´s

samo si˛e pojawiło (w podstawie logarytmu). Wła´snie w tym sensie logarytm naturalny jest
naturalny - pojawia si˛e w bardzo naturalnej sytuacji.

Jaka jest najwa ˙zniejsza funkcja wykładnicza? Znowu, troch˛e zale ˙zy to od kontekstu, ale jak
ju ˙z mamy jak ˛

a´s wyró ˙zni´c, to musi to by´c y

. Niezwykło´s´c tej funkcji polega na tym, ˙ze

nie zmienia si˛e ona przy ró ˙zniczkowaniu, tzn.

(

)

. Tak naprawd˛e to jest troch˛e wi˛ecej

takich przykładów, bo ka ˙zda funkcja postaci y

te ˙z ma t˛e własno´s´c, ale s ˛

a to jedyne

przykłady, ˙zadna inna funkcja nie ma tej własno´sci. I znowu jest to do´s´c niesamowite, ˙ze ze
wszystkich mo ˙zliwych funkcji wykładniczych tylko e

nie zmienia si˛e przy ró ˙zniczkowa-

niu. Dlaczego tak jest? Dlaczego e

, a nie 2

, 10

, π

albo 666

? Zwykle mówi si˛e, ˙ze Matka

Natura tak chciała. Na tym wła´snie polega naturalno´s´c e.

Zapis funkcji wykładniczej w postaci f

(

) =

bywa do´s´c niewygodny je ˙zeli w wykładniku

jest do´s´c skomplikowane wyra ˙zanie, dlatego cz˛esto u ˙zywa si˛e synonimu y

exp

(

) =

(od expotential function). Na pocz ˛

atku mo ˙ze by´c trudno si˛e do tego przyzwyczai´c, ale jest to

dokładnie to samo co e

Posługiwanie si˛e funkcjami wykładniczymi obarczone jest prozaicznym problemem: ponie-
wa ˙z funkcja wykładnicza bardzo szybko ro´snie, trudno jest narysowa´c jej wykres. Je ˙zeli
chcemy, ˙zeby na wykresie zmie´scił spory kawałek funkcji to musimy ustali´c bardzo du ˙ze
jednostki na osi Oy. Wtedy jednak przestaje by´c wida´c co si˛e dzieje dla małych argumen-
tów (wykres praktycznie pokrywa si˛e z osi ˛

a Ox). Rozwi ˛

azaniem tego problemu jest u ˙zycie

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

NTERNETOWY

BIÓR

ADA ´

N Z

ATEMATYKI

tzw. skali logarytmicznej, czyli zamiast rysowa´c funkcj˛e y

(

)

, rysujemy y

log f

(

)

Mo ˙zna o tej operacji my´sle´c jak o przeskalowaniu jednostek na osi Oy w ten sposób, ˙ze jed-
na jednostka odpowiada przemno ˙zeniu warto´sci funkcji przez 10. Dzi˛eki temu zabiegowi
wykresy funkcji wykładniczych robi ˛

a si˛e kawałkami prostych i mo ˙zna bardzo sprawnie si˛e

nimi posługiwa´c.

Na poni ˙zszym rysunku narysowane s ˛

a wykresy funkcji y

oraz y

zarów-

no w normalnym układzie współrz˛ednych jak i w układzie ze skal ˛

a logarytmiczn ˛

na osi Oy.

-5

-1

+10

-5

log(y)

y=2

y=x

Wida´c jak funkcja wykładnicza uległa wyprostowaniu, a funkcja pot˛egowa zacz˛eła
wygl ˛

ada´c jak logarytm. Dzi˛eki przeskalowaniu osi Oy o wiele lepiej wida´c praw-

dziwe relacje mi˛edzy tymi funkcjami. Lewy wykres jest myl ˛

acy, bo wygl ˛

ada jakby

było wi˛eksz ˛

a funkcj ˛

a od y

. Patrz ˛

ac na prawy wykres wida´c, ˙ze tak

b˛edzie tylko dla małych warto´sci x (mo ˙zna sprawdzi´c, ˙ze dla x

16). Jest to prze-

jaw wspomnianej ju ˙z przeze mnie własno´sci: funkcja wykładnicza jest wi˛eksza od
ka ˙zdej funkcji pot˛egowej (dla du ˙zych x).

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne pojawiaj ˛

a si˛e w wielu naturalnych sytuacjach.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

NTERNETOWY

BIÓR

ADA ´

N Z

ATEMATYKI

Na poni ˙zszym wykresie przedstawiono typowy przebieg zmiany liczebno´sci ho-
dowli bakterii.

log(n)

Na poziomej osi mamy czas, a na pionowej mamy logarytm z liczebno´sci hodowli
(skala logarytmiczna). Kolejne fazy rozwoju hodowli to
A – faza pierwotnego zahamowania, w której bakterie aklimatyzuj ˛

a si˛e do nowego ´sro-

dowiska, liczebno´s´c hodowli praktycznie nie ulega zmianie.
B – stadium wykładnicze, w którym wzrost liczby bakterii przebiega niezwykle gwał-
townie (wykładniczo).
C – faza stabilizacji, w której zaczyna brakowa´c po ˙zywienia i zmiana liczebno´sci ho-
dowli ulega zahamowaniu
D – faza obumierania, w której z powodu wyczerpania si˛e po ˙zywienia nast˛epuje
gwałtowne (wykładnicze) obumieranie hodowli.

Prawo Webera-Fechnera mówi, ˙ze warto´s´c reakcji układu biologicznego jest pro-
porcjonalna do logarytmu bod´zca.
Pogl ˛

adowo mo ˙zna o tym my´sle´c tak: je ˙zeli b˛edziemy o´swietla´c pokój kolejno przy

pomocy 1, 2, 4, 8, 16 ˙zarówek, to b˛edzie nam si˛e wydawało, ˙ze kolejne zmiany w
poziomie o´swietlenia s ˛

a takie same, tzn., ˙ze w ka ˙zdym kroku robi si˛e ja´sniej dokład-

nie o tyle samo. Inaczej mówi ˛

ac, ˙zeby zwi˛ekszy´c odczuwalno´s´c bod´zca (jasno´s´c,

gło´sno´s´c), musimy zwi˛eksza´c jego nat˛e ˙zenie wykładniczo.
Dokładnie z tego powodu wiele skal odczuwalno´sci bod´zców jest skalami logaryt-
micznymi: skala Richtera, decybele, interwały w muzyce, EV (exposure value).

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info