Dynamika Budowli

– laboratorium

Ćwiczenie 2

Magdalena Rucka

Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów

1

Dana jest belka wspornikowa jak na rysunku:

1. Wymodelować belkę za pomocą układu o jednym stopniu swobody (układ bez

tłumienia), wyznaczyć wartości liczbowe masy m oraz sztywności k.

2. Obliczyć częstotliwość drgań własnych nietłumionych oraz porównać ją

z częstotliwością uzyskaną dla modelu ciągłego.

3. Obliczyć częstotliwość drgań własnych tłumionych.
4. Napisać w środowisku MATLAB program rysujący wykres przemieszczenia u(t)

w funkcji czasu dla drgań nietłumionych i tłumionych. Wykreślić wykresy dla
3 różnych zestawów warunków początkowych. Warunki początkowe dobrać
samodzielnie.

Dane: b, h, d, L, E,



,



, u

0,

v

0

Dynamika Budowli

– laboratorium

Ćwiczenie 2

Magdalena Rucka

Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów

2

Rozwiązanie:
Układ ciągły można zamienić na układ dyskretny o jednym stopniu swobody poprzez
skupienie masy m

Częstość kołowa drgań nietłumionych dla modelu ciągłego:

2

3.516

a

n

EI

L







Częstość kołowa drgań nietłumionych dla modelu dyskretnego o jednym stopniu

swobody:

n

k

m





Częstość kołowa drgań tłumionych dla modelu dyskretnego o jednym stopniu swobody:

2

1

d

n











n



- częstość kołowa drgań własnych nietłumionych [rad/s]

d



- częstość kołowa drgań własnych tłumionych [rad/s]



- masa na jednostkę długości [kg/m]

m - masa skupiona [kg]



- bezwymiarowa liczba tłumienia

Dynamika Budowli

– laboratorium

Ćwiczenie 2

Magdalena Rucka

Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów

3

Drgania swobodne zapoczątkowane są poprzez wytrącenie układu z pozycji równowagi, to
znaczy przez przyłożenie w czasie t = 0 przemieszczenia początkowego

0

(0)

u

u



i/lub

prędkości początkowej

0

(0)

u

u



.

Drgania nietłumione opisane są równaniem: ( )

cos

sin

n

n

u t

A

t

B

t









,

(0)

A

u



,

(0)

n

u

B





Drgania tłumione opisane są równaniem:





( )

cos

sin

n

t

d

d

u t

e

A

t

B

t













,

0

0

0

,

.

n

d

u

u

A

u

B











Dynamika Budowli

– laboratorium

Ćwiczenie 2

Magdalena Rucka

Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów

4

Kolejność obliczeń:

a) Zadeklarować zmienne b, h, d, L, E,



,



, u

0,

v

0

b=30/100;

% szerokosc [m]

h=50/100;

% wysokosc [m]

d=2/100;

% grubosc [m]

L=12.5;

% dlugosc [m]

E=200e+9;

% modul sprezystosci [Pa]

ro=7900;

% gestosc [kg/m3]

u_0=0.1;

% przemieszczenie poczatkowe [m]

v_0=5;

% predkosc poczatkowa [m/s]

ksi=0.05;

% liczba tłumienia

b) Obliczyć moment bezwładności przekroju

x

I .

% moment statyczny przekroju wzgledem gornej krawędzi [m3]

Sx=2*h*d*h/2;

% pole przekroju [m2]

A=b*d+2*h*d;

% odleglosc [m] srodka ciezkosci przekroju od gornej krawedzi

yc=Sx/A;

% glowny centralny moment bezwladnosci przekroju [m4]

Ix=2*d*h^3/12+b*d*yc^2+2*d*h*(yc-h/2)^2;

Dynamika Budowli

– laboratorium

Ćwiczenie 2

Magdalena Rucka

Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów

5

c) Obliczyć masę skupioną m (z ¼ długości belki).

m=1/4*A*L*ro;

% [kg]

d) Obliczyć podatność belki wspornikowej

3

11

3

x

L

EI





(wykresy momentów zginających +

całkowanie graficzne).

dw=L^3/(3*E*Ix);

e) Obliczyć sztywność belki

11

1

k





.

k=1/dw;

f) Obliczyć częstość kołową drgań własnych nietłumionych

n

k

m





(układ o 1 stopniu

swobody).

wn=sqrt(k/m)

g) Obliczyć częstotliwość drgań

2

n

n

f







.

fn=wn/2/pi

Dynamika Budowli

– laboratorium

Ćwiczenie 2

Magdalena Rucka

Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów

6

h) Obliczyć częstość kołową i częstotliwość drgań własnych nietłumionych modelu

ciągłego:

2

3.516

n

EI

L







.

mi=ro*A;
wna=3.516/L^2*sqrt(E*Ix/mi);
fna=wna/2/pi

i) Obliczyć częstość kołową i częstotliwość drgań własnych tłumionych

2

1

d

n











(układ o 1 stopniu swobody).

wd=wn*sqrt(1-ksi^2)
fd=wd/2/pi

j) W programie MATLAB narysować wykres krzywej opisującej drgania swobodne

nietłumione ( )

cos

sin

n

n

u t

A

t

B

t









,

(0)

A

u



,

(0)

n

u

B





.

t=[0:0.001:5];

% definicja wektora czasu

A=u_0;
B=(v_0)/wn;
un=A*cos(wn*t)+B*sin(wn*t);

Dynamika Budowli

– laboratorium

Ćwiczenie 2

Magdalena Rucka

Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów

7

k) W programie MATLAB narysować wykres krzywej opisującej drgania swobodne

tłumione





( )

cos

sin

n

t

d

d

u t

e

A

t

B

t













,

0

0

0

,

n

d

u

u

A

u

B











.

A=u_0; B=(v_0+ksi*wn*u_0)/wd;
ut=[A*cos(wd*t)+B*sin(wd*t)].*exp(-ksi*wn*t);

figure(1);

plot(t,un,

'k'

);grid

on

;hold

on

plot(t,ut,

'r'

)

xlabel(

't [s]'

);ylabel(

'u [m]'

)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

t [s]

u

[

m

]

Dynamika Budowli

– laboratorium

Ćwiczenie 2

Magdalena Rucka

Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów

8

l) Skomentować wpływ różnych warunków początkowych na wykresy drgań.

u_0= 0.1;
v_0= -5;

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

t [s]

u

[

m

]

u_0= 0.2;
v_0= 0;

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

t [s]

u

[

m

]

Dynamika Budowli

– laboratorium

Ćwiczenie 2

Magdalena Rucka

Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów

9

u_0= 0;
v_0= -5;

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

t [s]

u

[

m

]

u_0= -0.5;
v_0= 0;

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.5

0

0.5

t [s]

u

[

m

]

Dynamika Budowli

– laboratorium

Ćwiczenie 2

Magdalena Rucka

Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Wytrzymałości Materiałów

10

Zadanie do samodzielnego rozwiązania:

2

2

a

n

EI

L







