L

ABORATORIUM FIZYCZNE

Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej

ĆWICZENIE

16

Wyznaczanie naprężeń za pomocą tensometru oporowego

Ćwiczenie 16

2

ĆWICZENIE

16

Wyznaczanie naprężeń za pomocą tensometru oporowego

Ryszard Duraj

1.

Wprowadzenie

Wszędzie tam, gdzie istnieje potrzeba mierzenia sił i naprężeń np. w konstrukcjach mostów,

zbiorników, budynków, statków i samolotów stosuje się od ponad 70 lat pomiar odkształceń fizycz-
nych za pomocą czujników rezystancyjnych zwanych tensometrami. Są to elementy wykonane w
formie elastycznych pasków o małej powierzchni, dzięki czemu można je nakleić na prawie każdy
materiał.

Pod wpływem wydłużeń względnych

∆

l/l występujących w elementach konstrukcji wydłuża się

także naklejony tensometr. Już w 1856 Lord Kelvin zaobserwował zmiany oporności drutu pod
wpływem przyłożonej siły. Właściwe wykorzystanie tej wiedzy do pomiaru siły nastąpiło dopiero w
1937r. w USA. W roku 1939 zaczęto produkować na skalę przemysłową pierwsze na świecie tenso-
metryczne czujniki siły zbliżone formą do stosowanych obecnie. Technika ta ma już kilkadziesiąt lat i
nadal jest udoskonalana.

Zakres siły działającej na tensometr musi mieścić się w zakresie odkształceń sprężystych materia-

łu, z którego jest wykonany, gdyż po jednorazowym przekroczeniu granicy plastyczności parametry
czujnika nie powróciłyby do pierwotnych wartości - uległby uszkodzeniu. Dlatego przez wiele lat roz-
woju tensometrii naukowcy dobierali odpowiednie stopy metali, aby uzyskać jak najlepsze parame-
try użytkowe czujników.

Podstawowa postać tensometru przedstawiona jest na rysunku 1a. Jest on wykonany z cienkiego

drutu oporowego (o średnicy od 0,02 do 0,05mm) ułożonego w charakterystyczną, wężykowatą mo-
zaikę, zwaną też drabinką pomiarową, wklejoną między paski papieru lub tworzywa sztucznego. Wy-
dłużanie się drucików tensometru pod wpływem sił powoduje zmianę oporu zgodnie ze wzorem:

S

l

R

ρ

=

(1)

Zmienia się bowiem zarówno długość drucika l jak i pole przekroju S.

Doświadczenie mówi, że stosunek:

k

l

l

R

R

=

∆

∆

:

(2)

jest dla danego tensometru wielkością stałą, zależną od materiału tensometru. Stosunek ten nazy-
wamy

stałą tensometru

. Dla większości metali k > 0; tak np. dla konstantanu k = 1,8, dla platyny –

4,12, dla niklu – 12. W celu znalezienia stałej k należy tensometr wywzorcować, nalepiając go na pła-
skowniku, poddając działaniu siły rozciągającej i mierząc równocześnie

∆

l/l i

∆

R/R. Opór tensometru

R i stałą k podaje zazwyczaj wytwórnia.
Oprócz tensometrów drucikowych używa się także innych rodzajów działających na podobnej
zasadzie:

Wyznaczanie naprężeń za pomocą…

3

•

•

•

•

tensometry

foliowe (folia metalowa o grubości od 0,002 do 0,02mm)

–

używane najczęściej,

wykonywane np. metodą trawienia warstwy metalu na podkładzie z tworzywa sztucznego,

•

•

•

•

tensometry półprzewodnikowe (wysoka stała k, od 100 do 150), silny wpływ temperatury, de-

likatne.

Oznaczając wydłużenie względne

∆

≡

może-

my napisać, korzystając z (2) :

ε

⋅

=

∆

k

R

R

(3)

Zastosowanie tensometrów do pomiaru naprężeń w

konstrukcjach bazuje na prawie Hooke'a, które mówi, że
naprężenie

σ

(dla jednoosiowego stanu małych naprę-

żeń) jest wprost proporcjonalne do wydłużenia względne-
go

ε

:

ε

σ

E

=

, (4)

gdzie E jest modułem Younga.

Korzystając ze wzorów (3) i (4) możemy napisać:

=

∙

∆

(5)

a)

b)

c)

Rys. 1. Tensometry oporowe a) druci-
kowy, b) foliowy, c) półprzewodni-
kowy

Rys.2. Tensometryczne czujniki siły: a) belkowe b) okrągłe c) S-kształtne

Ćwiczenie 16

4

2.

Metoda pomiaru

Aby znaleźć naprężenie, należy zatem znać stałą tensometru, moduł Younga badanego elemen-

tu konstrukcyjnego i wyznaczyć

∆

R/R dla tensometru.

Do pomiaru oporu stosujemy obwód elektryczny zwany mostkiem Wheatstone’a.

Zasada działania mostka Wheatstone’a została dokładnie omówiona w ćw. 12.

W jedną gałąź mostka włączamy tensometr „czynny” R

1

, w drugą, jako opór znany, taki sam ten-

sometr, przyklejony takim samym klejem, na takim samym podłożu, tzw. tensometr kompensacyjny
R

2

. Postępowanie to ma na celu:

a) wyeliminowanie wpływu temperatury na opór tensometru, wpływu na ogół silniej-

szego niż wpływ naprężeń mechanicznych. Jeżeli przez galwanometr prąd nie płynie, to ten
sam prąd płynie przez oba tensometry i podnosi jednakowo ich temperaturę;

b) wyeliminowanie zmiany oporu tensometru, spowodowanej skurczem kleju.

Pozostałe opory: R

3

i R

4

– każdy z nich jest sumą oporu R

0

i oporu odcinka drutu oporowego: od-

powiednio AB i BC. Drut oporowy jest rozpięty
wzdłuż skali milimetrowej i posiada znany
opór R

5

.

Łączymy obwód według schematu przed-

stawionego na rys. 2. Tensometr czynny (jego
opór – R

1

) przyklejony jest do płaskownika, w

którym będziemy badać naprężenia. Zaczyna-
my pomiar, gdy płaskownik spoczywa na stole
– jest nieobciążony. Po zamknięciu obwodu
ustawiamy ruchomy styk B w położeniu x

0

,

przy którym prąd płynący przez galwanometr
I

g

= 0. Równowaga powinna nastąpić przy

położeniu suwaka w pobliżu środka drutu AC.

Poddajemy następnie materiał odkształ-

ceniu. W tym celu mocujemy go w uchwycie.
Ponieważ zmienia się opór tensometru przyklejonego do odkształcanego płaskownika o

∆

R

1

, równo-

waga mostka zostaje zakłócona i pojawia się prąd I

g

≠

0 płynący przez galwanometr.

Aby ponownie uzyskać równowagę, przesuwamy styk w nowe położenie x

1

. Przy I

g

= 0 jest speł-

niona proporcja:

3

4

3

3

2

1

1

R

R

R

R

R

R

R

∆

−

∆

+

=

∆

+

, (6)

gdzie

∆

R

3

oznacza opór odcinka drutu oporowego długości:

∆

x = x

1

– x

0

. Łatwo go obliczyć ze

wzoru (2), mając opór całkowity drutu R

5

i jego długość (L = 1,000 m):

L

x

R

R

∆

=

∆

5

3

. (7)

Przy założeniu, że: R

1

= R

2

, R

3

= R

4

= R

0

+ 1/2 R

5

, równanie nasze przybierze postać:

3

3

3

3

1

1

1

R

R

R

R

R

R

R

∆

−

∆

+

=

∆

+

.

Po dalszych przekształceniach:

R

1

R

2

G

R

0

A B C R

0

R
U

Rys. 3. Schemat mostka Wheatstone’a z ten-

sometrami jako oporami R1 i R2

Wyznaczanie naprężeń za pomocą…

5

3

3

3

1

1

2

1

1

R

R

R

R

R

∆

−

∆

+

=

∆

+

,

stąd przy założeniu, że

∆

R

3

<< R

3

dostajemy:

3

3

3

3

3

1

1

2

2

R

R

R

R

R

R

R

∆

≅

∆

−

∆

=

∆

.

(8)

Korzystając ze wzoru (5) otrzymujemy ostatecznie:

k

E

R

R

⋅

∆

=

3

3

2

σ

.

(9)

3.

Wykonanie ćwiczenia

3.1

Zadanie 1

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie naprężenia

σ

w oznaczonym miejscu zginanego płaskownika

stalowego.

Płaskownik z naklejonym tensometrem kładziemy na stole, łączymy przewodnikami opory, gal-

wanometr i źródło zasilania według schematu przedstawionego na rys. 3.

Ustawiamy maksymalny opór na oporniku suwakowym R, przesuwamy styk B na środek drutu

oporowego L i zmniejszamy stopniowo opór R regulujący czułość układu; przesuwamy styk B tak, by
przy całkowicie wyłączonym oporze R, I

g

= 0. Notujemy położenie styku x

0

.

Uwaga: Pewien dopuszczalny przez producenta rozrzut wartości oporów elektrycznych tensome-

trów jest odpowiedzialny za to, że zwykle x

0

nie wypada dokładnie w połowie długości drutu oporo-

wego. Błąd, który jest popełniany jeśli w takiej sytuacji stosujemy w obliczeniach założenia, że
R

1

= R

2

, R

3

= R

4

jest jednak niewielki i nie wpływa w istotny sposób na wynik końcowy.

a

F

ξ

0

ξ

b

z

h

T

r

Rys. 3. Schemat zamocowania płaskownika (T – tensometr)

Ćwiczenie 16

6

Mocujemy teraz pręt w imadle – pod wpływem ciężaru własnego odkształca się i galwanometr

wychyla się z położenia zerowego. Aby go doń z powrotem sprowadzić, należy przesunąć styk do
położenia x

1

.

Teraz obciążamy pręt ciężarem F i ponownie notujemy położenie styku x

2

na drucie oporowym,

przy którym mostek jest w równowadze. Pomiary przeprowadzamy dla różnych długości ramienia r,
na którym zawieszony jest ciężar F. Wyniki pomiarów wpisujemy do tabeli 1.

Tabela 1. Zależność naprężeń belki od położenia ciężarka

3.2

Zadanie 2 (dla studentów bardziej zaawansowanych)

Obliczyć wielkość naprężenia w tym samym miejscu zginanej belki, korzystając ze wzoru teorii

sprężystości; porównać obliczoną wartość naprężenia z wartością uzyskaną z pomiaru.

Naprężenie belki dane jest wzorem:

0

J

z

M

⋅

=

σ

,

gdzie:

M – moment gnący, tzn. suma momentów sił zewnętrznych, działających na rozpatrywaną

część belki, obliczoną względem środka ciężkości rozważanego przekroju,

Z – odległość rozpatrywanego punktu od osi obojętnej belki (u nas: z = h/2),

J

0

– moment bezwładności prostokątnego przekroju pręta względem poziomej osi symetrii:

J

0

=

12

3

h

b

⋅

(rys. 3).

Na moment gnący M składa się moment siły F:

k = ....... E = .......
R

5

= ....... R

0

= .......

L

R

R

R

k

E

C













+

⋅

=

5

0

5

2

1

2

= .......

początkowe położenie styku x

0

= ...... cm

r

[m]

x

i

[cm]

∆

x

i

= x

i

– x

0

[cm]

σ

[N/m

2

]

obciążenie
własne belki

Wyznaczanie naprężeń za pomocą…

7

M

1

= F

⋅

(

ξ

–

ξ

0

)

i moment własnego ciężaru belki M

2

. Jeżeli długość belki (od zamocowania do swobodnego

końca) oznaczamy przez a, a jej ciężar przez Q, to:

2

d

2

0

2

ξ

ς

ς

ξ

⋅

=

⋅

=

∫

a

Q

a

Q

M

,

M = M

1

+ M

2

,

i na naprężenie belki w miejscu, gdzie zamocowany jest tensometr dostajemy wyrażenie:

2

)

(

0

2

1

h

J

M

M

+

=

σ

.

(10)

Należy zmierzyć parametry belki: a, b i h. Wartości Q,

ξ

i masa odważnika m podane są w labora-

toryjnym egzemplarzu instrukcji. Dla różnych odległości:

ξ

0

= a – r zawieszenia odważnika od końca

belki obliczyć naprężenia ze wzoru (11).

Wyniki pomiarów i obliczeń wpisać do tabeli 2.

Przeprowadzić porównanie naprężenia obliczonego ze wzoru teoretycznego ze zmierzonym za

pomocą tensometru. Sporządzić wykresy

σ

(r) dla obu przypadków

Tabela 2. Teoretyczne naprężenia belki

b = ....

h = ....

a = ....

ξ

= ....

F = mg = ....

Q = ....

J

0

= .... M

2

= ....

ξ

0

m

M

1

m

σ

N/m

2

Ćwiczenie 16

8

4.

Opracowanie wyników

4.1

Zadanie 1

Naprężenia w zadaniu 1 obliczamy ze wzoru (9), w którym

∆

R

3

zastępujemy wyrażeniem (7). Wzór

ten do obliczeń wygodnie jest przekształcić do postaci:

)

(

2

1

2

2

0

5

0

5

3

3

x

x

C

x

L

R

R

R

k

E

k

E

R

R

−

⋅

=

∆

⋅













+

⋅

=

⋅

∆

=

σ

.

(11)

Wyniki obliczeń wpisujemy do tabeli 1.

Dla jednego pomiaru liczymy niepewność u(

σ

). Sporządzamy wykres naprężenia w funkcji długo-

ści ramienia działania siły r,

σ

(r).

4.2

Zadanie 2

W ramach zadania 2 należy przeprowadzić porównanie naprężenia obliczonego ze wzoru teore-

tycznego ze zmierzonym za pomocą tensometru. Sporządzić wykresy

σ

(r) dla obu przypadków.

5.

Literatura

[1] J. Halaunbrenner, M. Kmiecik, Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, Wydawnictwo Politechniki Kra-
kowskiej, Kraków 1997,

[2] Parchański J.: Miernictwo elektryczne i elektroniczne. WSiP - Warszawa 2008,

[3]Tumański S.: Technika pomiarowa. WNT, Warszawa 2007.