Pobierz cały dokument ALGEBRA Pytania na Egzamin odpowiedzi 1 07.pdf Rozmiar 305,4 KB

ALGEBRA Pytania na Egzamin odpowiedzi 1 07

 
1.  Jakie odwzorowanie nazywamy złożeniem odwzorowań?  

Jeżeli f:A→B, g:B→C to (g ◦ f):A→C zdefiniowane wzorem ∀aϵA (g ◦ f)(a)=g(f(a)) nazywamy złożeniem 
odwzorowań 
 

2.  Podać i uzasadnić wzór na odwzorowanie odwrotne do złożenia odwzorowań. 

Niech f:A→B , g:B→C - bijekcje wtedy (g ◦ f)

-1

=f

-1

 ◦ g

-1

 

Dowód: 
(g ◦ f)

-1

(c)=a⇔(g ◦ f)(a)=c ⟺f(a)=b ʌ g(b)=c 

(f

-1

 ◦ g

-1

)(c)=a

1

 ⟺ f

-1

(g

-1

(c))= a

1

⟺ g

-1

(c)=f(a

1

)⟺c=g(f(a

1

))=(g◦f)(a

1

) ⟹ a=a

1

 ⟹ f

-1

 ◦ g

-1

 =(g◦f)

-1 

 

3.  Co nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do danego? Kiedy istnieje? 

Niech f:A→B – bijekcja (warunek istnienia) 
Odwzorowanie g:B→A takie, że ∀bϵB g(b)=a, f(a)=b ⇔ g=f

-1

 nazywamy odwrotnym do danego 

 

4.  Ile wynosi moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych o module równym m? Dlaczego?  

Niech z = x + y i, z = x + y i, |z |= |z | = m 
|z ∗ z | = |x + y i ∗ x + y i|=|(x ∗ x −  y ∗ y ) + (x ∗ y + x ∗ y )i| =

(x ∗ x −  y ∗ y ) + (x ∗ y + x ∗ y ) = x ∗ x + y ∗ y + x ∗ y + x ∗ y =
(x + y )(x + y ) = m ∗ m = m   

 

5.  Jak zapisujemy liczbę zespoloną w postaci wykładniczej? Objaśnić użyte symbole. Podać wzór na iloczyn 

dwóch liczb w tej postaci. 
|z|*e

iϕ 

- postać wykładnicza funkcji zespolonej, gdzie: 

|z|- moduł liczby z 
e- liczba Eulera 
i- jednostka urojona 
ϕ-argument 
|z | ∗ e

∗ |z | ∗ e

= |z | ∗ |z | ∗ e

(

)

 

 
6.  Podać i uzasadnić wzór na cosinus i sinus kąta w zależności od funkcji wykładniczej . 

cosφ =

, sinφ =

 

e

= cosφ + sinφ ∗ i

e

= cos(−φ) + sin(−φ) ∗ i

⟺

e

= cosφ + sinφ ∗ i

e

= cos(φ) − sin(φ) ∗ i

⟺

e

− cosφ = sinφ ∗ i

e

= cos(φ) − e

+ cosφ

⟺

⎩

⎨

⎧e −

e

+ e

2

= sinφ ∗ i

cosφ =

e

+ e

2

⟺

⎩

⎨

⎧sinφ =

e

−   e

2i

cosφ =

e

+ e

2

 

 
7.  Kiedy wektory  e1,...en  nazywamy liniowo niezależnymi? Czy wektory (1,2),(4,-1),(-2,3) są liniowo niezależne? 

liniowo niezależne gdy ∀α

1

,...,α

n 

ϵK ∑

α e =0⇒α

1

=...=α

n

=0 

Niezależność wektorów opiera się na fakcie, że wyznacznik macierzy stworzonej z każdej pary wektorów jest 
≠0. W tym wypadku: 

1

4

2 −1

≠0, 

1 −2
2

3

≠0, 

−2

4

3

−1

≠0 ⟹ liniowo niezależne 

 

8.  Co to jest baza przestrzeni wektorowej? Co łączy dwie bazy tej samej przestrzeni? 

Baza przestrzeni wektorowej jest to zbiór wektorów (ē

1

,...,ē

n

) liniowo niezależnych, które generują daną 

przestrzeń. 
Dwie bazy tej samej przestrzeni łączy liczba wektorów bazowych 
 
 
 
 
 

Pobierz cały dokument ALGEBRA Pytania na Egzamin odpowiedzi 1 07.pdf Rozmiar 305,4 KB