![]() | Pobierz cały dokument ALGEBRA Pytania na Egzamin odpowiedzi 1 07.pdf Rozmiar 305,4 KB |
1. Jakie odwzorowanie nazywamy złożeniem odwzorowań?
Jeżeli f:A→B, g:B→C to (g ◦ f):A→C zdefiniowane wzorem ∀aϵA (g ◦ f)(a)=g(f(a)) nazywamy złożeniem
odwzorowań
2. Podać i uzasadnić wzór na odwzorowanie odwrotne do złożenia odwzorowań.
Niech f:A→B , g:B→C - bijekcje wtedy (g ◦ f)
-1
=f
-1
◦ g
-1
Dowód:
(g ◦ f)
-1
(c)=a⇔(g ◦ f)(a)=c ⟺f(a)=b ʌ g(b)=c
(f
-1
◦ g
-1
)(c)=a
1
⟺ f
-1
(g
-1
(c))= a
1
⟺ g
-1
(c)=f(a
1
)⟺c=g(f(a
1
))=(g◦f)(a
1
) ⟹ a=a
1
⟹ f
-1
◦ g
-1
=(g◦f)
-1
3. Co nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do danego? Kiedy istnieje?
Niech f:A→B – bijekcja (warunek istnienia)
Odwzorowanie g:B→A takie, że ∀bϵB g(b)=a, f(a)=b ⇔ g=f
-1
nazywamy odwrotnym do danego
4. Ile wynosi moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych o module równym m? Dlaczego?
Niech z = x + y i, z = x + y i, |z |= |z | = m
|z ∗ z | = |x + y i ∗ x + y i|=|(x ∗ x − y ∗ y ) + (x ∗ y + x ∗ y )i| =
(x ∗ x − y ∗ y ) + (x ∗ y + x ∗ y ) = x ∗ x + y ∗ y + x ∗ y + x ∗ y =
(x + y )(x + y ) = m ∗ m = m
5. Jak zapisujemy liczbę zespoloną w postaci wykładniczej? Objaśnić użyte symbole. Podać wzór na iloczyn
dwóch liczb w tej postaci.
|z|*e
iϕ
- postać wykładnicza funkcji zespolonej, gdzie:
|z|- moduł liczby z
e- liczba Eulera
i- jednostka urojona
ϕ-argument
|z | ∗ e
∗ |z | ∗ e
= |z | ∗ |z | ∗ e
(
)
6. Podać i uzasadnić wzór na cosinus i sinus kąta w zależności od funkcji wykładniczej .
cosφ =
, sinφ =
e
= cosφ + sinφ ∗ i
e
= cos(−φ) + sin(−φ) ∗ i
⟺
e
= cosφ + sinφ ∗ i
e
= cos(φ) − sin(φ) ∗ i
⟺
e
− cosφ = sinφ ∗ i
e
= cos(φ) − e
+ cosφ
⟺
⎩
⎨
⎧e −
e
+ e
2
= sinφ ∗ i
cosφ =
e
+ e
2
⟺
⎩
⎨
⎧sinφ =
e
− e
2i
cosφ =
e
+ e
2
7. Kiedy wektory e1,...en nazywamy liniowo niezależnymi? Czy wektory (1,2),(4,-1),(-2,3) są liniowo niezależne?
liniowo niezależne gdy ∀α
1
,...,α
n
ϵK ∑
α e =0⇒α
1
=...=α
n
=0
Niezależność wektorów opiera się na fakcie, że wyznacznik macierzy stworzonej z każdej pary wektorów jest
≠0. W tym wypadku:
1
4
2 −1
≠0,
1 −2
2
3
≠0,
−2
4
3
−1
≠0 ⟹ liniowo niezależne
8. Co to jest baza przestrzeni wektorowej? Co łączy dwie bazy tej samej przestrzeni?
Baza przestrzeni wektorowej jest to zbiór wektorów (ē
1
,...,ē
n
) liniowo niezależnych, które generują daną
przestrzeń.
Dwie bazy tej samej przestrzeni łączy liczba wektorów bazowych
![]() | Pobierz cały dokument ALGEBRA Pytania na Egzamin odpowiedzi 1 07.pdf Rozmiar 305,4 KB |