EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I

Zestaw

próbny

1.

Ci ¾

ag o wyrazie ogólnym a

n

=

( 1)

n

n

2

jest

A.

monotoniczny;

N /1-05

B.

rozbie·

zny;

N /1-05

C.

posiada podci ¾

ag zbie·

zny do 0.

T /1-05

2.

Je´sli lim

n

!1

a

n

= 2 oraz lim

n

!1

b

n

= 1 , to

A.

lim

n

!1

n

p

b

n

= 1;

B.

lim

n

!1

(1 +

1

a

n

)

a

n

= e;

C.

lim

n

!1

(a

n

)

b

n

= 1.

T /1-05

3.

Szereg postaci

P

( 1)

n

p

n

A.

spe÷

nia warunek konieczny zbie·

zno´sci szeregów liczbowych;

B.

jest zbie·

zny bezwzgl ¾

ednie;

C.

jest szeregiem harmonicznym.

4.

Nast ¾

epuj ¾

ace zdanie jest prawdziwe:

A.

Je´sli ci ¾

ag S

n

= a

1

+ a

2

+

+ a

n

jest zbie·

zny, to szereg

P

a

n

jest zbie·

zny.

T /1-05

B.

Je´sli lim

n

!1

a

n

= 0, to szereg

P

a

n

jest zbie·

zny.

N /1-05

C.

Je´sli promie´n zbie·

zno´sci szeregu

P

a

n

x

n

wynosi r; to szereg

P

a

n

x

n

jest zbie·

zny dla x 2 [ r; r].

T /1-05

5.

Wiadomo, ·

ze

lim

x

! 1

(f (x) + 2x) = 0. Wówczas

A.

prosta o równaniu y =

2x jest asymptot ¾

a uko´sn ¾

a funkcji f w

1;

T /1-05

B.

prosta o równaniu y = 2x jest asymptot ¾

a uko´sn ¾

a funkcji f w

1;

N /1-05

C.

funkcja g(x) = f (x) + 2x posiada asymptot ¾

e uko´sn ¾

a w

1.

T /1-05

6.

Niech f : [a; b] ! R b ¾

edzie funkcj ¾

a ci ¾

ag÷¾

a oraz f (a) = 1, f (b) = 3: Wówczas

A.

inf

x

2[a;b]

f (x) = 1;

N /1-05

B.

funkcja f mo·

ze nie osi ¾

aga´c najmniejszej warto´sci w przedziale [a; b];

N /1-05

C.

funkcja f nie posiada miejsca zerowych.

N /1-05

7.

Niech f : [a; b] ! R b ¾

edzie funkcj ¾

a ró·

zniczkowaln ¾

a. Funkcja f posiada w punkcie x

0

2 (a; b) minimum lokalne,

gdy

A.

V

x

2[a;b]

f (x)

f (x

0

);

T /1-05

B.

f

0

(x

0

) = 0, f

0

(x) < 0 dla x < x

0

oraz f

0

(x) > 0 dla x > x

0

;

T /1-05

C.

f

0

(x) < 0 dla x < x

0

oraz f

0

(x) > 0 dla x > x

0

:

T /1-05

8.

Niech f : [a; b] ! (0; +1) b ¾

edzie funkcj ¾

a ró·

zniczkowaln ¾

a. Je´sli f

0

(x) < 0 dla ka·

zdego x 2 [a; b], to

A.

funkcja f jest wkl ¾

es÷

a na przedziale [a; b];

N /1-05

B.

funkcja g(x) =

1

f (x)

, x 2 [a; b], jest rosn ¾

aca na [a; b];

T /1-05

C.

sup

x

2[a;b]

f (x) = f (b).

N /1-05

9.

Je´sli funkcje f; g : [a; b] ! R s ¾

a ci ¾

ag÷

e, to

A.

(

Z

f (x)dx)

0

= f (x);

T /1-05

B.

Z

f (x)g

0

(x)dx = f (x)g(x)dx +

Z

f

0

(x)g(x)dx; gdy f; g 2 C

1

[a; b];

C.

b

Z

a

f (x)g(x)dx = (

b

Z

a

f (x)dx) (

b

Z

a

g(x)dx).

N /1-05

10.

Niech f (x) = e

x

. Wówczas

A.

Z

f (x)dx = e

x

+ C, C 2 R;

N /1-05

B.

1

Z

0

(f (x)

1)dx = jDj ; gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi y = f(x); y = 1; x = 0; x = 1;

T

/1-05

C.

W

c

2[0;1]

f (c) =

1

Z

0

f (x)dx.

T /1-05

Pytania otwarte:

I.

Zbada´c zbie·

zno´s´c szeregu

P

1

n+1

sin

1

n

: Sformu÷

owa´c wykorzystane kryterium.

II.

Sformu÷

owa´c twierdzenie odwrotne do stwierdzenia:

"Je´sli f jest funkcj ¾

a ci ¾

ag÷¾

a w punkcie x

0

; to f jest ró·

zniczkowalna w tym punkcie."

Które z nich jest prawdziwe? Uzasadni´c odpowied´z.

III.

A.

Poda´c de…nicj ¾

e asymptoty uko´snej. Naszkicowa´c wykres funkcji f : R ! R, je´sli wiadomo, ·

ze

lim

x

!+1

(f (x) +

x) = 0, lim

x

!1

+

f (x) = 1; i punkt x

0

= 1 jest punktem ni ¾

eci ¾

ag÷

o´sci funkcji f pierwszego rodzaju.

B.

Naszkicowa´c wykres funkcji f : R ! R, je´sli wiadomo, ·

ze f

0

(2) = 0 oraz f

00

(x) < 0 dla x 2 R. Co mo·

zna

powiedzie´c o ekstremach lokalnych i punktach przegi ¾

ecia wykresu tej funkcji?

IV.

Poda´c dwie funkcje pierwotne funkcji f (x) =

x

4 x

2

i obliczy´c

1

Z

0

x

4 x

2

dx. Sformu÷

owa´c warunek wystarczaj ¾

acy

istnienia ca÷

ki nieoznaczonej funkcji okre´slonej na przedziale [a; b].

06