modele regresji SGH metody statystyczne 2008

background image

kwiecie

ń

, 2008 r.



Adam Szulc
Instytut Statystyki i Demografii


WYBRANE ZAGADNIENIA ESTYMACJI I WERYFIKACJI

JEDNORÓWNANIOWYCH MODELI REGRESJI

(w ramach wykładu: „Metody Statystyczne”)



I. JEDNORÓWNANIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY: ............................................... 2
OGÓLNE ZASADY KONSTRUKCJI, ESTYMACJI I WERYFIKACJI ................................ 2

1. Definicja modelu regresji ................................................................................................. 2
2. Statystyczna analiza reszt modelu. ................................................................................. 4
3. Estymacja modelu liniowego za pomocą klasycznej metody najmniejszych kwadratów
(KMNK) ................................................................................................................................. 5
4. Ocena oszacowania modelu liniowego za pomocą klasycznej MNK ........................... 5
5. Postępowanie w sytuacjach wykraczających poza schemat klasycznej MNK .................. 7

II. WYBRANE METODY ESTYMACJI MODELI REGRESJI .............................................. 8

1. MNK z warunkami dodatkowymi .................................................................................. 8
2. Estymacja modeli ekonometrycznych za pomocą metody największej wiarygodności
(MNW) ................................................................................................................................... 8
3. Uwagi o estymacji modeli nieliniowych .......................................................................... 9
4. Estymacja za pomocą zmiennych instrumentalnych (MZI) ...................................... 10
5. Zmienne binarne w modelach regresji: regresja logitowa i probitowa ..................... 12

III. TESTY STATYSTYCZNE W MODELACH REGRESJI ................................................ 14

1. Testy warunków ograniczających modelu ................................................................... 14
2. Testy specyfikacji modelu .............................................................................................. 16
3. Test stabilności parametrów ......................................................................................... 17
4. Test homoskedastyczności reszt .................................................................................... 17

Dekalog ekonometrii stosowanej według Petera Kennedy’ego .................................. 18
Literatura podstawowa: .................................................................................................... 19
Literatura uzupełniająca: .................................................................................................. 19

ZADANIA ............................................................................................................................ 20
ZASADY ZALICZANIA ZAJĘĆ ....................................................................................... 24
ZADANIA Z OSTATNIEGO SPRAWDZIANU ................................................................ 25

background image

2

WYBRANE ZAGADNIENIA ESTYMACJI I WERYFIKACJI

JEDNORÓWNANIOWYCH MODELI REGRESJI



Motto 1: Każdy ekonomista jest ekonometrykiem czy tego chce czy nie (Joseph Schumpeter)

Motto 2: Są trzy złote zasady ekonometrii: testować, testować i testować (David Hendry)

Motto 3: Dwóch rzeczy lepiej nie ogl
ądać w czasie ich powstawania: parówek i oszacowań

modeli ekonometrycznych (Edward Leamer )



I. JEDNORÓWNANIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY:

OGÓLNE ZASADY KONSTRUKCJI, ESTYMACJI I WERYFIKACJI

1. Definicja modelu regresji


Jednorównaniowy model regresji jest zdefiniowany następująco:

n)

1,2,...,

(i

)

x

,...,

x

,

x

(

g

y

i

ik

2

i

1

i

i

=

+

=

ε

(1.1)


gdzie:
y

i

- i-ta wartość zmiennej objaśnianej (zależnej),

x

ij

- i-ta wartość j-tej zmiennej objaśniającej (niezależnej; j=1,2,...k),

ε

i

- i-ta reszta (błąd) modelu (różnica między oszacowaną i empiryczną wartością y

i

),

n - liczba obserwacji,
k- liczba zmiennych objaśniających (jeżeli w modelu występuje wyraz wolny to pozwalająca

oszacować odpowiedni parametr kolumna jedynek jest traktowana jako dodatkowa, k + 1-
sza zmienna).


Postać funkcji g określa typ modelu. W większości omawianych tu przypadków będzie to
funkcja liniowa. Model ma wtedy następującą postać:

n)

1,2,...,

(i

ε

ε

x

x

x

y

i

i

0

ik

k

...

2

i

2

1

i

1

i

=

+

=

+

=

+

+

+

+

a'

X

i

α

α

α

α

(1.2)


Alternatywna definicja modelu regresji jest następująca:

)]

x

,...,

x

,

x

(

[

E

)

x

,...,

x

,

x

(

g

ik

2

i

1

i

ik

2

i

1

i

=

=

X

|

Y

(1.3)


Funkcja regresji g oznacza w tym przypadku warunkową wartość oczekiwaną zmiennej
objaśnianej, pod warunkiem, że zmienne objaśniające przyjęły wartości określone przez (k-
wymiarowy) wektor X

1

. Aby modele zapisane za pomocą równań (1.1) i (1.3) były

równoważne, musi być spełniony warunek:

0

(

=

X)

|

ε

E

2

(1.4)

1

Wartość tej funkcji jest zwykle zwana (nieprecyzyjnie) wartością teoretyczną zmiennej Y.

2

Taki zapis (stosowany w dalszej części konspektu) jest równoważny zapisowi wektorowemu:

background image

3

tzn. wartość oczekiwana reszty modelu dla dowolnego wektora zmiennych objaśniających X
jest równa zeru.

Rys. 1.1. Założenia modelu regresji liniowej z jedną zmienną objaśniającą


Rozpatrując najprostszy z możliwych model regresji czyli model liniowy z jedną zmienną
objaśniającą można zilustrować istotę regresji ekonometrycznej za pomocą rysunku 1.1.
Przykładowo, dla zbioru gospodarstw domowych dane są indywidualne (czyli dostępne dla
każdego gospodarstwa osobno) informacje o ich (łącznych) wydatkach na konsumpcję
(zmienna Y) i dochodach (zmienna X). Warunkowa wartość oczekiwana E(Y|X=x

i

) może być

przedstawiona za pomocą prostej o równaniu: α

1

x

i1

+ α

0

. Zakłada się, że rzeczywista wartość

zmiennej Y jest wynikiem losowania przy ustalonej wartości zmiennej X. Wartości
parametrów funkcji regresji szacuje się na podstawie próby (losowej lub nielosowej

3

). Tak jak

wszystkie wyniki estymacji uzyskane za pomocą próby, różnią się one od rzeczywistych

=

=

=

=

0

.

.

.

0

0

)]

(

|

[

.

.

.

)]

(

|

[

)]

(

|

[

,...,

2

,

1

2

,...,

22

,

21

2

1

,...,

12

,

11

1

nk

n

n

n

k

k

x

x

x

E

x

x

x

E

x

x

x

E

X

X

X

ε

ε

ε

3

Nawet jeżeli próba jest nielosowa, można zastosować wnioskowanie statystyczne z uwagi na wyżej

wymienione założenie odnośnie losowości Y.

f(Y|X)
lub
f(Y,X)

x

1

x

2

. . . x

n

X

α

1

X+α

0

Y

(x

1

,y

1

)

(x

2

,y

2

)

(x

n

,y

n

)

N(α

1

x

n

0

2

)

background image

4

(czyli „obowiązujących” w populacji generalnej) wartości.

4

Charakter zależności między

warunkową wartością oczekiwaną Y i zmienną X przesądzający o wyborze funkcji g jest (tak
jak każdy model) przyjętym założeniem na temat rzeczywistości. Może ono być zatem
spełnione lub nie (dokładnie nie jest spełnione praktycznie nigdy). O tym czy przyjęcie danej
postaci jest słuszne można się przekonać m. in. analizując rozkład reszt modelu ε.

2. Statystyczna analiza reszt modelu.


Występowanie w modelu reszt czyli różnic między teoretyczną i empiryczną wartością
modelu jest wynikiem m. in. faktu, iż na wartości Y mają wpływ nie tylko zmienne zawarte w
wektorze X. Inne przyczyny to błędy pomiaru wartości obu zmiennych (nie będą one
omawiane) oraz wybór niewłaściwej funkcji regresji. Znaczenie (często niedoceniane,
zwłaszcza w badaniach o charakterze aplikacyjnym) analizy reszt modelu wynika m. in. z
następujących przesłanek:

a/ Optymalną metodę szacowania parametrów modelu można wybrać jedynie po

weryfikacji założeń odnośnie rozkładu reszt.

b/ Oszacowanie „teoretycznych wartości” zmiennej objaśnianej oraz parametrów modelu

zawiera błędy losowe, które można ocenić jedynie za pomocą analizy reszt.

c/ Jedynie za pomocą oceny rozkładu reszt można stwierdzić czy przyjęcie określonej

postaci modelu jest uzasadnione.
Znajomość rozkładu reszt jest zatem konieczna zarówno na etapie modelowania jak i
weryfikacji.

Założenia odnośnie reszt jakie standardowo przyjmuje się w badaniu regresji opisują
równania 1.5 - 1.7.

0

(

(

=

=

ε)

X)

|

ε

E

E

(1.5)


Warunek ten oznacza, oprócz zerowej wartości oczekiwanej reszt, ich niezależność od
wartości zmiennych objaśniających.

I

X)

|

εε'

2

(

σ

=

E

(1.6)


gdzie I jest macierzą diagonalną z wartościami 1 na przekątnej (zapis ′ oznacza transpozycje
wektora; w tym przypadku kolumna jest mnożona przez wiersz). Zapis ten oznacza
spełnianie dwóch warunków, które łącznie określa się jako sferyczność reszt: reszty nie są ze
sobą skorelowane, zaś ich warunkowa wariancja jest równa stałej σ

2

, niezależnie od wartości

X. W przypadku spełniania pierwszego warunku mówimy o braku autokorelacji reszt, w
przypadku drugiego o homoskedastyczności reszt. Niespełnianie tych warunków określa się,
odpowiednio, mianem autokorelacji reszt oraz ich heteroskedastyczności.

)

,

0

(

:

(

I

X)

|

ε

σ

N

(1.7)


Warunek ten mówi, iż rozkład reszt jest dla danych wartości X normalny, z zerową wartością
oczekiwaną i wariancją σ

2

.

4

Jest to kolejny powód, dla którego „teoretyczne wartości” zmiennej objaśnianej uzyskane na podstawie

oszacowania modelu różnią się od rzeczywistych.

background image

5

3. Estymacja modelu liniowego za pomocą klasycznej metody
najmniejszych kwadratów (KMNK)


Założenia omówione w poprzedniej części muszą być spełnione

5

, aby parametry liniowego

modelu (1.2) można było oszacować za pomocą klasycznej metody najmniejszych kwadratów
(MNK). Wówczas wektor oszacowań parametrów modelu (uzyskany przez minimalizacje
sumy kwadratów reszt) ma postać następującego iloczynu macierzy:

Y

X'

)

XX'

a

1

(

-

=

(1.8)


Oszacowanie wariancji reszt oblicza się następująco:

1

2

=

k

n

s

e

e'

(1.9)


gdzie e jest wektorem empirycznych reszt modelu. Z kolei estymatory wariancji oszacowania
parametrów modelu (będących miarą błędu oszacowania) uzyskuje się za pomocą wzoru:

1

2

2

)

(

)

(

=

X

X'

a

s

S

(1.10)


Jeżeli wszystkie wymienione wcześniej założenia (liniowość warunkowej wartości
oczekiwanej, założenia 1.5 - 1.7 oraz odpowiedni rząd macierzy danych) są spełnione, to
uzyskane estymatory są nieobciążone, zgodne i najefektywniejsze (mają najmniejszą
wariancję ze wszystkich nieobciążonych estymatorów). Spełnianie powyższych założeń nie
pozwala jeszcze stwierdzić, że oszacowany model spełnia stawiane przed nim wymagania
(np. pozwala wykorzystać oszacowania w prognozowaniu lub wyznaczaniu relacji
ekonomicznych między zmiennymi). Jest jednak warunkiem koniecznym dla poprawności
oszacowań uzyskanych za pomocą MNK.

W przypadku, gdy w modelu występuje tylko jedna zmienna objaśniająca (k=2, a macierz X
ma wymiary n

x

2) wynik estymacji za pomocą klasycznej MNK można zilustrować za

pomocą rysunku 1.2.

4. Ocena oszacowania modelu liniowego za pomocą klasycznej MNK


Miernikiem pozwalającym ocenić stopień dopasowania modelu do danych empirycznych jest
współczynnik determinacji:

=

=

=

=

n

i

n

i

i

i

n

i

i

i

y

y

y

y

y

y

y

y

R

1

1

2

2

1

2

2

]

)

ˆ

ˆ

(

][

)

(

[

)]

ˆ

ˆ

)(

(

[

(1.11)

5

Oprócz warunków, jakie muszą spełniać reszty wymaga się również mi. in. aby wektor danych X był macierzą

o wymiarach n

x

k mającą rząd k.

background image

6

Jest on równy kwadratowi współczynnika korelacji liniowej pomiędzy empirycznymi i
„teoretycznymi wartościami” zmiennej objaśnianej. R

2

przyjmuje wartości z przedziału [0,1].

Jeżeli spełnione są założenia KMNK, to wyższe wartości oznaczają lepsze dopasowanie
modelu do danych empirycznych (i np. niższy błąd prognozy), choć nie istnieje żadna stała
granica, poniżej której oszacowanie należałoby odrzucić. Jedynym warunkiem, który musi
być spełniony jest statystyczna istotność oszacowania tego parametru. Można ją sprawdzić za
pomocą testu opisanego poniżej (równanie 1.13 wraz z komentarzem).

Rys. 1.2. Model regresji w populacji generalnej i oszacowanie




Dwie kolejne metody oceny „jakości” oszacowania są testami statystycznymi pozwalającymi
ocenić czy parametry, których oszacowania uzyskano są istotnie różne od zera. Pierwszy z
testów pozwala ocenić w ten sposób oszacowanie każdego parametru osobno. Statystyka
testowa dla j-tej zmiennej (j=1,2,...,k) ma postać:

)

(

j

j

a

S

a

t

=

(1.12)


gdzie mianownik jest błędem standardowym oszacowania j-tego parametru równania (1.2).
Jeżeli reszty mają rozkład normalny (spełniają warunek 1.7), to powyższa statystyka ma
rozkład t (Studenta) z (n-k-1) stopniami swobody. Hipoteza zerowa w tym teście mówi, że
wartość parametru w populacji generalnej jest równa zeru.

Kolejna statystyka testowa pozwala zweryfikować hipotezę mówiącą, że wszystkie oprócz
wyrazu wolnego parametry są równe zeru. Przy normalności rozkładu reszt statystyka ta,
zdefiniowana jak poniżej ma rozkład F (Snedecora) z k i (n-k-1) stopniami swobody.

)

1

/(

)

1

(

/

2

2

=

k

n

R

k

R

F

(1.13)

ε

i

α

1

X+ α

0

Y

y

i

E(Y|X=x

i

)

x

i

X

a

1

X+ a

0

e

i

background image

7

Współczynnik determinacji oraz statystyki zdefiniowane za pomocą równań (1.12) i (1.13)
stanowią najpopularniejsze narzędzia oceny „jakości” oszacowania modelu. Jak łatwo
zauważyć, statystyka (1.13) stanowi także test dla hipotezy mówiącej, że współczynnik
determinacji ma wartość zerową.

5. Postępowanie w sytuacjach wykraczających poza schemat klasycznej
MNK


Założenia odnośnie reszt modelu opisane za pomocą równań (1.5) - (1.7) w rzeczywistości są
spełniane dość rzadko. Przykładowo, warunek stałej i niezależnej od wartości X wariancji jest
mało realistyczny, gdy model regresji opisuje zależność wydatków konsumpcyjnych i
dochodów gospodarstw domowych (por. Rys. 1.1). Zróżnicowanie wydatków
konsumpcyjnych z pewnością rośnie wraz z dochodem gospodarstw, jako że mogą one
wybierać między konsumpcją bieżącą i oszczędzaniem czy inwestowaniem. Gospodarstwa
najmniej zamożne wydają, przeciętnie rzecz biorąc, niemal całość swoich dochodów na
zaspokojenie bieżących potrzeb konsumpcyjnych. Zatem gospodarstwa o niskich dochodach
charakteryzują się stosunkowo niską wariancją wydatków. Z kolei warunek niezależności
reszt między sobą jest bardzo trudny do spełnienia w przypadku modelowania szeregów
czasowych, zwłaszcza za pomocą tzw. modelu autoregresji. Jeżeli „teoretyczna wartość”
wyrazu szeregu czasowego w danym momencie zależy od wartości wyznaczonych dla
okresów wcześniejszych, to trudno zakładać, że nie będzie od nich zależna reszta modelu.
Stosunkowo najłatwiejsze do utrzymania jest założenie o normalności rozkładu reszt,
zwłaszcza przy dużej próbie.

Niespełnianie warunków (1.5 – 1.7) ma różnorakie konsekwencje. Najpoważniejsze skutki
niesie ze sobą skorelowanie reszt i zmiennych objaśniających. W tym przypadku uzyskane za
pomocą MNK estymatory parametrów modelu tracą nieobciążoność i zgodność. Metoda
postępowania w takim przypadku została opisana w § II.4. Niesferyczność reszt nie skutkuje
obciążonością estymatorów parametrów strukturalnych MNK, ale sprawia że tracą one
efektywność. Obciążone stają się natomiast estymatory wariancji oszacowań tych parametrów
(równanie 1.10). Ponadto w przypadku występowania autokorelacji reszt najczęściej ma
miejsce przeszacowanie wartości R

2

.


Częste w praktyce niespełnianie założeń odnośnie rozkładu reszt nie jest jedynym
ograniczeniem dla praktycznej użyteczności modelu opisanego w Rozdziale I. Także
założenie liniowości warunkowej wartości oczekiwanej zmiennej objaśnianej często nie jest
spełnione. Wreszcie, w empirycznych zastosowaniach modeli regresji w analizie
ekonomicznej oszacowania nierzadko muszą spełniać określone zależności w celu
zapewnienia zgodności z teoriami ekonomicznymi. Wszystkie te uwarunkowania zmuszają do
sięgnięcia po metody estymacji wykraczającej poza klasyczną MNK.

W kolejnych częściach zostały opisane zarówno wybrane metody estymacji modeli regresji
jak i testy pozwalające na wybór odpowiedniego modelu.




background image

8

II. WYBRANE METODY ESTYMACJI MODELI REGRESJI

1. MNK z warunkami dodatkowymi


W wielu przypadkach teorie ekonomiczne wymagają, aby parametry modelu spełniały
określone warunki dodatkowe. Jednak uzyskane (dowolną metodą) na podstawie danych
empirycznych oszacowania często ich nie spełniają, w związku z czym warunki te trzeba na
uzyskane rozwiązania narzucić. Jednym z możliwych do zastosowania w takiej sytuacji
rozwiązań jest MNK z warunkami dodatkowymi. Uzyskane oszacowania stanowią wówczas
warunkowe minimum sumy kwadratów reszt. Zespół liniowych

6

warunków narzuconych na

wektor parametrów a zawsze można przedstawić za pomocą układu równań:

r

'

a

R

=

~

(2.1)


gdzie R jest macierzą o wymiarach

)

1

(

+

×

k

m

, zaś r wektorem o wymiarach m

x

1 (m jest

liczbą warunków ograniczających). Jeżeli są spełnione wszystkie warunki pozwalające
zastosować klasyczną MNK, to wektor warunkowych oszacowań parametrów liniowego
modelu regresji można przedstawić następująco:

)

(

]

)

(

[

)

(

~

1

1

1

r

-

Ra

R'

X

X'

R

R'

X

X'

-

a

a

=

(2.2)


gdzie a jest wektorem oszacowań uzyskanych za pomocą bezwarunkowej MNK (por.
równanie 1.8). Metody oszacowania wariancji reszt modelu oraz wariancji oszacowań
parametrów podaje A. Darnell (1994, str. 350-351).

W punkcie 1 rozdziału III omówione zostały dwa testy (Walda i ilorazu wiarygodności)
pozwalające ocenić czy narzucenie warunków dodatkowych jest uzasadnione przy danych
wektorach X i Y oraz danej postaci funkcji regresji.

2. Estymacja modeli ekonometrycznych za pomocą metody największej
wiarygodno
ści (MNW)


Metoda największej wiarygodności jest znacznie bardziej uniwersalna i najczęściej
bardziej efektywna od metody najmniejszych kwadratów.
Można ją stosować również do
estymacji modeli nieliniowych, a także w przypadku heteroskedastyczności lub autokorelacji
reszt

7

(por. równanie 1.6 z komentarzem). Estymatory uzyskane za pomocą tej metody są

zgodne i asymptotycznie najefektywniejsze. Mogą natomiast być one obciążone, co ma
istotne znaczenie w przypadku małych prób. Inną słabością tej metody jest mniejsza niż w
przypadku MNK odporność na niespełnianie założenia o normalności rozkładu reszt.

Estymatory MNW parametrów w populacji generalnej uzyskuje się maksymalizując poniższą
funkcję wiarygodności:

6

Warunki nieliniowe nie będą tu omawiane.

7

Klasyczna MNK nie może być stosowana w takim wypadku lecz można skorzystać z estymatorów uzyskanych

za pomocą tzw. uogólnionej MNK (patrz: A. Darnell, 1994, str. 163-167)

background image

9

=

Θ

Θ

Θ

=

n

m

i

x

f

L

1

1

2

1

)

,...,

,

,

(

)

|

(

X

Θ

(2.3)


gdzie f jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa dla zmiennej X, zaś Θ = [Θ

1

, Θ

2

, ... , Θ

m

]

wektorem szacowanych parametrów. Idea MNW polega na znalezieniu takich wartości
parametrów Θ, które maksymalizują prawdopodobieństwo lub gęstość prawdopodobieństwa
uzyskania próby X.

W praktyce dużo wygodniej jest znaleźć maksimum dla funkcji będącej logarytmem L:

=

Θ

Θ

Θ

=

n

i

m

i

x

f

L

1

2

1

,

)

,...,

,

(

ln

)

|

(

ln

X

Θ

(2.4)


W przypadku, gdy estymuje się liniowy model regresji z wieloma zmiennymi, estymator
uzyskany za pomocą MNW ma postać następującego wektora:

Y

X'

X

X'

a

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

1

=

(2.5)

gdzie Ω

ˆ oznacza oszacowanie macierzy wariancji i kowariancji reszt. W przypadku

homoskedastyczności i braku autokorelacji reszt jest ona macierzą jednostkową (I w
równaniu 1.6) pomnożoną przez skalar. Łatwo zauważyć, że powyższe równanie jest
wówczas identyczne z równaniem (1.8) czyli estymatory MNW stają się identyczne z
estymatorami uzyskanymi za pomocą MNK. W przypadku heteroskedastyczności lub

autokorelacji reszt niezbędne jest oszacowanie macierzy Ω

ˆ . Robi się to zakładając, że jej

elementy są określoną funkcją wartości zmiennych objaśnianych, następnie za pomocą MNW

znajdując parametry tej funkcji. Szczegóły tej i kilku innych metod szacowania Ω

ˆ

przedstawił W. Greene (str. 511-517 i 555-569). Jeżeli Ω

ˆ jest znana (w praktyce warunek ten

prawie nigdy nie jest spełniony) to oszacowanie a jest identyczne z oszacowaniem
uzyskanym za pomocą uogólnionej MNK.

Oszacowanie wariancji reszt modelu można uzyskać następująco:

n

-

e

S

/

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

)

(

ˆ

1

2

a

X

Y

'

a

X

Y

=

(2.6)


podczas gdy wariancję oszacowania parametrów modelu uzyskuje się za pomocą wzoru

1

2

2

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

=

X

X'

a

s

S

(2.7)


Obydwa wyżej wymienione estymatory są obciążone, ale zgodne, a tym samym nieobciążone
asymptotycznie.

3. Uwagi o estymacji modeli nieliniowych


Modele nieliniowe ze względu na parametry można oszacować zarówno za pomocą MNW
jak i metody minimalizującej sumę kwadratów reszt, rozwijając funkcję nieliniową w
(liniową) sumę wyrazów szeregu Taylora. W tym drugim przypadku oszacowanie są z samej

background image

10

istoty metody jedynie przybliżeniami. Stosując MNW w przypadku wielu funkcji można
wyznaczyć pochodne analitycznie, dzięki czemu uzyskuje się oszacowania dokładne. Biorąc
pod uwagę fakt, iż estymatory uzyskane tą metodą są zgodne i asymptotycznie
najefektywniejsze (co nie jest najczęściej spełnione w przypadku metod opartych na
minimalizacji sumy kwadratów reszt), należałoby więc uznać jej wyższość nad MNK. Za
metodą MNK przemawiają jednak czasami względy praktyczne. Metoda MNW jest dostępna
tylko w niektórych pakietach statystyczno-ekonometrycznych, jest też najczęściej znacznie
bardziej czasochłonna (choć wymaga też znacznie mniej pamięci komputerowej).

W wielu przypadkach nieliniowe (ze względu na zmienne) modele można oszacować, po
odpowiednich przekształceniach, metodami estymacji liniowej. Przykładowo, nieliniowy
model:

i

k

i

i

i

i

x

y

ε

α

α

=

=

1

0

(2.8)


jest równoważny poniższemu modelowi logarytmicznemu:

i

k

1

i

i

i

0

i

ln

x

ln

ln

y

ln

ε

α

α

=

+

+

=

(2.9)


który może być oszacowany za pomocą metod liniowych (w miejsce wartości zmiennych Y i
X należy podstawić ich logarytmy).

4. Estymacja za pomocą zmiennych instrumentalnych (MZI)


Estymatory uzyskane za pomocą zmiennych instrumentalnych pozwalają ograniczyć w
znacznym stopniu (negatywne) skutki liniowego skorelowania reszt modelu ze
zmiennymi obja
śniającymi (por. równanie 1.5 wraz z komentarzem). W przypadku
występowania tej zależności estymatory parametrów równania liniowego uzyskane za
pomocą klasycznej MNK tracą własność nie tylko nieobciążoności, ale i zgodności.

Przez zmienne instrumentalne (zwane też instrumentami) należy rozumieć dodatkowe
zmienne wykorzystane w estymacji odznaczające się dwiema własnościami: a/ są
nieskorelowane (w praktyce: słabo skorelowane) z resztami modelu, b/ są skorelowane z tymi
zmiennymi objaśniającymi w modelu pierwotnym, które są skorelowane z resztami (mówi
się, że te ostatnie zmienne są instrumentowane). Macierz zmiennych instrumentalnych
powinna zawierać co najmniej tyle zmiennych (kolumn), ile jest zmiennych objaśniających w
pierwotnym modelu skorelowanych z resztami oraz tzw. autoinstrumenty czyli te kolumny
macierzy X, które odpowiadają zmiennym nieskorelowanym z resztami. Postać estymatora
uzyskanego za pomocą zmiennych instrumentalnych jest następująca:

Y

'

W

X

'

W

a

ˆ

)

ˆ

(

1

=

)

(2.10)

gdzie

W

ˆ

oznacza macierz zawierającą (m. in.) zmienne instrumentalne

8

. Jedna z jej

możliwych postaci przedstawia równanie (2.13). Jeżeli są one nieskorelowane z resztami

8

Jeden ze sposobów konstrukcji tej macierzy został podany poniżej.

background image

11

pierwotnego modelu, to powyższe wyrażenie jest asymptotycznie nieobciążonym

9

estymatorem parametrów modelu. Estymator wariancji reszt modelu ma postać:

I

k

n

s

=

e

'

e

)

)

)

2

(2.11)


gdzie e

)

jest wektorem reszt w zmodyfikowanym modelu, a k

I

stanowi liczbę zmiennych

instrumentalnych. Asymptotycznie nieobciążony estymator wariancji oszacowań parametrów
ma postać:

1

1

2

2

)

ˆ

(

ˆ

ˆ

)

ˆ

(

)

(

=

X

'

W

W

'

W

X

'

W

a

s

S

)

)

(2.12)


Wariancja ta jest tym mniejsza, im silniejsza jest korelacja między zmiennymi
instrumentowanymi i instrumentalnymi. Jest to jedno z kryteriów doboru zmiennych
instrumentalnych. Drugie kryterium stanowi, zgodnie z tym co zostało napisane powyżej,
nieskorelowanie z resztami pierwotnego modelu czyli warunek konieczny dla nieobciążoności

a

)

. Nietrudno zgadnąć, że opierając się na każdym z wymienionych kryteriów z osobna

uzyskalibyśmy dwa różne zestawy instrumentów. W praktyce znacznie bardziej istotne jest
skorelowanie instrumentów ze zmiennymi instrumentowanymi, co przekłada się na ich
efektywność. Z drugiej strony, jeżeli jest ono silne, to są one również dość mocno
skorelowane z resztami. Zatem każda dodatkowa zmienna instrumentalna zwiększa
obciążenie estymatorów. Skutecznym sposobem zwiększenia efektywności estymatorów bez
utraty informacji zawartej w potencjalnych instrumentach jest użycie ich kombinacji liniowej
zamiast pojedynczej zmiennej. Kombinację tę można uzyskać np. szacując (za pomocą MNK)
model, w którym zmienna instrumentowana jest funkcją instrumentów i stosując to
oszacowanie jako zmienną instrumentalną

10

. Można wykazać, że tak uzyskane estymatory

parametrów mają najniższą wariancję ze wszystkich estymatorów uzyskanych za pomocą
tych samych zmiennych instrumentalnych.

Macierz

Wˆ

uzyskuje się, niezależnie od liczby zmiennych instrumentalnych i rodzaju

zastosowanej kombinacji, następująco:

X

W'

W)

W(W'

W

-1

=

ˆ

(2.13)


gdzie W jest macierzą uzyskaną poprzez zamianę w macierzy X zmiennych skorelowanych z
resztami przez instrumenty.

Metoda estymacji za pomocą zmiennych instrumentalnych, choć może przynieść bardzo
korzystne skutki, nie powinna być stosowana pochopnie. Ponieważ istnienia liniowej
korelacji reszt i zmiennych objaśniających nie można sprawdzić bezpośrednio

11

jej istnienie

można jedynie podejrzewać na podstawie dociekań teoretycznych bądź doświadczenia
wynikającego z wcześniejszych estymacji z udziałem podobnych zmiennych. Formalne
uzasadnienie dla stosowania MZI stanowią wyniki testów ex post. Najpopularniejszy z nich
jest szczególnym przypadkiem testu Walda (por. punkt 1 w rozdziale III) i polega na ocenie

9

A więc również zgodnym, jeżeli jego wariancja maleje do zera wraz ze wzrostem próby.

10

Jest to szczególny przypadek tzw. dwustopniowej (zwanej tez podwójną) metody najmniejszych kwadratów

(2MNK).

11

Korelacja liniowa uzyskanych za pomocą MNK reszt i dowolnej zmiennej objaśniającej w próbie zawsze

wynosi 0.

background image

12

istotności różnicy pomiędzy oszacowaniami parametrów uzyskanych za pomocą MNK i MZI.
Jest on znany jako test Hausmana lub Durbina-Wu-Hausmana (DWH) i został opisany przez
Greene’a (str. 443-444) i Darnella (str. 132-135)

12

. Zalecane jest również sprawdzenie czy

instrumenty są dostatecznie mocno skorelowane ze zmiennymi instrumentowanymi. Jeżeli w
modelu jest instrumentowana jedna zmienna, to wystarczający jest test istotności R

2

po

oszacowaniu za pomocą MNK modelu w którym zmienną objaśnianą jest ta zmienna zaś
zmiennymi objaśniającymi instrumenty. W przypadku większej liczby zmiennych
instrumentowanych test tego typu może okazać się niewystarczający (zwłaszcza w przypadku
silnego skorelowania pomiędzy nimi). Prostą procedurę postępowania w takiej sytuacji
przedstawił J. Shea (”Instrument relevance in multivariate linear models: a simple measure”,
Review of Economics and Statistics, 79, str. 348-52, 1997 r.).

5. Zmienne binarne w modelach regresji: regresja logitowa i probitowa


Zmienne binarne czyli przyjmujące tylko dwie wartości (najczęściej 0 i 1) są jedną z
najpopularniejszych metod modelowania ekonometrycznego. Ich użyteczność jest oczywista
w przypadku, gdy model regresji opisuje takie zjawiska jakościowe np. zależność między
dochodem, a płcią. W najprostszym modelu tego typu zmienną objaśnianą byłby dochód,
zmienną objaśniającą zmienna przyjmująca wartość 1, gdy badana osoba jest kobietą i 0, gdy
mężczyzną (lub odwrotnie). Model taki, a także modele obejmujące większą liczbę binarnych
zmiennych objaśniających opisane poniżej, można oszacować tak samo jak modele ze
zmiennymi ciągłymi.

W wielu przypadkach konieczne jest, aby zmienne jakościowe wyznaczały więcej niż dwie
kategorie. Przykładem może być model trendu z wahaniami okresowymi, np. kwartalnymi.
Zmienne binarne powinny przyjmować wartość 1, gdy obserwacja należy do danego kwartału
i 0 w przeciwnym przypadku. Najprostszy model (zakładający stałość amplitudy wahań czyli
jej niezależność od poziomu trendu) z kwartalnymi wahaniami miałby postać:

n)

1,2,...,

(i

=

+

=

+

+

+

+

i

i

i

i

i

x

x

x

t

y

ε

α

α

α

α

α

3

3

2

2

1

2

1

0

(2.14)


gdzie t oznacza czas, zaś zmienne x

1

, x

2

i x

3

przyjmują wartość 1 dla obserwacji należących,

odpowiednio, do 1, 2 i 3 kwartału. W modelu został pominięty ostatni kwartał, któremu
odpowiadają zerowe wartości wszystkich wymienionych zmiennych. Pominięcie jednej
kategorii (jej wybór nie ma znaczenia) jest niezbędne, aby uniknąć liniowej zależności
między zmiennymi.

W podanym przykładzie nie można było z góry zakładać stałej (np. rosnącej) zależności
między numerem kwartału, a siłą wahań okresowych. Zatem zastąpienie trzech zmiennych
binarnych jedną zmienną przyjmującą wartości 1, 2, 3 i 4 najczęściej nie upoważniałoby do
zastosowania liniowej estymacji parametrów. Nawet jednak w przypadku, gdy zależność
między zmienną objaśnianą jest monotoniczna (np. między dochodem i poziomem
wykształcenia

13

lub między wydatkami na mieszkanie i liczbą osób w gospodarstwie

domowym) zastosowanie zmiennych binarnych może być korzystne. Po pierwsze, użycie

12

Ten i podobne testy występują pod nazwą testów egzogeniczności (zaprzeczeniem egzogeniczności jest

endogeniczność).

13

Można np. przyjąć, że wykształceniu podstawowemu odpowiada wartość zmiennej objaśniającej 1,

zawodowemu 2 itd. Inne rozwiązanie polega na zdefiniowaniu zmiennej jako liczby ukończonych lat nauki.

background image

13

jednej zmiennej jest równoważne z mało realistycznym założeniem, że np. „przyrost
wykształcenia” o jednostkę powoduje średnio stały (równy wartości odpowiedniego
parametru) przyrost zmiennej objaśniającej. Inny przykład użyteczności zmiennych binarnych
stanowią modele, w których pewne zmienne objaśniające mogą występować więcej niż raz,
co najczęściej powoduje stochastyczną współliniowość tych zmiennych

14

i obniża

efektywność estymatorów. W celu ograniczenia tego zjawiska niektóre zmienne można co
najmniej raz zastąpić kilkoma zmiennymi binarnymi. Np. liczba osób może być wyrażona w
postaci kilku zmiennych binarnych, które przyjmują wartość 1 gdy gospodarstwo jest jedno,
dwu, trzy itd. osobowe. Jedyną, i niezbyt istotną, wadą takiego rozwiązania jest zwiększenie
liczby zmiennych objaśniających.

Sytuacje zmienia się, gdy binarna jest zmienna objaśniana. Zastosowanie MNK nie pozwala
uzyskać nieobciążonych czy zgodnych estymatorów (wartość oczekiwana reszt jest różna od
zera). W efekcie, zakres zmienności wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej wykracza poza
przedział [0,1]. Tymczasem, wartości te należałoby traktować jako wartość oczekiwaną
(„teoretyczną”) prawdopodobieństwa, że zmienna Y przyjmie wartość 1. Rozwiązaniem tego
problemu jest zastosowanie tzw. regresji logitowej lub probitowej. Polega ona na zastosowaniu
odpowiedniej rosnącej transformacji wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej, dzięki której
przyjmuje ona wartości z przedziału [0,1]. Przykładowo, w przypadku regresji logitowej ma ona
postać:

)

exp(

1

)

exp(

)

exp(

1

)

exp(

ˆ

)

1

(

ˆ

...

2

2

1

0

...

2

2

1

0

α

X

α

X

i

i

+

=

+

=

=

=

+

+

+

+

+

+

+

+

ik

k

i

i

i

ik

k

i

i

i

i

i

x

x

x

x

x

x

P

y

P

α

α

α

α

α

α

α

α

(2.15)


Wobec powyższego, wartość oczekiwaną prawdopodobieństwa wylosowania próby Y czyli
odpowiadającą jej funkcję wiarygodności można wyznaczyć następująco:

)]

(

1

[

)

(

)

|

(

0

1

α

X

α

X

Y

a

i

y

i

y

i

i

L

=

=

Λ

Λ

=

(2.16)


gdzie Λ jest transformacją logitową

15

występującą po prawej stronie równania (2.15).

Oszacowania parametrów modelu logitowego (i probitowego) wyznacza się za pomocą MNW,
znajdując wartości parametrów maksymalizujące powyższą funkcję (w praktyce: jej logarytm).
Szczegóły tej procedury przedstawił W. Greene (1997, str. 883)

16

. Ponieważ równanie (2.15)

można również zapisać:

ik

k

i

i

i

i

i

x

x

x

P

P

α

α

α

α

+

+

+

+

=

...

2

2

1

0

)]

ˆ

1

/(

ˆ

ln[

(2.17)


to znak oszacowań parametrów modelu można interpretować tak jak w przypadku zwykłego
modelu liniowego (jako że lewa strona równania jest rosnącą transformacją p

i

). Inna postać tego

samego równania pozwala zapisać iloraz dwóch prawdopodobieństw (ang.:”odds ratio”)
następująco:

14

Np. w modelach popytu ze zmiennymi demograficznymi liczba osób w gospodarstwie pojawia się przy każdej

grupie wydatków.

15

W przypadku regresji probitowej transformacja P

i

jest dystrybuantą rozkładu normalnego standardowego.

Wprawdzie oszacowania parametrów tego typu modelu są różne od oszacowań modelu logitowego, ale ich
interpretacja jest identyczna. Bardzo zbliżone są też „wartości teoretyczne” prawdopodobieństw.

16

Podaje on układ równań nieliniowych, który rozwiązuje się w sposób numeryczny, nie można więc podać

ogólnej postaci estymatorów parametrów.

background image

14

)

exp(

)

0

(

)

1

(

α

X

i

=

=

=

Y

P

Y

P

(2.18)


Dodatnia wartość oszacowania oznacza pozytywny wpływ odpowiedniej zmiennej objaśniającej
na oszacowanie teoretycznej wartości prawdopodobieństwa, że Y przyjmie wartość 1.
Interpretacja wartości parametrów jest jednak bardziej skomplikowana. Nie może być ona
traktowana, w odróżnieniu od modeli liniowych, jako oszacowanie efektu marginalnego
względem x

i

. Z uwagi na nieliniowość modelu zmiana teoretycznej wartości

prawdopodobieństwa spowodowana zmianą i-tej zmiennej objaśniającej zależy od wartości
zmiennych objaśniających X

i

(i-tego wiersza w macierzy danych). Dla j-tej zmiennej

objaśniającej efekt marginalny jej zmiany o jednostkę można oszacować następująco:

j

j

a

x

Y

E

)]

(

1

)[

(

)

|

(

a

X

a

X

X

i

i

i

Λ

Λ

=

(2.19)


Wariancję oszacowań parametrów modelu logitowego można oszacować za pomocą wzoru:

1

1

2

2

]

)

(

[

)

(

=

Λ

=

n

i

i

y

S

'

X

X

a

X

a

i

i

i

(2.20)



III. TESTY STATYSTYCZNE W MODELACH REGRESJI

1. Testy warunków ograniczających modelu


W wielu przypadkach zgodność z teoriami ekonomicznymi wymaga, aby oszacowania
parametrów modelu spełniały pewne warunki. Można to osiągnąć estymując model np. za
pomocą warunkowej MNK (por. rozdział II, cz.1). Regresja warunkowa może być też
wykorzystana jako test teorii ekonomicznych rozumianych jako przyjmowanie konkretnych
wartości przez parametry: jeżeli oszacowania uzyskane za pomocą metod bezwarunkowych
są bliskie oszacowaniom warunkowym to można uznać, że wyniki estymacji potwierdzają
teorię. W niniejszym paragrafie omówione zostaną dwa testy pozwalające stwierdzić, czy
różnice między oszacowaniami warunkowymi i bezwarunkowymi nakazują odrzucenie teorii.
Oba wykorzystują statystyki χ

2

przyjmujące tym większą wartość im większe występują

różnice (mówiąc w uproszczeniu), między oszacowaniami warunkowymi i bezwarunkowymi.
Ideę konstrukcji obu tych testów: ilorazu wiarygodności i Walda ilustruje rysunek 3.1.
Przedstawiony został na nim test dla jednego warunku h(Θ)=0 narzuconego na jeden parametr
Θ, jednak oba testy mogą być zastosowane również w przypadku wielu ograniczeń i wielu
parametrów.

Test ilorazu wiarygodności oparty jest na następującym założeniu: jeżeli warunek dodatkowy
(lub zespół warunków) jest prawdziwy, to narzucenie tego warunku nie powinno
spowodować dużego spadku wartości funkcji wiarygodności. Statystyka zdefiniowana za
pomocą równania (3.1) przyjmuje tym większą wartość im większy jest ten spadek. Jeżeli jej
wartość przekroczy wartość krytyczną, to hipotezę mówiącą o spełnianiu warunku
(warunków) należy odrzucić.

background image

15

U

R

L

L

LR

ln

2

=

(3.1)


gdzie L

R

i L

U

są, odpowiednio, wartościami funkcji wiarygodności uzyskanymi dla modelu z

ograniczeniami i bez. Powyższa statystyka, przy prawdziwości hipotezy zerowej (h(Θ)=0) ma
asymptotyczny rozkład χ

2

o liczbie stopni swobody równej liczbie narzuconych ograniczeń.

Rys. 3.1. Test ilorazu wiarygodności i test Walda dla jednego warunku (na podstawie: Greene, str. 160)



Drugi z testów, zaproponowany przez Walda, zakłada, że jeżeli warunek dodatkowy (lub
zespół warunków) jest prawdziwy, to uzyskane za pomocą estymacji warunkowej
oszacowania powinny je w przybliżeniu spełniać. Statystyka testowa ma postać:

[

]

)]

ˆ

(

[

)]

ˆ

(

[

)]'

ˆ

(

[

1

2

Θ

Θ

Θ

h

h

S

h

W

=

(3.2)


gdzie:

'

Θ

Θ

Θ

Θ

Θ

Θ

=

ˆ

)

ˆ

(

h

)

ˆ

(

S

ˆ

)

ˆ

(

h

)]

ˆ

(

h

[

S

2

2

)

ˆ

h

oznacza macierz testowanych warunków, której elementy obliczono podstawiając

oszacowania parametrów Θ.

)

ˆ

(

2

Θ

S

jest macierzą wariancji oszacowania parametrów Θ.

Statystyka Walda również ma asymptotyczny rozkład χ

2

o liczbie stopni swobody równej

liczbie narzuconych ograniczeń.


IW (LR)


Wald

ln L

U

ln L

R

ln L(Θ)


h(Θ)

0

R

Θ

ˆ

MNW

Θ

ˆ

Θ

background image

16

Z teoretycznego punktu widzenia (np. oceniając moc testów) nie można przyznać wyższości
żadnej z powyższych metod. O wyborze winny więc decydować względy praktyczne. Wadą
testu ilorazu wiarygodności jest konieczność oszacowania dwóch modeli (z warunkami
dodatkowymi i bez). Wadą testu Walda jest konieczność wyznaczenia macierzy wariancji
oszacowań parametrów (co jednak najczęściej musi być zrobione z innych względów) i w
wielu przypadkach konieczność „ręcznego” wyznaczania wartości statystyki testowej.

2. Testy specyfikacji modelu


W licznych zastosowaniach liniowa postać modelu nie jest adekwatna i konieczny jest wybór
innej postaci funkcji regresji (g w równaniu 1.1). Teoria ekonomiczna bardzo rzadko pozwala
uzasadnić wybór jej konkretnej postaci, często więc należy dokonać go posługując się metodą
prób i błędów lub poprzez obserwację rozkładu wartości empirycznych. Poniżej zostały
przedstawione dwa testy (specyfikacji) pozwalające dokonać weryfikacji wyboru postaci
funkcji g.

Test RESET (Regression Equation Specification Error Test) zwany też testem Ramsey’a
może być wykorzystany do weryfikacji hipotezy o liniowości funkcji regresji (równania 1.2).
Aby wyznaczyć stosowną statystykę testową należy oszacować model liniowy oraz model o
następującej postaci:

i

p

p

i

p

i

i

i

i

i

ik

k

i

i

i

ε

y

y

y

x

x

x

a

y

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

)

1

(

)

1

(

3

2

2

2

1

1

0

...

2

2

1

1

ˆ

...

ˆ

ˆ

β

β

β

α

α

α

(3.3)


gdzie

j

j

i

y

)

1

(

ˆ

(j=2,...,p) jest i-tą „teoretyczną wartością” zmiennej objaśnianej uzyskaną za

pomocą estymacji modelu liniowego (liniowej części równania 3.3). Poniższa statystyka
może być użyta do konstrukcji testu.

)

1

/(

)

1

/(

]

[

=

k

n

URSS

p

URSS

RRSS

R

(3.4)


gdzie RRSS jest sumą kwadratów reszt modelu liniowego, zaś URSS sumą kwadratów reszt
modelu (3.3). Jeżeli hipoteza o liniowości jest prawdziwa, to R ma rozkład F z (p-1) i (n-k-1)
stopniami swobody. Gdy suma kwadratów reszt modelu liniowego jest znacznie większa od
sumy kwadratów reszt modelu nieliniowego, to statystyka R przekracza poziom krytyczny i
hipotezę o liniowości należy odrzucić. Hipoteza alternatywna nie precyzuje postaci funkcji
regresji.

Kolejny test pozwala na specyfikacje postaci funkcji regresji w hipotezie zerowej i
alternatywnej, jest też bardziej ogólny od testu RESET z uwagi na wielość potencjalnych
specyfikacji. Wykorzystuje on następującą transformację (Boxa i Coxa) zmiennej X:

=

=

0

dla

ln(X)

0

dla

/

)

1

(

)

(

λ

λ

λ

λ

λ

X

X

(3.5)


Umożliwia ona zapis modelu regresji z jedną zmienną

17

za pomocą następującej

18

funkcji:

17

Może on być uogólniony przez dodanie dowolnej liczby zmiennych objaśniających.

background image

17

n)

1,2,...,

(i

0

)

(

1

1

)

(

=

+

+

=

i

i

i

ε

x

y

α

α

δ

λ

(3.6)


Model ten należy oszacować za pomocą metody największej wiarygodności (szczegóły
przedstawił A. Darnell, 1994, str. 37) dwukrotnie: zakładając liniowość (wtedy λ=δ=1) oraz
przyjmując inne wartości λ i δ. Test liniowości jest w tym przypadku testem ilorazu
wiarygodności dla hipotezy zerowej: λ=δ=1. Test ten można też przeprowadzić także dla
innych form funkcji regresji w hipotezie zerowej, choć w praktyce estymacja modelu, w
szczególności wariancji oszacowań jest dość trudna a czasami problematyczna. W przypadku
gdy test nie daje jednoznacznych wskazań odnośnie „właściwych” parametrów transformacji
Boxa-Coxa należy przyjąć wartości oszacowań (parametrów strukturalnych i transformacji)
uzyskanych za pomocą metody największej wiarygodności.

3. Test stabilności parametrów


Omawiany test (Chowa) pozwala zweryfikować hipotezę o stałości relacji ekonomicznych w
modelach liniowych, objawiającej się niezmiennymi (w czasie lub przestrzeni) wartościami
parametrów w modelach. Niezmienność (w praktyce: przybliżona) parametrów jest jednym z
zasadniczych warunków m. in. trafności prognoz. Stabilność parametrów bada się (ex post)
sprawdzając czy są one jednakowe w dwóch badanych podpróbach (np. w dwóch okresach
lub w dwóch regionach). Test Chowa wymaga trzech estymacji za pomocą MNK: dla całej
próby (Y,X) oraz dla dwóch podprób (Y

1

,X

1

) (Y

2

,X

2

). Pierwsza z nich (milcząco) zakłada, że

parametry są stałe dla całej badanej próby, jest więc estymacją z warunkami dodatkowymi (a

1

= a

2

). Dwie pozostałe są estymacjami bezwarunkowymi. Jeżeli hipoteza o stabilności

parametrów jest prawdziwa, to suma kwadratów reszt w estymacji warunkowej powinna być
równa sumie dwóch sum kwadratów reszt uzyskanych dla estymacji bezwarunkowych. Jeżeli
różnica między wyżej wymienionymi sumami jest duża, to hipotezę o stabilności parametrów
należy odrzucić. Statystyka testowa następującej postaci (por. objaśnienia do równania 3.4;
suma kwadratów reszt estymacji bezwarunkowej URSS jest sumą dwóch sum kwadratów
reszt uzyskanych za pomocą zastosowanej do każdej podpróby oddzielnie MNK):

)

2

2

/(

)

1

/(

]

[

+

=

k

n

URSS

k

URSS

RRSS

Ch

(3.7)


ma rozkład F z (k+1) i (n-2k-2) stopniami swobody.

Powyższy test wymaga homoskedastyczności reszt. W przypadku niespełniania tego warunku
należy go zmodyfikować stosując test Walda (szczegóły przedstawił A. Darnell, 1994, str.
51).

4. Test homoskedastyczności reszt


Występowanie heteroskedastyczności reszt nakazuje modyfikację metod estymacji wariancji
oszacowań parametrów i weryfikacji hipotez odnośnie parametrów modelu. Jej rozpoznanie
ma więc zasadnicze znaczenie w modelowaniu regresji. Przedstawiony poniżej test

18

Przykładowo, model jest liniowy, gdy λ=δ=1 lub logarytmiczny, gdy λ=δ=0

background image

18

wykorzystuje fakt, iż w przypadku homeskedastyczności reszt (co objawia się ich
niezależnością od wartości zmiennych objaśniających) uporządkowanie (w dowolnej
kolejności) żadnej ze zmiennych objaśniających nie powinno spowodować uporządkowania
reszt. Omówiony tu test zaproponowany przez S. Goldfelda i R. Quandta porównuje
wariancje reszt w dwóch podpróbach otrzymanych po uporządkowaniu badanej zmiennej
„podejrzanej” o skorelowanie z wariancją reszt. Wariancje te są wyznaczane poprzez
estymacje dwóch modeli, dla każdej podpróby oddzielnie. Jeżeli powyższa zależność nie ma
miejsca, to wariancje reszt w obydwu podpróbach nie powinny się istotnie różnić. W
przeciwnym przypadku hipotezę o homoskedastyczności reszt należy odrzucić. Statystyka
testowa postaci (subskrypty 1 i 2 oznaczają numer próby):

)

1

/(

)

1

/(

2

2

1

1

1

=

k

n

k

n

GQ

2

'

'

e

e

e

e

(3.8)


ma rozkład F z (n

1

-k-1) i (n

2

-k-1) stopniami swobody (licznik powinien mieć wyższa wartość,

w przeciwnym przypadku należy zamienić subskrypty). Jeżeli wartość krytyczna zostanie
przekroczona, to hipotezę zerową należy odrzucić.

W wielu przypadkach moc testu można zwiększyć, usuwając część obserwacji „środkowych”
(po uporządkowaniu). Tym samym jednak zmniejsza się liczbę stopni swobody, co z kolei
wpływa negatywnie na moc testu, tym bardziej, im mniejsza jest próba. Test Goldfelda i
Quandta wymaga, aby rozkład reszt był normalny.

Istnieje wiele innych testów heteroskedastyczności reszt. Jeżeli rozkład tych ostatnich nie jest
normalny, można zastosować np. test White’a omówiony przez W. Greene’a (1997, str. 550-
551) i A. Darnella (1994, str. 438-440). Test ten jednak należy stosować jedynie w przypadku
gdy mamy pewność, iż specyfikacja funkcji regresji jest poprawna. Inny test, zaproponowany
przez Breuscha i Pagana (Greene, 1997, str. 552-553), pozwala wykryć heteroskedastyczność
reszt dla wszystkich zmiennych objaśniających łącznie. W przypadku gdy w modelu
występuje więcej niż jedna zmienna objaśniająca, wykrycie zmiennej „odpowiedzialnej” za
heteroskedastyczność i tak wymaga testowania każdej ze zmiennych osobno (np. za pomocą
testu Goldfelda-Quandta).


Dekalog ekonometrii stosowanej według Petera Kennedy’ego


1.

Będziesz używać zdrowego rozsądku i teorii ekonomicznych.

2.

Będziesz zadawać właściwe pytania.

3.

Powinieneś znać kontekst (analizy - przyp. A. S.).

4.

Będziesz badać (“inspect”) dane.

5.

Nie będziesz oddawać czci skomplikowanej formie (”complexity”).

6.

Będziesz długo i uważnie oglądać wyniki (estymacji - przyp. A. S.).

7.

Będziesz zważać na koszty “przeszukiwania danych” (“data mining”).

8.

Będziesz zgadzać się na kompromisy.

9.

Nie będziesz mylić istotności z istotą

19

(zagadnienia - przyp. A. S.).

10.

Będziesz spowiadać się z odporności na założenia (niedosłowne tłumaczenie ”Thou shalt
confess in the presence of sensitivity”).

19

W oryginale: ”significance” i ”substance”.

background image

19


Literatura podstawowa:


William H. Greene, ”Econometric Analysis”, Prentice-Hall International, Inc. (różne

wydania; podawane tu numery stron pochodzą z wydania III z roku 1997)


Peter Kennedy, ”A Guide to Econometrics”, Blackwell Publishing (różne wydania)

G.S. Maddala (2006), “Ekonometria”, PWN.

Literatura uzupełniająca:

Wojciech W. Charemza i Derek F. Deadman (1997), „Nowa Ekonometria”, PWE.

Gregory C. Chow (1995), „Ekonometria”, PWN.

Adrian C. Darnell (1994), “A Dictionary of Econometrics”, Edward Elgar Publishing, Inc.

Fumio Hayashi (2000), ”Econometrics”, Princeton University Press (I rozdział i niektóre

zbiory danych dostępne na stronie

http://www.pup.princeton.edu

).


Dale J. Poirier (1995), ”Intermediate Statistics and Econometrics; A Comparative Approach”,

The MIT Press.


Aleksander Welfe „Ekonometria”, PWE (różne wydania)

Wybrane artykuły z Journal of Economic Perspectives, vol. 15, nr 4, 2001.
(z komputerów uczelnianych dostępne na stronie

www.jstor.org

)


Niezła strona polskojęzyczna Jerzego Mycielskiego
http://inflacja.icm.edu.pl/jmyc/

Cały obowiązujący zakres kursu można znaleźć w niniejszym skrypcie zaś szczegółowe
wyjaśnienia w książkach zaliczonych do literatury podstawowej. Literatura uzupełniająca
również opisuje te zagadnienia, ale żadna z pozycji nie wyczerpuje zakresu w całości.

Przyjęta konwencja oznaczeń:
X, Y - zmienne
X, Y

- macierze (wektory) obserwacji

y

i

, x

ij

, x

i

- pojedyncze obserwacje

α ,Θ - wektory parametrów
α ,Θ - pojedyncze parametry

a

,

Θ

,

α ˆ

ˆ

- wektory oszacowań

i

i

,a

αˆ

- pojedyncze oszacowania

k - liczba zmiennych objaśniających w modelu (nie obejmuje wyrazu wolnego)
n - liczba obserwacji
wektor parametrów/oszacowań modelu jest kolumną
wektor obserwacji dla jednej zmiennej jest kolumną
wektor zmiennych dla jednej obserwacji jest wierszem

background image

20

ZADANIA

20


1.* Dla gospodarstw domowych, których głowami są osoby powyżej 40 roku życia
oszacowane zostały dwa modele, w których zmienną objaśnianą był m. in. dochód na osobę
(DOCH) wyrażany w złotych miesięcznie. Zbiór zmiennych objaśniających był następujący:

WIEK - wiek głowy gospodarstwa,

PRAC - zmienna 0/1 przyjmująca wartość 1, gdy głowa gospodarstwa jest
pracownikiem (tylko drugi model)

EMEREN - zmienna 0/1 przyjmująca wartość 1, gdy głowa gospodarstwa jest
emerytem lub rencistą (tylko drugi model)


Próba liczyła ponad 20 000 obserwacji. Wyniki estymacji były następujące (w nawiasach
podane są statystyki t-Studenta):

I model

DOCH = -3,85*WIEK + 791 +

ε

(-13,3) (21,2)


R

2

= 0,008

II model:

DOCH = 1,50*WIEK + 88,2*PRAC - 104,2*EMEREN + 512,9 +

ε

(13,5) (9,0) (-9,2) (23,4)

R

2

= 0,025


W obydwu przypadkach R

2

okazał się istotnie większy od zera, zaś żaden z testów nie

wykazał iż klasyczna MNK może być niewłaściwa. W drugim modelu nie jest spełniona tzw.
„zasada koincydencji”. Czy niewłaściwy jest model czy też powyższa zasada?


2. Które stwierdzenia są nieprawdziwe i dlaczego?

a/ W liniowym modelu z jedną zmienną kowariancja kwadratów reszt i zmiennej
objaśniającej nie różni się statystycznie od zera. Oznacza to homoskedastyczność reszt.
b/ Niska wartość R

2

w liniowym modelu z jedną zmienną dowodzi, że zależność między

zmienną objaśnianą i objaśniającą jest nieliniowa lub statystycznie nieistotna.
c/ zmienne niezależne muszą być losowe,
d/ Jeżeli model regresji liniowej został oszacowany za pomocą wszystkich obserwacji w
populacji generalnej (a = α), to R

2

= 1.




20

Gwiazdka oznacza, że zadanie jest nieco trudniejsze od pozostałych; „zal” oznacza, że

zadanie pochodzi z testów zaliczeniowych z poprzednich lat.

background image

21

3. Za pomocą klasycznej MNK oszacowano dwa liniowe modele inflacji. W pierwszym z
modeli współczynnik determinacji okazał się większy niż w modelu drugim, natomiast
oszacowanie wariancji reszt było w nim mniejsze. Ponadto okazało się, że statystyka F
zdefiniowana za pomocą równania (1.13) tylko w przypadku drugiego oszacowania
przekracza wartość krytyczną przy poziomie istotności 0,05.

Które oszacowanie należy uznać za lepsze?


4. Dane są 4 próby liczące po 11 elementów, dla których poniższe statystyki są jednakowe:

9

=

X

;

5

,

7

=

Y

;

10

)

(

2

=

X

D

;

73

,

3

)

(

2

=

Y

D

Oszacowanie modeli regresji za pomocą MNK dało również wiele jednakowych wyników:

3

5

,

0

ˆ

+

=

X

Y

;

188

,

0

)

(

=

a

S

;

667

,

0

2

=

R

;

=

i

i

e

75

,

13

2

;

=

i

i

Y

y

5

,

27

)

ˆ

ˆ

(

2

Graficzna ilustracja danych i funkcji regresji przedstawia się następująco:


Czy powyższe wyniki przekreślają sens posługiwania się modelami regresji?

(Przedstawiony zbiór danych znany jest jako kwartet Anscombe’a . Dane indywidualne można
znale
źć np. tutaj: http://www2.sjsu.edu/faculty/gerstman/EpiInfo/cont-cont.htm.)

5.(zal.) Model wydatków konsumpcyjnych dla trzech grup wydatków (np. żywność,
mieszkanie i ‘pozostałe’) ma postać:

i

i

l

l

l

l

l

il

P

X

p

p

p

w

ε

β

α

α

α

α

+

+

+

+

+

=

)

ln(

ln

ln

ln

3

3

2

2

1

1

gdzie w

il

oznacza udział (proporcję) wydatków na l-te dobro (l=1,2,3) w budżecie i-tego

gospodarstwa (lub i-tej grupy gospodarstw), p

l

indeks cen l-tej grupy wydatków, X

i

sumę

wydatków i-tego gospodarstwa na głowę, P agregatowy indeks cen.

Od parametrów modelu wymaga się, aby spełniany był tzw. warunek jednorodności

zdefiniowany:

0

3

2

1

=

+

+

l

l

l

α

α

α

. Szacując model bez narzucenia warunków jednorodności

uzyskano oszacowania parametrów (w nawiasach podane są błędy standardowe oszacowań):

a

1

=1,8 (0,95) a

11

= 0,04 (0,008) a

12

=0,24 (0,009) a

13

= -0,1 (0,025) d

1

= 0,85 (0,72)

Zakładając (abstrakcyjnie!), że wszystkie elementy poza główną przekątną w macierzy
wariancji i kowariancji oszacowań parametrów (wzór 1.10) są równe zeru, należy sprawdzić
przy poziomie istotności 0,01 hipotezę o jednorodności oszacowanego modelu.
Liczba obserwacji wynosi 5000.

background image

22

6. W modelu występującym w zadaniu 5 zmienna X okazała się skorelowana z resztami
modelu? Jakie mogą być tego przyczyny? Jakie zmienne instrumentalne można zastosować
do estymacji tego modelu.?
7.(zal.) Na podstawie danych indywidualnych z budżetów gospodarstw domowych z 2002 r.
oszacowany został model wydatków na pieczywo

21

. Z uwagi na domniemane skorelowanie

reszt z dwiema pierwszymi zmiennymi (suma wydatków gospodarstwa i kwadrat tej sumy),
oszacowano model również za pomocą metody zmiennych instrumentalnych.

Należy ustalić przyczynę skorelowania przynajmniej jednej ze zmiennych z resztami.

Jakie instrumenty mogą być użyte? (należy wymienić co najmniej dwa, uzasadniając
odpowiedź).

Wyniki oszacowań przedstawia poniższa tabela.

Zmienna

MNK

MZI

oszacowanie

t

oszacowanie

t

wydatki

-0,222

-37,1

-0,274

-24,9

wydatki

2

0,014

32,5

0,018

21,9

miasto

-0,009

-32,8

-,007

-27,9

log_wiek

0,042

5,7

0,045

5,29

log_wiek

2

-0,005

-4,9

-0,005

5,1

wyraz wolny

0,797

37,1

0,975

25,3

R

2

0,61

0,59


Należy też ocenić prawdziwość poniższych stwierdzeń:
a/ Skoro t i R są (z jednym wyjątkiem) wyższe przy MNK, to należy wykorzystać
oszacowania uzyskane tą metodą.
b/ Oszacowania uzyskane za pomocą MZI są nadal obciążone i niezgodne, ponieważ
pozostawione zostały zmienne skorelowane z resztami.
c/ Usunięcie pierwszych dwóch zmiennych pozwoli uzyskać za pomocą MNK nieobciążone
estymatory parametrów modelu.

8. (zal.). Za pomocą 54 obserwacji oszacowany został model o następującej ogólnej postaci:

i

i

i

i

e

b

x

a

x

a

y

+

+

+

=

)

(

2

)

(

1

δ

λ


gdzie zapis X

(λ)

oznacza transformację Boxa-Coxa. Dokonano następnie za pomocą testu

ilorazu wiarygodności weryfikacji dwóch hipotez:
H

0

: λ = 1 oraz H

0

: δ = 2 przy obustronnych hipotezach alternatywnych. Statystyki testowe

przyjęły wartości 0,64 oraz 0,9.

Posługując się tymi samymi danymi wykonano również test Chowa dla modelu:

0

1

ˆ

b

x

b

y

i

i

+

=


obliczając m. in. sumy kwadratów reszt RRSS i URRS. Którą (które) parę (pary) wartości
można uznać za najbardziej prawdopodobne: a/ 190 i 175, b/ 190 i 180, c/ 225 i 185.



21

Zmienną objaśnianą jest udział wydatków na pieczywo w łącznej sumie wydatków gospodarstwa.

background image

23

9*(zal.). Za pomocą 203 obserwacji oszacowano następujący model regresji:

i

2

i

2

1

i

1

0

i

ε

x

x

y

+

=

+

+

α

α

α

Dla p=2 wartość statystyki w teście Ramsey’a (RESET) wyniosła 3,89.

Za pomocą tej samej próby oszacowano również model:

i

2

2

i

4

2

i

3

2

1

i

2

1

i

1

0

i

x

x

x

x

y

µ

β

β

β

β

β

+

+

=

+

+

+

uzyskując m. in. wynik:

[

]

=

=

1

,

2

2

,

1

2

,

1

2

,

1

1

0

0

1

)

(

S

1

0

0

1

)]

(

h

[

S

1

2

1

2

b

b

gdzie

)

(

S

2

b jest macierzą wariancji i kowariancji oszacowań parametrów β

2

i β

4

. Które z

następujących par oszacowań parametrów β

2

i β

4

nie mogą (najprawdopodobniej) być

prawdziwymi oszacowaniami: b

2

=0,6 i b

4

=-1,2 oraz b

2

=1,8 i b

4

=-3,6. Odpowiedź należy

uzasadnić.

10. Liniowy model wyjaśniający zmiany bezrobocia w Niemczech został oszacowany na
podstawie danych z landów wschodnich i zachodnich (osobno) oraz trzeci raz na podstawie
wszystkich danych łącznie. Liczba obserwacji wynosiła, odpowiednio: 22, 38 i 60. Modele
były identyczne i liczyły po 6 zmiennych objaśniających. Sumy kwadratów reszt w modelach
„wschodnim”, „zachodnim” i „połączonym” wynosiły odpowiednio: 90, 120 i 240.

Identyczny model został oszacowany dla Belgii trzykrotnie: dla Flandrii (28

obserwacji), dla Walonii (32 obserwacje) i dla całego kraju (60 obserwacji). Sumy kwadratów
reszt dla pierwszych dwóch estymacji wyniosły, odpowiednio, 75 i 95. Regionalne
zróżnicowanie przyczyn bezrobocia jest znacznie wyższe w Niemczech niż w Belgii. Która z
trzech liczb: 280, 160 i 190 jest najbardziej prawdopodobna jako suma kwadratów reszt w
trzeciej estymacji modelu?

11. (zal.). Za pomocą 54 obserwacji oszacowany został model o następującej ogólnej postaci:

i

i

i

e

a

x

a

y

+

+

=

0

)

(

1

)

(

δ

λ


gdzie zapis Y

(λ)

oraz X

(δ)

oznacza transformację Boxa-Coxa. Dokonano następnie za pomocą

testu ilorazu wiarygodności weryfikacji dwóch hipotez:
H

0

: λ = 0 oraz H

0

: δ = 1 przy obustronnych hipotezach alternatywnych. Statystyka testowa

przyjęła wartość.

Posługując się tymi samymi danymi wykonano również test Chowa dla modelu:

0

1

ˆ

b

x

b

y

i

i

+

=


obliczając m. in. sumy kwadratów reszt RRSS i URRS. Którą (które) parę (pary) wartości
można uznać za najbardziej prawdopodobne: a/ 190 i 175, b/ 190 i 180, c/ 225 i 185.


12

*

. Oszacowano dwa liniowe modele regresji z dwiema zmiennymi objaśniającymi (X

1

i X

2

)

za pomocą klasycznej MNK, uzyskując następujące informacje o wartościach zmiennej i
resztach:

background image

24

Pierwsza estymacja:

X

1

1

1,2

1,6

2

2,1

2,2

2,3

2,9

3,1

ε

-0,1 -0,2 0,1

-0,2 -0,1 0,2

0,3

0,1

-0,1


Druga estymacja:

X

1

3,1

3,5

3,7

3,8

4

4,6

4,6

4,8

ε

0,3

-0,2 -0,2 0,3

-0,1 -0.1 0,2

-0,2

śaden z zastosowanych testów nie upoważnił do odrzucenia założenia o normalności reszt.

Czy na tej podstawie można wysnuć wniosek o homoskedastyczności reszt modelu
oszacowanego na podstawie całej próby (obejmującej 17 obserwacji)? Czy wniosek ten
zmieniłby się gdyby X

1

była jedyną zmienną objaśniającą?




ZADANIE DOMOWE

22

(nieobowiązkowe i, wbrew pozorom, trudne)


Należy uzasadnić „przykazania” dekalogu Kennedy’ego (patrz: str. 18), odwołując się do
literatury i/lub własnych doświadczeń. Można używać negatywnych przykładów („do czego
prowadzi łamanie danego przykazania”). Za każde przykazanie można otrzymać 1 punkt (w
wyjątkowych przypadkach więcej) zaś końcowa ocena to liczba uzyskanych punktów minus
5, w przypadku gdy ocena jest nieujemna lub zero w przeciwnym przypadku.
Rozwiązania należy złożyć w formie pisemnej podczas zajęć lub w Instytucie Statystyki i
Demografii (713F) do maja, godz. 15:00.



ZASADY ZALICZANIA ZAJĘĆ


Aktywność na ćwiczeniach będzie premiowana punktami (bez górnego limitu).

Do tej oceny będzie dodawana (ewentualna) ocena za zadanie domowe.

Dla osób, które chcą poprawić konto punktowe po zakończeniu zajęć przewidziane są dwa
sprawdziany (można pisać tylko w jednym terminie). Końcowa ocena będzie sumą
wszystkich uzyskanych punktów, z dwoma ograniczeniami: a/ punkty za prace domową będą
dodane pod warunkiem uzyskania co najmniej 2 pkt. za sprawdzian lub 4 pkt. za aktywność,
b/ osoby, które uzyskały dużo punktów za ćwiczenia i pracę domową

23

będą mogły

rozwiązywać tylko część zadań na sprawdzianie.

22

Zadanie należy wykonać samodzielnie. W przypadku stwierdzenia jego podobieństwa do innych rozwiązań (w

szczególności rozwiązań przedstawionych przez inne osoby, ale nie tylko) ocena za pracę domową zostanie
obniżona do zera.

23

Szczegóły będą podane później.

background image

25

ZADANIA Z OSTATNIEGO SPRAWDZIANU


1. Eksperci Instytutu im. Doktora Kevorikiana twierdzą, że jeden wypalany dziennie papieros
zwiększa tętno średnio o 0,55 uderzenia na minutę. Na podstawie wyników badania 850 osób
oszacowano model, w którym zmienną objaśnianą było tętno a objaśniającą liczba
wypalanych dziennie papierosów. Wartość oszacowania parametru przy zmiennej
objaśniającej wyniosła 0,45, zaś wariancja tego oszacowania 0,0012.

Czy można stwierdzić, że wyniki badania zaprzeczają przypuszczeniu ekspertów

Instytutu? Na pytanie należy odpowiedzieć bez posługiwania się testem t-Studenta (wszystkie
inne testy są dozwolone). (4 pkt.)

Odpowiedź:
Hipotezę mówiącą, że oszacowanie parametru regresji wynosi 0,55 można sprawdzić m. in.
za pomocą testu Walda. Jego statystyka testowa (wzór 3.2) przyjmuje wartość:

33

,

8

)'

55

,

0

45

,

0

(

0012

,

0

1

)

55

,

0

45

,

0

(

=


Ponieważ ma ona rozkład χ

2

z 1 stopniem swobody, to hipotezę zerową można odrzucić

praktycznie przy dowolnym poziomie istotności. Ergo, eksperci Instytutu nie mają racji.

2. Tzw. translogarytmiczna funkcja pośredniej użyteczności danego gospodarstwa domowego
ma postać:

LIO

i

m

k

k

S

j

i

n

i

n

i

n

j

ij

i

i

i

p

LIO

S

LIO

LIO

d

X

LIO

d

p

X

LIO

d

p

X

LIO

d

p

X

v

γ

β

α

=





+

+

=

∑∑

=

=

=

=

1

1

1

1

0

exp

)

,

(

:

gdzie

)

,

(

ln

)

,

(

ln

2

1

)

,

(

ln

)

,

(

ln

P

P

P

P

P


P = [p

1

, p

2

, ... p

n

] jest wektorem cen, X sumą wydatków konsumpcyjnych gospodarstwa, LIO

liczbą osób zaś n oznacza liczbę (grup) dóbr (w omawianym modelu wynosi ona 5). Na
parametry funkcji zostały narzucone warunki:

=

=

=

=

=

=

=

n

i

n

i

i

ij

i

1

1

n

1

i

;

0

n;

,

...

2,

1,

j

dla

0

;

1

γ

β

α

Wartości parametrów zostały oszacowane (za pomocą tzw. równości Roy’a) dwukrotnie: bez
narzuconych ograniczeń i z ograniczeniami. W pierwszym przypadku logarytm funkcji
wiarygodności wyniósł -1850. Jaką maksymalną wartość może przyjąć logarytm funkcji
wiarygodności przy estymacji modelu z narzuconymi warunkami dodatkowymi, aby można
było uznać, że nie są one spełniane „samorzutnie”.

(4 punkty).


Odpowiedź:
Odpowiedź na pytanie wymaga ustalenia przy jakiej wartości statystki w teście ilorazu
wiarygodno
ści odrzucimy hipotezę zerową. Ma ona rozkład χ

2

z liczbą stopni swobody

równą liczbie testowanych warunków czyli 7 (1 + 5 +1). Przyjmując poziom istotności 0,05
ustalamy wartość krytyczną statystyki testowej na 14,1. Musimy zatem rozwiązać nierówność
(por wzór 3.1)

background image

26

1

,

14

ln

2

>

U

R

L

L


Ponieważ ln L

U

=-1850, to ln L

R

>1857,05.


3. „Archimedes powiedział: dajcie mi punkt podparcia i dostatecznie długą dźwignię, a
podniosę Ziemię. Ekonomiści mają własną dźwignię Archimedesa: estymację metodą
zmiennych instrumentalnych” (Michael P. Murray, Journal of Economic Perspectives, nr 4,
2006).

Na czym polega podobieństwo między dźwignią Archimedesa i MZI?

(Wskazówka: nikomu nie udało się podnieść Ziemi metodą Archimedesa).
(1 pkt.)

Odpowiedź

Analogiczne ograniczenia w stosowaniu MZI to:
a/ nieuniknione skorelowanie instrumentów z resztami (skoro są skorelowane ze zmiennymi
instrumentowanymi), co odpowiada brakowi dostatecznie długiej dźwigni
b/ niemożność empirycznego sprawdzenia skorelowania zmiennych instrumentowanych z
resztami, co odpowiada brakowi punktu podparcia.

4. Proszę ocenić prawdziwość poniższych zdań, uzasadniając odpowiedź:
a/ Jeżeli statystyka testu Goldfelda-Quandta w modelu zależności pomiędzy zmienną
instrumentowaną a (potencjalnymi) instrumentami przekroczyła wartość krytyczną, to
stosowanie metody zmiennych instrumentalnych nie jest wskazane.
b/ Odrzucenie hipotezy zerowej w teście Chowa nie pozwala za stosować testu RESET dla
tych samych danych i tego samego modelu.
c/ Przy dużej próbie testem ilorazu wiarygodności można zastąpić test F (1.13, str. 6 w
skrypcie) lecz testem F nie zawsze można zastąpić test ilorazu wiarygodności.
d/ Usunięcie z modelu zmiennej objaśniającej skorelowanej z inną (pozostawioną) zmienną
objaśniającą może skutkować niezgodnością estymatorów parametrów strukturalnych.
(4 punkty)

Odpowiedzi:

a/ NIE. Przekroczenie wartości krytycznej w teści G-Q wskazuje na skorelowanie wariancji
reszt z którąś ze zmiennych objaśniających, co nie świadczy o skorelowaniu samych reszt.
b/ NIE. Testy te mogą być do pewnego stopnia stosowane zamiennie jako testy liniowości.
c/ TAK. Test ilorazu wiarygodności służy do testowania dowolnych hipotez o parametrach,
test F jedynie hipotezy mówiącej o ich zerowej wartości.
d/ TAK. Usunięta zmienna wchodzi w skład (nowych) reszt. Skoro pozostawiona jest z nią
skorelowana, to może być również skorelowana z resztami.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
metody statystyczne w chemii 8
metody statystyczne w chemii 5
Metody?dań statystycznych
METODY STATYSTYCZNE WYKORZYSTYWANE W PLANOWANIU I PRZEPROWADZANIU EKSPERYMENTU NAUKOWEGO
Metody statystyczne pomoce, statystyka
Statystyka matematyczna, 2.8 2.12, Metody Statystyczne
Metody statystyczne dla opornych cz 1
metody statystyczne w chemii 1
wyklad 8 Nieparametryczne metody statystyczne PL
chomik Wybrane modele ekologiczne oraz metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
EGZAMIN ZE STATYSTYKI 2008, Statystyka
metody statystyczne w chemii 3
Metody Statystyczne
Zastosowane metody statystyczne przykładowy wzorzec
Metody statystyczne cw1, Matematyka, Kombinatoryka, prawdopodobieństwo, statystyka, metody statystyc
Metody statystyczne 2010 poblem1, Matematyka, Kombinatoryka, prawdopodobieństwo, statystyka, metody

więcej podobnych podstron