Fizyka I

Egzamin zerowy (grupa A)

15 czerwca 2015 r.

1. Od jakich z poniższych wielkości zależy różnica długości fali światła rozproszonego i padającego

w przypadku efektu Comptona:

a) kąta pod jakim obserwuje się promieniowanie rozproszone,

b) długości fali promieniowania padającego,

c) częstości promieniowania padającego,

d) rodzaju substancji, na którym promieniowanie to jest rozpraszane.

W jaki sposób można je wyjaśnić wykorzystując pojęcie fotonu? Jakie wielkości trzeba przypisać
fotonowi związanemu z promieniowaniem, ażeby można było sformułować równania, których
rozwiązanie pozwala na wyznaczenie długości fali w sposób ilościowy? Jak te wielkości można
powiązać z częstotliwością fali?

2. Które z poniższych równań jest równaniem Schrödingera zależnym od czasu:

a) iℏ

𝜕𝛹

𝜕𝑡

=

[

−

ℏ

2

2𝑚

∆ + 𝑉

]

𝛹 ,

b) iℏ

𝜕

2

𝛹

𝜕𝑡

2

=

[

−

ℏ

2

2𝑚

∆ + 𝑉

]

𝛹 ,

c) iℏ

𝜕𝛹

𝜕𝑡

=

𝜕𝛹

𝜕𝑥

?

Sformułować w ogólnej postaci równanie Schrödingera niezależne od czasu. Wyjaśnić znaczenie
symboli pojawiających się w tym równaniu. Jak można to równanie powiązać z operatorem Ha-
miltona dla cząstek w mechanice kwantowej?

3. Na czym polega efekt tunelowy? Dlaczego nie można go opisać przy wykorzystaniu praw mecha-

niki klasycznej?
Czy współczynnik transmisji cząstki o energii 𝐸 przez barierę (ponad barierą) potencjału może
osiągnąć wartość 1, gdy energia cząstki 𝐸 < 𝑉

0

(𝐸 > 𝑉

0

)? Jaka relacja wiąże ze sobą współczynnik

transmisji i odbicia?

4. Dlaczego w niejednorodnym polu magnetycznym wiązka atomów srebra ulega rozszczepieniu na

dwie wiązki (wyjaśnić wynik uzyskany w doświadczeniu Sterna-Gerlacha)? W szczególności wy-
jaśnić, od czego zależy siła działająca na te atomy w tym polu oraz dlaczego otrzymujemy tylko
dwie wiązki. Określić, które z elektronów w atomach srebra odpowiadają za wystąpienie zjawi-
ska oraz dlaczego inne elektrony efektywnie nie mają wpływu na obserwowany efekt?

5. Zdefiniować komutator dwóch operatorów.

Dokonać obliczeń komutatora [ ̂𝒙, ̂𝒑

𝑥

], gdzie ̂

𝒙 – operator 𝑥-owej składowej wektora położenia cząstki,

̂

𝒑

𝑥

– operator 𝑥-owej składowej wektora pędu cząstki. Wskazówka: ̂

𝒑

𝑥

= −iℏ

𝜕

𝜕𝑥

.

Podać (nie jest wymagane dokonanie dokładnych obliczeń), czemu równe są następujące komu-
tatory: [ ̂𝒙, ̂𝒑

𝑦

], [ ̂

𝑳

𝑧

, ̂

𝑳

2

], gdzie: ̂

𝒙 – operator 𝑥-owej składowej wektora położenia cząstki, ̂

𝒑

𝑦

– ope-

rator 𝑦-owej składowej wektora pędu cząstki, ̂

𝑳

𝑧

– operator 𝑧-owej składowej wektora momentu

pędu cząstki, ̂

𝑳

2

– operator kwadratu momentu pędu cząstki.

Fizyka I

Egzamin zerowy (grupa B)

15 czerwca 2015 r.

1. Na czym polega zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne? Jakich własności zjawiska fotoelektrycz-

nego zewnętrznego nie można wyjaśnić przy pomocy falowego opisu promieniowania elektroma-
gnetycznego? Sformułować równanie opisujące to zjawisko, w którym występuje praca wyjścia
𝑊

0

.

2. Dlaczego w przypadku opisu cząstki swobodnej o masie 𝑚 i energii 𝐸 przy pomocy funkcji falowej

opisanej równaniem:

𝛹 (𝑥, 𝑡) = 𝐴e

i(𝑘𝑥−𝜔𝑡)

,

gdzie 𝜔 =

𝐸

ℏ

, 𝑘 =

√2𝑚𝐸

ℏ

nie posiadamy żadnej informacji o położeniu cząstki? Problem wyjaśnić w oparciu o zasadę nie-
oznaczoności Heisenberga. Jaki jest pęd tej cząstki? Czy dla cząstki opisanej przez paczkę falową
można określić jednocześnie z dowolną dokładnością jej położenie i pęd?
Czy dla cząstki opisanej przez paczkę falową można określić jednocześnie z dowolną dokładnością
jej położenie i pęd?
Czy cząstka znajdująca się w obszarze studni potencjału o skończonej szerokości oraz oscylator
harmoniczny mogą mieć energie równą zeru? Odpowiedź uzasadnić w oparciu o zasadę nieozna-
czoności.

3. Na czym polega kwantowanie przestrzenne momentu pędu?

4. Określić na czym polega zjawisko ekranowania potencjału pochodzącego od jądra w atomach wie-

loelektronowych. Jak modyfikuje ono energie dozwolonych poziomów energetycznych w atomie
wieloelektronowym w porównaniu do sytuacji występującej w atomie jednoelektronowym? Czy
(i ewentualnie jak) energia elektronów w atomach wieloelektronowych zależy od orbitalnej liczby
kwantowej 𝑙? Czy energia elektronów zajmujących powłoki o wyższej liczbie kwantowej 𝑛 jest za-
wsze wyższa od energii atomów zajmujących powłoki o niższej liczbie 𝑛?

5. Cząsteczka o masie 𝑚 i energii 𝐸 (przy czym 0 < 𝐸 < 𝑉

0

) znajdująca się w stanie własnym opera-

tora Hamiltona porusza się w obszarze skończonej jednowymiarowej bariery potencjału opisanej
równaniem:

𝑉 (𝑥) =

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

𝑉

0

dla 𝑥 < 0,

0

dla 0 < 𝑥 < 𝐿,

𝑉

0

dla 𝑥 > 𝐿.

Które z poniższych funkcji:

a) 𝛹 (𝑥) = 𝐴e

−𝜘𝑥

,

b) 𝛹 (𝑥) = 𝐵e

𝜘𝑥

,

c) 𝛹 (𝑥) = 𝐶e

−𝜘𝑥

+ 𝐷e

𝜘𝑥

,

d) 𝛹 (𝑥) = 𝐹 sin(𝑘𝑥),

e) 𝛹 (𝑥) = 𝐺e

𝑘𝑥

+ 𝐻e

−𝑘𝑥

,

f) 𝛹 (𝑥) = 𝐽 sin(𝑘𝑥 + 𝛿).

gdzie 𝜘 =

√2𝑚(𝑉

0

− 𝐸)

ℏ

, 𝑘 =

√2𝑚𝐸

ℏ

, mogą opisywać funkcję falową tej cząstki w obszarze:

• 𝑥 < 0 (na lewo od studni potencjału),

• 0 < 𝑥 < 𝐿 (wewnątrz studni potencjału),

• 𝑥 > 𝐿 (na prawo od studni potencjału).

Zapisać warunki brzegowe wiążące ze sobą stałe występujące w wybranych funkcjach, które trzeba
na nie nałożyć, aby funkcja falowa złożona z funkcji składowych mogła rzeczywiście opisywać
rozważaną cząsteczkę.