Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
(
) (
) (
) (
)
=
=
<
<
=
+
=
≥
≥
=
5
3
3
,
5
5
3
3
,
5
1
1
1
1
T
X
P
X
T
Y
E
T
X
P
X
T
Y
E
(
) (
)
gdzie
x
y
Y
X
X
P
T
X
P
,
5
5
3
5
3
1
−
=
=
=
+
≥
=
=
≥
=
)
(5;
Y
X
nzl;
i
)
;
4
(
),
(
θ
θ
Y
θ
wykl
X
Γ
≅
+
Γ
≅
≅
θ
x
θ
x
θ
e
θ
dx
e
x
θ
e
θ
5
4
5
5
3
)
5
(
3
4
5
24
)
5
(
6
−
−
−
−
∫
−
=
5
5
3
2
5
θ
e
t
x
LICZ
θ
−
→=
=
−
=
0256
,
0
5
16
5
24
3
2
5
24
3
2
4
4
5
4
5
5
5
=
=
=
=
−
−
θ
θ
e
θ
θ
e
ODP
Zadanie 2
Jeżeli
0
H prawdziwa to liczba ustawień xyxxyyy takie samo prawdopodobieństwo
Trzeba policzyć prawdopodobieństwo, że suma pozycji >13
765,764,763,762,761,754,753,752,743,654,653 czyli wszystkich możliwości 11
35
11
6
7
56
11
!
3
!
4
!
7
11
3
7
11
=
⋅
=
=
=
ODP
Zadanie 3
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
2
2
2
2
b
abEX
bEN
EX
a
XN
aE
EN
b
abX
bN
X
a
aXN
N
E
+
+
−
+
−
=
+
+
−
+
−
2
2
)
(
0
2
2
)
(
2
EX
bEX
XN
E
a
bEX
aEX
XN
E
a
−
=
→
=
+
+
−
=
∂
∂
0
2
2
2
=
+
+
−
=
∂
∂
b
aEX
EN
b
2
2
2
)
(
)
(
EX
EX
XN
EXE
EX
EN
b
−
−
⋅
=
to min
( )
4
1
=
=
=
λ
E
λ
N
EE
EN
wiadomo, że
≅
9
1
;
2
.DWUM
UJ
N
(
)
( )
12
1
3
1
9
8
9
1
2
,
=
=
=
=
=
θ
ENE
θ
N
EE
θ
N
X
EEE
EX
(
) (
)
=
+
−
=
+
−
=
=
2
2
2
2
2
32
11
)
1
(
4
1
)
1
(
,
θ
E
θ
θ
E
θ
N
θ
θ
N
EE
θ
N
X
EEE
EX
192
19
3
1
4
1
6
1
32
3
4
1
4
1
32
11
2
=
+
=
+
−
=
θ
E
θ
E
(
)
( )
(
)
(
)
→
=
=
=
=
=
96
11
3
1
)
(
)
(
2
N
E
θ
N
NE
E
N
X
NE
E
N
XN
EE
XN
E
53
54
192
19
12
1
212
35
96
11
,
212
35
144
1
192
19
96
11
12
1
192
19
4
1
=
−
=
=
−
−
=
→
a
b
Zadanie 4
(
)
(
)
∫
∫
≅
=
=
<
<
−
=
<
−
−
t
t
w
θ
x
θ
θ
wykl
e
θ
xe
θ
t
X
t
P
t
X
P
0
0
2
)
(
2
2
∑
Γ
≅
)
;
20
(
2
θ
X
i
∫
∫
∞
∞
≅
−
−
=
→
=
→
=
=
=
=
=
θ
t
θ
t
χ
w
w
θ
t
θ
t
e
w
dw
θ
e
θ
w
θ
θ
x
w
θ
w
x
K
P
2
2
)
40
(
2
19
20
2
19
19
19
20
2
8
,
55
8
,
55
2
2
1
!
19
1
2
1
2
!
19
2
2
)
(
2
4
4 8
4
4 7
6
przy
1
1
1
0
:
2
0
=
→
=
=
=
θ
θ
EX
EX
H
czyli:
8793
,
27
2
8
,
55
≈
=
t
Zadanie 5
∑
−
Π
=
i
x
θ
i
n
e
x
θ
L
2
∑
∑
−
+
=
i
i
x
θ
x
θ
n
L
ln
ln
2
ln
∑
∑
=
→
=
−
=
∂
∂
i
i
X
n
θ
X
θ
n
θ
2
ˆ
0
2
)
;
2
( θ
X
Γ
≅
∑
≅
Γ
≅
=
<
i
X
n
t
θ
X
P
)
1
;
2
(
...
)
(
po przekształceniach:
)
1
,
0
(
dla
2
1
95
,
0
1
;
2
1
05
,
1
1
N
X
n
n
≅
−
−
...
ˆ
..
ˆ
2
=
=
θ
E
θ
E
sprawdzamy: dla n=400 wychodzi około 0,84
n=800 około 0,95 czyli odpowiedź (B) jest prawidłowa bo dalej rośnie
Zadanie 6
Zadanie z liczby ciągów binarnych
n=10
m=6
+
=
Ω
n
m
n
(
)
reszek)
6
orlow,
10
(
reszek
6
orlow,
10
serii
7
P
P
ODP
∧
=
16
16
2
1
10
16
,
2
3
5
2
1
10
2
1
6
3
1
10
=
−
+
−
−
=
MIAN
LICZ
1001
150
2002
300
4004
600
8008
1200
8008
360
840
!
6
!
10
!
16
2
!
3
!
5
!
7
2
!
9
!
3
2
!
5
!
6
!
3
!
9
=
=
=
=
+
=
⋅
+
⋅
=
ODP
Zadanie 7
(
)
(
) (
)
∫
−
−
=
=
+
=
+
=
−
<
=
<
+
=
<
+
1
0
5
1
)
1
(
4
1
1
)
1
ln(
t
e
t
t
w
x
x
e
X
P
e
X
P
t
X
P
∫
Γ
≅
≅
−
=
−
=
=
−
−
t
t
e
t
e
wykl
e
w
w
1
4
1
4
5
)
4
,
1
(
)
4
(
1
1
4
)
4
,
1
(
,
;
Γ
≅
+
=
Y
X
Y
X
X
U
Z tego U ma rozkład Beta(1,1) czyli J(0,1)
Zadanie 8
i
i
i
i
i
Y
Z
X
Z
W
−
=
0
=
−
=
pm
pm
EW
i
(
)
(
)
[
]
=
−
−
+
=
+
−
=
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
var
m
σ
p
m
σ
p
Y
Y
X
X
E
EZ
EW
W
i
i
i
i
i
i
i
)
1
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
p
σ
p
pm
σ
p
pm
σ
p
−
=
−
−
+
=
X
N
W
n
W
i
i
=
→
)
1
,
0
(
var
(
)
(
)
)
1
(
2
;
0
var
;
0
var
2
p
σ
p
N
W
N
W
X
n
W
i
i
i
−
=
→
→
Zadanie 9
(
)
(
)
10
1
5
2
4
1
4
1
)
(
=
=
∩
→
=
∩
B
A
P
B
P
B
A
P
(
)
(
)
20
1
10
1
2
1
2
1
=
=
∩
=
∩
∩
B
A
P
C
B
A
P
(
)
(
)
(
)
[
]
40
3
10
1
10
2
4
1
5
2
4
1
5
2
5
3
4
1
)
(
4
1
)
(
4
1
=
+
=
+
−
=
∩
+
−
∪
=
=
∩
B
A
P
B
P
B
A
P
A
P
C
A
P
3
2
3
40
20
1
40
3
20
1
=
=
=
ODP
Zadanie 10
)...
;
(
2
1
1
θ
θ
x
θ
L
n
−
=
θ
x
θ
x
−
≥
≤
min
max
,
Z tego:
{ }
i
X
θ
max
ˆ
=
)
;
0
( θ
t
∈
(
)
(
)
∫
−
≅
=
=
<
<
−
=
<
t
t
θ
J
θ
t
θ
t
X
t
P
t
X
P
)
;
0
(
2
1
(
)
)
;
0
(
,
)
(max
6
6
θ
t
θ
t
t
X
P
t
P
∈
=
<
=
<
(
) (
) ( )
( )
9844
,
0
2
1
1
ˆ
2
ˆ
ˆ
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
6
0
≈
−
=
>
−
>
=
<
−
<
=
<
<
=
=
4
8
47
6
θ
θ
P
θ
θ
P
θ
θ
P
θ
θ
P
θ
θ
θ
P
ODP
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2006.03.20 prawdopodobie stwo i statystyka
2001 03 24 prawdopodobie stwo i statystykaid 21605
2008 03 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 26449
2011.06.20 prawdopodobie stwo i statystyka
2006.10.09 prawdopodobie stwo i statystyka
2006 06 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 25461
2008.03.17 prawdopodobie stwo i statystyka
2001.03.24 prawdopodobie stwo i statystyka
2006.06.05 prawdopodobie stwo i statystyka
1999.03.27 prawdopodobie stwo i statystyka
2011 06 20 prawdopodobie stwo i statystykaid 27374
1999 03 27 prawdopodobie stwo i statystykaid 18592
2001 03 24 prawdopodobie stwo i statystykaid 21605
2006 10 09 prawdopodobie stwo i statystyka
więcej podobnych podstron