ANALIZA MATEMATYCZNA, Informatyka i Ekonometria rok I
Lista 13
Całki wielokrotne
1. Obliczyć całki iterowane
(a)
1
R
0
dx
1
R
0
x
2
dy
1+y
2
,
(b)
1
R
0
dx
2x
R
x
(x − y + 1)dy,
(c)
1
R
0
dx
√
x
R
0
dy
2−2x
R
1−x
ydz,
(d)
2
R
0
dy
2
R
√
2y−y
2
dx
3
R
0
xz
2
dz
2. Zmienić kolejność całkowania
(a)
2
R
−2
dy
4
R
y
2
f (x, y)dx,
(b)
0
R
−1
dx
√
1−x
2
R
x+1
f (x, y)dy,
(c)
2
R
−6
dy
2−y
R
y2
4
−1
f (x, y)dx
(d)
1
R
0
dx
x
R
0
f (x, y)dy +
2
R
1
dx
2−x
R
0
f (x, y)dy
3. Obliczyć całki podwójne:
(a)
RR
D
xy
2
dxdy,
D = [0, 1] × [−1, 1]
(b)
RR
D
x sin xy dxdy,
D = [0, 1] × [π, 2π]
(c)
RR
D
(x
2
+ xy + 2y
2
)dxdy,
gdzie D jest trójkątem ograniczonym osiami współrzędnych i prostą
x + y = 1
(d)
RR
D
x
2
(y − x)dxdy,
D jest obszarem ograniczonym krzywymi x = y
2
i y = x
2
(e)
RR
D
e
−(x
2
+y
2
)
dxdy,
D : x
2
+ y
2
¬ 2
(f)
RR
D
xy dxdy,
D : x 0, 1 ¬ x
2
+ y
2
¬ 2
(g)
RR
D
(x
2
+ y
2
)dxdy,
D : x
2
+ y
2
− 2y ¬ 0
4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
(a) y = x
2
− x, y = x,
(b) x
2
+ y
2
− 2y = 0, x
2
+ y
2
− 4y = 0
5. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
(a) x
2
+ y
2
− 2y = 0, z = x
2
+ y
2
, z = 0
(b) z = 4 − x
2
− y
2
, 2z = 2 + x
2
+ y
2
6. Obliczyć całki potrójne:
(a)
RRR
V
xz sin xy dxdydz,
gdzie V =
h
1
6
,
1
2
i
× [0, π] × [0, 1]
(b)
RRR
V
dxdydz
1−x−y
,
gdzie obszar V jest ograniczony płaszczyznami x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0
(c)
RRR
V
(4 + z)dxdydz,
gdzie obszar V jest ograniczony powierzchniami z = 0, z = 2, y = 1, y = x
2
(d)
RRR
V
(x
2
+ y
2
) dxdydz,
gdzie V :
√
x
2
+ y
2
¬ z ¬ 1
(e)
RRR
V
x
2
dxdydz,
gdzie V : 0 ¬ z ¬ 9 − x
2
− y
2
(f)
RRR
V
(x
2
+ y
2
+ z
2
) dxdydz,
gdzie V : −
√
4 − x
2
− y
2
¬ z ¬ 0
7. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
(a) z = 2 − x
2
− y
2
, z = 0
(b) x
2
+ y
2
+ z
2
= 2z, z
2
= x
2
+ y
2
1
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
AM13
więcej podobnych podstron