 | Pobierz cały dokument lista1 LiczbyZesp.pdf Rozmiar 70,4 KB |
Zadania
domo
w
e
do
wykªadu
Algebra
B
Seria
1,
16.10.2008
1.
P
ok
aza¢,
»e:
(a)
Zbiór
li zb
p
osta i:
a + b
√
2
,
gdzie
a, b
s¡
li zbami
wymiern
ymi,
jest
iaªem
li zb
o
wym.
Ozna zam
y
je
Q(
√
2)
;
jest
ono
rozszerzeniem
iaªa
li zb
wymier-
n
y
h.
(b)
Zbiór
li zb
p
osta i:
a + b
3
√
2
,
gdzie
a, b
s¡
li zbami
wymiern
ymi,
nie
jest
iaªem
li zb
o
wym.
( )
Natomiast
zbiór
li zb
p
osta i:
a + b
3
√
2 + c
3
√
4
,
gdzie
a, b, c
s¡
li zbami
wymier-
n
ymi,
jest
ju»
iaªem
li zb
o
wym.
(d)
Zbiór
li zb
p
osta i:
(a + bi) + (c + di)
√
5
,
gdzie
a, b, c, d ∈ Q
,
jest
iaªem
li zb
o
wym.
2.
Przedsta
wi¢
w
p
osta i
a + bi
p
o
dane
li zb
y
zesp
olone:
a)
(2 + i)(3 − i) + (2 + 3i)(3 + 4i);
b)
(1 − i)
3
;
)
(1 + i)
5
;
d)
(−
1
2
±
√
3
2
i)
3
;
e)
(3 + i)
3
+ (3 − i)
3
;
f
)
i
98
;
g)
i
77
;
h)
i
−57
;
i)
(5+i)(7−6i)
3+i
;
j)
(1+i)
n
+2
(1−i)
n
, n ∈ N
k)
(1 + i)
8n
, n ∈ Z;
l)
(1 − i)
4n
, n ∈ Z; ;
3.
Rozwi¡za¢
ró
wnania:
a)
z
2
= i;
b)
z
2
= 3 − 4i;
)
z
2
= 5 − 12i;
d)
z
2
− (1 + i)z + 6 + 3i = 0;
e)
z
2
− 5z + 4 + 10i = 0
4.
W
yzna zy¢
wszystkie
li zb
y
zesp
olone
sprz»one
do
sw
o
jego
kw
adratu
( zyli
sp
eª-
nia
j¡ e
ró
wnanie
¯
z = z
2
).
W
yzna zy¢
wszystkie
li zb
y
zesp
olone
sprz»one
do
sw
o
jego
sze± ian
u
( zyli
sp
eª-
nia
j¡ e
ró
wnanie
¯
z = z
3
).
5.
Obli zy¢
mo
duªy
li zb:
a)
√
3 − i;
b)
1+λi
1−λi
, λ ∈ R;
)
(1 + i)
99
;
d)
(−
1
2
±
√
3
2
i)
2008
6.
Rozwi¡za¢
ró
wnania:
a)
z¯
z + (z − ¯z) = 3 + 2i;
b)
i(z + ¯
z) + i(z − ¯z) = 2i − 3. ;
7.
Rozwi¡za¢
ró
wnanie:
(a)
z
6
= (¯
z + 1)
6
;
(b)
1 − ¯z
1 + z
2003
= 1
;
( )
(z + i)
n
+ (z − i)
n
= 0, n ∈ N
(d)
z
3
+ 4i|z| = 0
;
(e)
z
2
− 12¯z + 61 = 0
.
8.
Opisa¢
geometry znie
i
naryso
w
a¢
zbiór:
1
| Pobierz cały dokument lista1 LiczbyZesp.pdf Rozmiar 70,4 KB |