CAŁKI PODWÓJNE

Definicja

Podziałem prostokąta

 





d

y

c

b

x

a

y

x

R











,

:

,

nazywamy zbiór





n

R

R

R

P

,...,

,

2

1



złożony z prostokątów, które całkowicie go wypełniają i mają parami rozłączne wnętrza.

Definicja

Niech funkcja

f

będzie ograniczona na prostokącie

R

(o wymiarach

y

x







) oraz niech

P

będzie podziałem tego prostokąta, a



 

 







*

*

*
2

*
2

*

1

*

1

,

,...,

,

,

,

n

n

y

x

y

x

y

x





zbiorem punktów

pośrednich. Sumą całkową funkcji

f

odpowiadającą podziałowi

P

oraz punktom pośrednim



nazywamy liczbę





  

k

n

k

k

k

k

y

x

y

x

f









1

*

*

,

Definicja

Niech funkcja

f

będzie ograniczona na prostokącie

R

. Całkę podwójną z funkcji

f

po

prostokącie

R

definiujemy wzorem:

 

 





  

k

n

k

k

k

k

P

def

R

y

x

y

x

f

dxdy

y

x

f















1

*

*

0

,

lim

,



o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobów
podziału

P

prostokąta

R

, ani od sposobów wyboru punktów pośrednich



. Mówimy wtedy,

że funkcja

f

jest całkowalna na prostokącie

R

.

Twierdzenie (o liniowości całki)

Jeżeli funkcje

f

i

g

są całkowalne na prostokącie

R

, to:



   





 

 













R

R

R

dP

y

x

g

dP

y

x

f

dP

y

x

g

y

x

f

,

,

,

,



   





 

 













R

R

R

dP

y

x

g

dP

y

x

f

dP

y

x

g

y

x

f

,

,

,

,



 





 











R

R

dP

y

x

f

c

dP

y

x

f

c

,

,

, gdzie

c jest liczbą rzeczywistą

Twierdzenie (o addytywności całki względem obszaru całkowania)

Jeżeli funkcja

f

jest całkowalna na prostokącie

R

, to dla dowolnego podziału tego

prostokąta na prostokąty

1

R ,

2

R o rozłącznych wnętrzach zachodzi równość

 

 

 











2

1

,

,

,

R

R

R

y

x

f

dP

y

x

f

dP

y

x

f

Twierdzenie (o zamianie całki podwójnej na całki iterowane)

Jeżeli funkcja

f

jest ciągła na prostokącie

   

d

c

b

a

,

,



, to

 

   

 

 

dy

dx

y

x

f

dx

dy

y

x

f

dP

y

x

f

d

c

b

a

b

a

d

c

d

c

b

a

 

 

































,

,

,

,

,

Definicja

Niech

f

będzie funkcją określoną i ograniczoną na obszarze ograniczonym

2

R



D

oraz

niech

R

będzie dowolnym prostokątem zawierającym obszar

D

. Ponadto niech funkcja

*

f

będzie rozszerzeniem funkcji

f

na

R

określonym wzorem:

 

 

 

 













D

R

y

x

D

y

x

y

x

f

y

x

f

\

,

dla

0

,

dla

,

,

*

Całkę podwójną funkcji

f

po obszarze

D

definiujemy wzorem:

 

 







R

def

D

dP

y

x

f

dP

y

x

f

,

,

*

o ile całka po prawej stronie znaku równości istnieje. Mówimy wtedy, że funkcja f jest
całkowalna na obszarze

D

.

Definicja

Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym względem osi Ox , jeżeli można
zapisać go w postaci:

 

 

 





x

h

y

x

g

b

x

a

y

x

D











,

:

,

gdzie funkcje

g

i

h są ciągłe na

 

b

a,

oraz

   

x

h

x

g



dla każdego

 

b

a

x

,



.

Obszar domknięty

D

nazywamy obszarem normalnym względem osi

Oy

, jeżeli można

zapisać go w postaci:

 

 

 





y

q

x

y

p

d

y

c

y

x

D











,

:

,

gdzie funkcje p i q są ciągłe na

 

d

c,

oraz

   

y

q

y

p



dla każdego

 

d

c

y

,



.

Twierdzenie (całki iterowane po obszarach normalnych)

 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym

 

 

 





x

h

y

x

g

b

x

a

y

x

D











,

:

,

normalnym względem osi

Ox , to

 

 

 

 

dx

dy

y

x

f

dP

y

x

f

b

a

x

h

x

g

D

 



















,

,

 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym

 

 

 





y

q

x

y

p

d

y

c

y

x

D











,

:

,

normalnym względem osi

Oy

, to

 

 

 

 

dy

dx

y

x

f

dP

y

x

f

d

c

y

q

y

p

D

 



















,

,

Definicja

Sumę skończonej liczby obszarów normalnych (względem osi Ox lub

Oy

) o parami

rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie

Niech obszar regularny

D

będzie sumą obszarów normalnych

n

D

D

D

,...,

,

2

1

o parami

rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja

f

będzie całkowalna na tym obszarze. Wtedy

 

 

 

 

















n

D

D

D

D

dP

y

x

f

dP

y

x

f

dP

y

x

f

dP

y

x

f

,

...

,

,

,

2

1

Definicja

Niech



i

D

będą obszarami odpowiednio na płaszczyznach

Ouv i

Oxy

. Przekształceniem

obszaru



w obszar

D

nazywamy funkcję

D

T





:

określoną wzorem:

   

   





v

u

v

u

v

u

T

y

x

,

,

,

,

,









, gdzie

 





v

u,

Obrazem zbioru



przy przekształceniu

T

nazywamy zbiór

   

 

   

















v

u

v

u

y

v

u

x

y

x

T

def

,

,

,

,

,

:

,





Przekształcenie

T

nazywamy:

 ciągłym, jeżeli funkcje



i



są ciągłe na obszarze ,

 wzajemnie jednoznacznym, jeżeli różnym punktom obszaru



odpowiadają różne

punkty jego obrazu

D

Definicja

Jakobianem przekształcenia

 

   





v

u

v

u

v

u

T

,

,

,

,







nazywamy funkcję określoną wzorem:

 

 

 

 

 







































v

u

v

v

u

u

v

u

v

v

u

u

v

u

J

def

T

,

,

,

,

det

,









Twierdzenie (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)

Niech

 odwzorowanie

 

 











v

u

y

v

u

x

T

,

,

:





przekształca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru

regularnego



na wnętrze obszaru regularnego

D

,

 funkcje



,



mają ciągłe pochodne cząstkowe na pewnym zbiorze otwartym

zawierającym obszar



,

 funkcja

f

jest ciągła na obszarze

D

,

 jakobian

T

J

jest różny od zera wewnątrz obszaru



.

Wtedy

 

   



  

dudv

v

u

J

v

u

v

u

f

dxdy

y

x

f

T

D

,

,

,

,

,















Definicja

Położenie punktu

P

na płaszczyźnie można opisać parą liczb

 



,

r

, gdzie:



- oznacza miarę kąta między dodatnią częścią osi

Ox a promieniem wodzącym punktu

P

,





2

0





albo













r

- oznacza odległość punktu

P

od początku układu współrzędnych,







r

0

Parę liczb

 



,

r

nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu płaszczyzny.

Twierdzenie (współrzędne biegunowe w całce podwójnej)

Niech

 obszar



we współrzędnych biegunowych będzie obszarem regularnym

 funkcja

f

będzie ciągła na obszarze

D

, który jest obrazem obszaru



przy

przekształceniu biegunowym;

 





B

D

Wtedy

 











drd

r

r

r

f

dxdy

y

x

f

D











sin

,

cos

,

P

OLE OBSZARU

Pole obszaru regularnego

2

R



D

wyraża się wzorem:





D

dP

D

O

BJĘTOŚĆ BRYŁY

Objętość bryły V położonej nad obszarem regularnym

2

R



D

i ograniczonej z dołu i z góry

odpowiednio wykresami funkcji ciągłych

 

y

x

d

z

,



i

 

y

x

g

z

,



wyraża się wzorem:

   





dP

y

x

d

y

x

g

V

D







,

,

P

OLE PŁATA

Pole płata



, który jest wykresem funkcji

 

y

x

f

z

,



, gdzie

 

D

y

x



,

wyraża się wzorem:

dP

x

f

x

f

D











































2

2

1

Zakładamy, że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze
regularnym

D

Literatura

1. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 2. Definicje, twierdzenia, wzory
2. M. Gewert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania
3. W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, część II