Metody numeryczne - opracowanie

Wyznacznik macierzy trójkątnej = iloczyn elementów na przekątnej

Układ oznaczony – jedno rozwiązanie

Układ nieoznaczony – wiele rozwiązao

Układ sprzeczny – brak rozwiązao

Błąd wejściowy – niedokładne wartości wsp.

Błąd zaokrągleo – błąd podczas działao

Błąd metody – błąd wyboru metody (charakterystyczny dla danej metody)

Własności normy:

||x||>0

||λx||=||λ||||x||

||x+y||<=||x||+||y||

Normy w R

n

:

||x||

1

=Σ|x

n

|

||x||

2

=(Σx

n

2

)

0.5

||x||

inf

=max{ Σ|x

n

|}

||x||

inf

<=||x||

2

<=||x||

1

Normy wykorzystywane są do analizy błędów oraz określenia współczynnika uwarunkowania
macierzy cond(A)=||A||*||A

-1

||

Układy liniowe:

Dokładne metody rozwiązywania układów równao liniowych:

Metoda podstawiania

Przeciwnych współczynników

Wzory Cramera

Eliminacja Gaussa

Metody wykorz. Rozkład mac. A

Metody przybliżone:

Iteracji prostej

Gaussa-seidela

Nadrelaksacji

Czebyszewa

Richardsona

Iteracja prosta:

X

(k+1)

=W*X

k

+Z //W-glowne wartości w równaniu, Z po znaku =

Gaussa-Seidela:

X

(k+1)

=W

u

*X

k

+W

l

*X

(k+1)

+Z

- jeśli macierz jest dominująca przekątniowo to ciąg zbieżny do rozwiązania, jeśli nie to niekoniecznie
(obie powyższe metody).

Metody dokładne:

Skooczona liczba działao

Mało obliczeo

Dużo pamięci

Brak błędu metody, za to zaokrągleo

Eliminacja Gaussa:

Element podstawowy – element którym eliminujemy zmienną z innych równao (modyfikacja –
element ktej macierzy w katej kolumnie o największym module)

Rozkład LU – rozkład na macierz dolna i górą A=L*U rozkład LU jeśli minory główne są nieosobliwe

Metody przybliżone:

Ciąg rozwiązao zbieżny

Obliczenia przerywamy gdy któryś warunek

Dla dużych układów szybsze niż dokładne

Efektywne dla układów rzadkich

Stabilne – im więcej iteracji tym mniejsze błędy

Jeśli A jest dominująca przekątniowo to metodami iteracji prostej i Gaussa-seidela otrzymujemy ciąg
zbieżny, jeśli nie to niekoniecznie.

Równania nieliniowe:

Metody rozwiązywania:

Połowienia

Regula falsi

Siecznych

Stycznych

Iteracyjne

f(a)*f(b)<0 – to wiemy że jest rozwiązanie

zatrzymanie algorytmów:

f(x) < cos

x1-x2 < cos

liczba iteracji > cos

regula falsi:

lecimy do punktu stałego prostą i miejsce przecięcia z osia X sprawdzamy, jak==0 to ok. jak nie to
sprawdzamy f(x) i od tego nowa linia

siecznych:

na początku lecimy od f(a) do f(b) później od nowo wyznaczonych xow (nowe xy są z przecięcia z osią
X), pierwszy krok jak falsi

założenia do metod siecznych i regula falsi:

ma tylko 1 pierwiastek

f(a)f(b)<0

ciągła

f’ i f’’ mają stały znak na przedziale

metoda stycznych:

zaczynamy od f(b) i dajemy styczną, nowy punkt wyznaczany na podstawie przecięcia z osią X i znów
styczna

założenia do metody stycznych:

3 jak wcześniej

f’ !=0

f’’ stały znak

rozwiązanie istnieje:

jeśli f jest ciągła w prostokącie α x β to rozwiązanie jest x(t):

Jeśli f i iloraz różniczek są ciągłe to zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie (zamiast <= to <)

Jeśli:

|f(x,y1) – f(x,y2)| <=L|y1 – y2|

To zagadnienie =f(x,y) y(a)=α

Ma w przedziale jednoznaczne rozwiązanie.

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego: rozwiązanie zawierające n stałych, na które można dad
n warunków początkowych (metody analityczne).

Rozwiązanie szczególne: jeśli dla n stałych ustalimy ich wartości (metody analityczne, numeryczne i
eksperymentalne).

Wzór Taylora:

Metody Eulera

rzędu pierwszego

nie trzeba różniczkowad

małe h

Ψ(x,y)=f(x,y)=Δy/Δx

Metody Rungego-Kutty:

a,b,w – stałe

Metody wielokrokowe:

Całkujemy obie strony równania.

Metoda jawna (ekstrapolacyjna) jeśli b

0

=0, w przeciwnym wypadku niejawna

(uwikłana/interpolacyjna).

Obliczanie pochodnych:

Wzór dwupunktowy:

Wzór trójpunktowy (centralna):

Wzór pięciopunktowy: ***

Wzór trójpunktowy:

Całkowanie numeryczne:

h=b-a/n

Metoda prostokątów:

Metoda trapezów:

Metoda parabol (Simpsona):

Aproksymacja: ustalenie funkcji która najlepiej przybliża funkcję rzeczywistą.

Funkcja aproksymowana musi spełniad warunki, np:

||f(x)-F(x)||

Aproksymacja:

Punktowa (punkty)

Integralna (przedział)

Rodzaje aproksymacji:

Wielomianowa

Za pomocą szeregów

Wielomianów ortogonalnych

Trygonometryczna

Funkcji sklejanych

Funkcjami wymiernymi

c

k

=Σ(y*P)

s

k

=Σ(P^2)

b

k

=c

k

/s

k

ekstrapolacja – przybliżenie poza przedziałem (dla jednego punktu):

Interpolacja:

Funkcja wyznaczona, która przyjmuje określone wartości w węzłach (przechodzi przez podane punkty
x,y)

Funkcje interpolujące:

Wielomiany algebraiczne

Wielomiany trygonometryczne

Wielomiany ortogonalne

Funkcje sklejające

Macierz Vandermonde’a:

1

x0

x0^2

…

x0^n

1

x1

x1^2

…

x1^n

…

…

…

…

…

1

xn

xn^2

…

xn^n

V- macierz Vandermonde’a

A- Wektor współczynników

Y- wektor wartości funkcji

V*A=Y

Jeśli det(V)!=0 to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie

Iloraz różnicowy:

f[x0,x1]=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)

Dla funkcji sklejanej k-1 pochodna musi byd ciągła.

Naturalna funkcja sklejana: funkcja sklejana stopnia 2k-1 jeśli w przedziałach poza węzłami jest
dana wielomianem stopnia k-1.

Jeśli węzły są różnowartościowe to istnieje dokładnie jedna funkcja sklejana interpolująca.