Część 2

13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

1

13.



13. DRGANIA HARMONICZNE UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU

STOPNIACH SWOBODY

13.1. Drgania własne nietłumione

W analizie drgań rozpatrywać będziemy układy, w których masa rozłożona jest w sposób dyskretny.

Układ ciągły modelujemy w sposób określony jako granulacja (podział) masy całego układu do pewnej liczby
punktów masowych (rys. 13.1).

w

r

(t)

m

r

m

r+1

m

r-1

P

(t)

r-1

P(t)

r

P

(t)

r+1

Rys. 13.1. Układ o dyskretnym rozkładzie masy

Przemieszczenie układu (wychylenie od położenia równowagi) opisywać będziemy poprzez przemieszczenia
punktów masowych.

q

r

t =w

r

t 

(13.1)

Dominującą częścią w przypadku ugięć są przemieszczenia pionowe, dlatego też pominiemy w naszych
rozważaniach przesunięcia poziome (wzdłuż osi pręta). Jeżeli działają siły zmienne w czasie układ będzie
quasistatyczny. Siły

P

r

(

t) reprezentują dynamiczne oddziaływanie sił bezwładności oraz zewnętrzne obciążenia

dynamiczne.

Dowolne przemieszczenie, zgodnie z zasadą superpozycji skutków wynosi:

w

r

t=

∑

j

=1

R

P

j

t ⋅

rj

(13.2)

gdzie:

δ

rj

- przemieszczenie pionowe w punkcie

r wywołane siła jedynkową działającą w punkcie j,

P

j

(

t) - siła dynamiczna działająca w punkcie j.

Dla przypadku drgań własnych obciążenie dynamiczne ogranicza się do sił bezwładności:

P

j

t =−m

j

⋅¨w

j

t 

(13.3)

Można zatem zapisać, że przemieszczenie pierwszej masy jest równe:

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

2

w

1

t =−m

1

⋅¨w

1

t ⋅

11

−m

2

⋅¨w

2

t ⋅

12

−m

1

⋅¨w

1

t ⋅

13

−...−m

R

⋅¨w

R

t 

1 R

Wektor przemieszczeń wszystkich punktów możemy przedstawić w zapisie macierzowym:

{w}=−[ F ]⋅[M ]{ ¨w}

(13.4)

gdzie:

[

F] - macierz podatności,

[

M] - diagonalna macierz mas.

Wymiar macierzy zależy od stopnia swobody dynamicznej układu, czyli liczby niezależnych przemieszczeń
punktów masowych.

[

w

1

t

w

2

t

w

3

t 

...

]

=−1

[



11



12



13

...



21



22



23

...



31



32



33

...

...

...

...

...

]

⋅

[

m

1

0

0

...

0

m

2

0

...

0

0

m

3

...

...

...

...

...

]

⋅

[

¨w

1

t 

¨w

2

t 

¨w

3

t 

...

]

(13.5)

Układ równań różniczkowych (13.5) ma rozwiązanie ogólne postaci:

w

r

t=W

r

⋅e

−i t

gdzie

W

r

jest amplitudą przemieszczenia węzła

r.

A zatem przechodząc do rozwiązań rzeczywistych, po odrzuceniu części urojonej można zapisać:

w

r

t =W

r

⋅sin  t

(13.6)

Druga pochodna po czasie z funkcji przemieszczenia wynosi:

¨w

r

t =−

2

W

r

⋅sin t

(13.7)

Po przekształceniu równania macierzowego (13.4)

[ F ]⋅[M ]{ ¨w}{w}={0}

(13.8)

podstawieniu zależności (13.6) i (13.7) i podzieleniu równań obustronnie przez

sin

ωt otrzymujemy:

−

2

[ F ]⋅[M ]{W }{W }=

{

0

}

(13.9)

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

3

Ostatecznie po przekształceniach dochodzimy do układu równań:

{

[ F ]⋅[ M ]−

1



2

[ I ]

}

{W }=

{

0

}

(13.10)

gdzie {

W} - wektor amplitud przemieszczeń,

[

I] - macierz jedynkowa,

[ I ]=

[

1 0 0 ...
0 1 0 ...

0

0 1 ...

... ... ... ...

]

Układ równań jednorodnych (13.10) posiada rozwiązanie:

•

trywialne, gdy

W

r

=0,

•

nietrywialne, wtedy gdy wyznacznik układu jest równy zero:

det

∣

[ F ]⋅[ M ]−

1



2

[ I ]

∣

=0

(13.11)

Z warunku (13.11) otrzymujemy równanie charakterystyczne, nazywane też wiekowym. Przyrównywanie
wyznacznika układu równań do zera pozwala wyliczyć wartości

ω

r

, częstości kołowe drgań własnych.

Otrzymamy tyle wartości

ω

r

, ile wynosił rząd macierzy. Każdej częstości kołowej drgań własnych odpowiada

zestaw amplitud

W

r

. Z układu równań jednorodnych nie można określić wartości amplitud, można ustalić

tylko proporcje pomiędzy nimi.

Obliczenia rozpoczyna się od przedstawienia konstrukcji w formie modelu masowego, dla którego określić
trzeba niezależne przemieszczenia. Po obliczeniu współczynników

δ

ik

z równania (13.11) wyznaczamy

wszystkie częstości kołowe drgań własnych

ω.

Granulacja masy jest znakomitym sposobem, wykorzystującym podstawowe założenia i podejście metody sił,
czyli zasadę superpozycji, oraz współczynniki podatności

δ

ik

.

Algorytm obliczeń przybliżymy rozwiązując następujący przykład. Rozpatrzmy układ jak na poniższym
schemacie.

m

m

m

l

6

l

6

l

3

l

3

l

EJ=const

Rys. 13.2. Schemat belki wolnopodpartej o dyskretnym, symetrycznym rozkładzie masy

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

4

Taki układ ma trzy stopnie swobody dynamicznej, zatem posiada trzy częstości kołowe drgań własnych.
Każda z mas może przemieszczać się prostopadle do osi belki. Wartości tych przemieszczeń, zgodnie ze
wzorem (11.4) opisują zależności:

w

1

t =−m⋅¨w

1

t⋅

11

−m⋅¨w

2

t⋅

12

−m⋅¨w

3

t⋅

13

w

2

t=−m⋅¨w

1

t ⋅

21

−m⋅¨w

2

t⋅

22

−m⋅¨w

3

t ⋅

23

w

3

t =−m⋅¨w

1

t ⋅

31

−m⋅¨w

2

t ⋅

32

−m⋅¨w

3

t ⋅

33

Równania różniczkowe możemy wyliczyć przyjmując postać funkcji rozwiązującej

w

r

t =A

r

⋅sin  t

dla której druga pochodna po czasie wynosi:

¨w

r

t=−

2

A

r

⋅sin  t

Po podstawieniu i uproszczeniu (podzielenie przez

sin ωt) otrzymujemy równania

A

1

=m⋅

2

⋅

11

⋅A

1

m⋅

2

⋅

12

⋅A

2

m⋅

2

⋅

13

⋅A

3

A

2

=m⋅

2

⋅

21

⋅A

1

m⋅

2

⋅

22

⋅A

2

m⋅

2

⋅

23

⋅A

3

A

3

=m⋅

2

⋅

31

⋅A

1

m⋅

2

⋅

32

⋅A

2

m⋅

2

⋅

33

⋅A

3

które po uporządkowaniu tworzą układ równań jednorodnych:



m

⋅

2

⋅

11

−1



⋅A

1

m⋅

2

⋅

12

⋅A

2

m⋅

2

⋅

13

⋅A

3

=0

m

⋅

2

⋅

21

⋅A

1





m

⋅

2

⋅

22

−1



⋅A

2

m⋅

2

⋅

23

⋅A

3

=0

m

⋅

2

⋅

31

⋅A

1

m⋅

2

⋅

32

⋅A

2





m

⋅

2

⋅

33

−1



⋅A

3

=0

(13.12)

Aby obliczyć współczynniki macierzy podatności

δ

ik

, narysujmy wykresy momentów w stanach jedynkowych:

M

1

l

6

l

6

l

3

l

3

5

l

36

l

36

l

12

P

1

=1

Rys. 13.3. Stan P

1

= 1

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

5

l

6

l

6

l

3

l

3

l

4

l

12

l

12

P

2

=1

M

2

Rys. 13.4. Stan P

2

= 1

l

6

l

6

l

3

l

3

5

l

36

l

36

P

3

=1

l

12

M

3

Rys. 13.5. Stan P

3

= 1

Współczynniki

δ

ik

wyznaczamy mnożąc odpowiednie wykresy (rys. 13.3, 13.4, 13.5)

EJ



11

=EJ 

33

=

1
2

⋅

l

6

⋅

5 l

36

⋅

2
3

⋅

5 l

36



1
2

⋅

5 l

6

⋅

5 l

36

⋅

2
3

⋅

5 l

36

=

150

⋅l

3

23328

=

25

⋅l

3

3888

EJ



22

=2 ⋅

1
2

⋅

l

2

⋅

l

4

⋅

2
3

⋅

l

4

=

l

3

48

=

81

⋅l

3

3888

EJ



12

=EJ 

21

=EJ 

23

=EJ 

32

=

1
2

⋅

l

6

⋅

5 l

36

⋅

2
3

⋅

l

12



1
2

⋅

l

3

⋅

5 l

36



2
3

⋅

l

12



1
3

⋅

l

4





1
2

⋅

l

3

⋅

l

12



2
3

⋅

l

4



1
3

⋅

l

12







1
2

⋅

l

2

⋅

l

12

⋅

2
3

⋅

l

4

=



5

7776



25

7776



21

7776



27

7776



⋅l

3

=

39

⋅l

3

3888

EJ



13

=EJ 

31

=2 ⋅

1
2

⋅

l

6

⋅

5 l

36

⋅

2
3

⋅

l

36



1
2

⋅

2 l

3

⋅

5 l

36



2
3

⋅

l

36



1
3

⋅

5 l

36





1
2

⋅

2 l

3

⋅

l

36



2
3

⋅

5 l

36



1
3

⋅

l

36



=

=



10

23328



70

23328



22

23328



⋅l

3

=

17

⋅l

3

3888

Jeżeli podstawimy do równań (13.12) otrzymane wartości, a następnie pomnóżmy obie strony równania przez
3888

EJ i podzielimy prze ml

3

ω

2

uzyskamy układ:

[



25

−



39

17

39



81

−



39

17

39



25

−



]

⋅

[

A

1

A

2

A

3

]

=

{

0

}

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

6

gdzie =

3888

⋅EJ



2

⋅ml

3

Jest to układ równań jednorodnych, który posiada rozwiązanie, wtedy gdy:

det

∣



25

−



39

17

39



81

−



39

17

39



25

−



∣

=0

Z tego warunku otrzymujemy trzy wartości współczynnika

λ,



1

=120



2

=8



1

=3

na podstawie których możemy wyliczyć wartości częstości kołowych drgań własnych ω

1

, ω

2

, ω

3

.



r

=



3888

⋅EJ



r

⋅ml

3

Każdej częstości kołowej drgań własnych

ω

r

przyporządkowane są odpowiednie wychylenia (amplitudy

przemieszczeń) A

1

r

, A

2

r

, A

3

r

. Nie są one określone konkretnymi liczbami, są jedynie powiązane pewnymi

zależnościami.

Amplitudy przemieszczeń dla każdej postaci drgań powinny spełniać zależność:



A

1

2

 A

2

2

A

3

2

=1

(13.13)

Aby wyznaczyć związki pomiędzy amplitudami należy rozwiązać układ równań:

25−

r

⋅A

1

r

39 ⋅A

2

r

17 ⋅A

3

r

=0

39

⋅A

1

r

81 −

r

⋅A

2

r

39 ⋅A

3

r

=0





A

1

r



2





A

2

r



2





A

3

r



2

=1

Wyniki obliczeń zaprezentujemy na rysunkach. Uporządkujmy wielkości częstości kołowych drgań własnych
w porządku rosnącym ω

1

< ω

2

< ω

3

i narysujmy wychylenia belki odpowiadające kolejnym częstościom.

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

7

•

dla

ω

1

l

6

l

6

l

3

l

3

A

1

(1)

A

2

(1)

A

3

(1)

=



6

6

=



6

6

=



6

3

Rys. 13.6. Pierwsza postać drgań własnych

•

dla

ω

2

l

6

l

6

l

3

l

3

A

1

(2)

A

2

(2)

=0

A

3

(2)

=



2

2

=−



2

2

Rys. 13.7. Druga postać drgań własnych

•

dla

ω

3

l

6

l

6

l

3

l

3

A

1

(3)

A

2

(3)

A

3

(3)

=

1



3

=

1



3

=−

1



3

Rys. 13.8. Trzecia postać drgań własnych

Postacie drgań są ortogonalne, wobec tego amplitudy postaci

i z amplitudami postaci k muszą spełniać

równość:

∑

j

A

j

i 

⋅A

j

k 

⋅m

j

=

ik

(13.14)

gdzie

δ

ik

to symbol Kroneckera:



ij

=

{

1 gdy i

=k

0 gdy i

≠k

(13.15)

Zbiór amplitud znormalizowanych (warunek 13.13), zestawionych w macierzy, której numery wierszy lub
kolumn odpowiadają numerom postaci drgań własnych nazywa się macierzą modalną.

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

8

13.2. Drgania wymuszone siłami harmonicznymi

Analizie poddamy układ o budowie identycznej jak na rys. 13.1 jednak tym razem oprócz sił

bezwładności wzbudzanych podczas ruchu układu działać będą siły zewnętrzne zmienne w czasie.

w

r

(t)

m

r

m

r+1

m

r-1

P

(t)

r-1

P(t)

r

P

(t)

r+1

Rys. 13.9. Układ o dyskretnym rozkładzie masy obciążony siłami wymuszającymi

P

r

t =−m

r

¨w

r

t P

r

⋅sin pt

(13.16)

gdzie:

P

r

(

t) - siła harmoniczna będąca wynikiem działania obciążenia zewnętrznego wymuszającego oraz

bezwładności masy działająca w węźle

r,

P

r

- znana amplituda siły wymuszającej,

p - częstość kołowa siły wymuszającej.

Należy pamiętać, że gdy wartość częstości kołowej wymuszenia

p jest bliska lub pokrywa się z częstością

kołową drgań własnych konstrukcji

ω, to wielkości amplitud A

r

wzrastają (nawet do nieskończoności w

układach bez tłumienia). Jeżeli konstrukcja obciążona jest siłami wymuszającymi to drgania, czyli także
przemieszczenia realizowane są z częstością wymuszenia

p:

w

r

t =A

r

⋅sin pt

(13.17)

Rozważania szczegółowe przeprowadzimy na przykładzie belki przedstawionej na rys 13.2. Skorzystamy z
wyników, które otrzymaliśmy przy analizie drgań własnych belki.

m

m

m

l

6

l

6

l

3

l

3

l

EJ=const

Q

2

Q

3

0

1

2

3

4

Rys. 13.10. Schemat belki wolnopodpartej obciążonej siłami wymuszającymi

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

9

W zadaniu przyjęto, że do poszczególnych mas przyłożone są następujące siły wymuszające:

Q

1

t =0

Q

2

t=Q sin pt

Q

3

t =2Q sin pt

Przemieszczenie dowolnego węzła zależy od wartości przyłożonych sił oraz współczynników podatności

δ

ik

:

w

r

t =

∑

j



rj

⋅P

j

t =

∑

j



rj



−m

j

¨w

j

t 





∑

k



rk

Q

k

t 

(13.18)

Dla przypadku drgań harmonicznych przyjmujemy funkcję rozwiązującą:

w

r

t =A

r

⋅sin pt

dla której druga pochodna po czasie wynosi:

¨w

r

t =− p

2

A

r

⋅sin pt

(13.19)

Wyrażenia na przemieszczenia rozpisujemy dla wszystkich punktów, w których przyłożone są masy. Po
wprowadzeniu podstawienia (funkcja rozwiązująca) lewą i prawą stronę równania dzielimy przez

sin pt

eliminując z układu równań czynnik zawierający funkcję czasu. Otrzymujemy układ równań

{

− p

2

[ F ]⋅[M ]{I }

}

{W }=Q

{

[ F

2

][ F

3

]

}

(13.20)

gdzie:

[ F

2

]=

[



12



22



32

]

[ F

3

]=

[

2



13

2



23

2



33

]

Po przekształceniach

[





11

−

1

mp

2





12



13



21





22

−

1

mp

2





23



31



32





33

−

1

mp

2



]

⋅

[

A

1

A

2

A

3

]

=−

Q

mp

2

⋅

[



12

2



13



22

2



23



32

2



33

]

(13.21)

podstawiamy wartości liczbowe

δ

ik.

Dla uproszczenia zapisu wprowadzamy symbol 

2

=

3888

p

2

⋅

EJ

ml

3

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

10

[



25

−

2



39

17

39



81

−

2



39

17

39



25

−

2



]

⋅

[

A

1

A

2

A

3

]

=−

Q

mp

2

⋅

[

73

159

89

]

Po przyjęciu wartości

EJ, l, m, p otrzymano λ

2

= 100

Z układu równań niejednorodnych

[



25

−100



39

17

39



81

−100



39

17

39



25

−100



]

⋅

[

A

1

A

2

A

3

]

=−

Q

mp

2

⋅

[

73

159

89

]

obliczono amplitudy

A

1

=−4,076647 ⋅C

A

2

=−8,010309 ⋅C

A

3

=−3,902734 ⋅C

gdzie:

C

=

Q

mp

2

(13.22)

Aby przeprowadzić analizę dynamiczną konstrukcji należy przeprowadzić obliczenia dla konkretnych

wartości liczbowych, porównać częstości

ω z p i zbadać wartości amplitud. Konstrukcja jest zagrożona, jeżeli

amplitudy drgań przekraczają wartości dopuszczalne. Gdy częstość wymuszenia jest zbliżona do częstości
drgań własnych zachodzi zjawisko rezonansu.

Przy projektowaniu konstrukcji należy ją obciążyć siłami bezwładności i siłami wymuszającymi. Dla

celów porównawczych do obliczeń przyjmiemy wartości amplitudy siły wymuszającej

Q = 5 kN = 5000 N,

oraz długość belki

l = 9 m

Narysujmy wykresy momentów zginających dla danej belki obciążonej siłami dynamicznymi (siły

wymuszające i siły bezwładności) oraz dla tego samego schematu obciążonego statycznie wyłącznie siłami
wymuszającymi (rys. 13.14).

m

m

m

l

6

l

6

l

3

l

3

Q(t)

2Q(t)

0

1

2

3

4

B

1

(t)

B

2

(t)

B

3

(t)

Rys. 13.11. Schemat belki wolnopodpartej o dyskretnym rozkładzie mas, obciążonej siłami dynamicznymi

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

11

Dla pierwszego przypadku obciążenia (rys. 13.11) potrzebna jest wartość sił bezwładności

B

i

t =m

i

p

2

A

i

sinpt

(13.23)

amplituda tej siły wynosi:

B

i

=m

i

p

2

A

i

(13.24)

Wcześniej wyliczone wartości amplitud przemieszczeń zapiszmy w postaci iloczynu:

A

i

=

i

⋅C=

i

⋅

Q

m

i

p

2

(13.25)

Po podstawieniu zależności (13.25) otrzymujemy siły bezwładności wyrażone przez obciążenie

Q:

B

i

=m

i

p

2

⋅

i

⋅

Q

m

i

p

2

=

i

⋅Q

(13.26)

Wyliczonymi w ten sposób wartościami obciążamy belkę (rys. 13.12)

m

m

m

l

6

l

6

l

3

l

3

Q

2Q

0

1

2

3

4

B

1

=4,076647Q

B

2

=8,010309Q

B

3

=3,902734Q

Rys. 13.12. Schemat belki wolnopodpartej obciążonej siłami bezwładności i siłami wymuszającymi

I tworzymy wykres momentów od obciążeń dynamicznych (rys. 13.13)

m

m

m

0

1

2

3

4

20,3832 kN

35,0515 kN

9,5137 kN

43,2765

101,2885

54,1460

1,5

1,5

3,0

3,0

Rys. 13.13. Wykres momentów od obciążenia siłami bezwładności i siłami wymuszającymi

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

12

W drugim przypadku obciążenia (statyczne) do układu przykładamy tylko amplitudy sił wymuszających
(rys. 13.14) i wyznaczamy momenty zginające (rys. 13.15).

m

m

m

l

6

l

6

l

3

l

3

Q

2Q

0

1

2

3

4

Rys. 13.14. Schemat belki wolnopodpartej obciążonej siłami wymuszającymi

m

m

m

5 kN

10 kN

0

1

2

3

4

18,75

16,25

1,5

1,5

3,0

3,0

Rys. 13.15. Wykres momentów od obciążenia siłami statycznymi

Porównując wykresy z rys. 13.13 i 13.15 dla zadanych

Q i l widać, że bardziej niekorzystny jest wykres

pierwszy, dla belki obciążonej siłami dynamicznymi, zmiennymi w czasie.

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater