Warunek plastyczności. Hipoteza Mohra

p=f(q)



=g(



)











q

n

n

n

1

2

p



Warunek stanu granicznego
(plastyczności ) określa stan naprężenia
odpowiadający plastycznemu płynięciu

f

w

ij

(

, )





0

Duża liczba warunków stanu granicznego bazuje na hipotezie Mohra,
zakładającej że o zniszczeniu ośrodka decydują maksymalne i minimalne
naprężenia główne, a wpływ trzeciego pośredniego naprężenia głównego jest
pomijalny.

p=f(q) lub F(p,q) = 0

warunek w ogólnej postaci (w funkcji naprężeń p,q)

gdzie p=1/2(



1

+

2

), a q=1/2(



1

-

2

), a



1

,

2

,

3

oznaczają kolejno

maksymalne, minimalne i pośrednie naprężenia główne

|

|= (

)

(

,

) = ,





 

n

n

n

n

g

G

lub

0

warunek w ogólnej postaci
(w funkcji naprężeń



n

,



n

)

Warunki stanu granicznego. Tresca

0

2

1

)

(

lub

2

1

3

1

3

1



-

-





-

k

f

k











0

2

)

sin(

)

,

(

0

)

sin(

)

,

(

0

)]

cos(

[cos

3

3

1

)

,

(

lub

)

cos(

[cos

3

3

1

2

1

3

1

3

1

2

2

3

2

2

2

3

2

2

3

1



-

+





-

+





-

+

-





+

-



-

k

f

k

J

J

f

k

J

J

f

k

J



































Stan graniczny zostaje osiągnięty gry maksymalne naprężenia styczne
osiągają wartość graniczną k (wytrzymałość na ścinanie).

=

2J

2















3

3

J

6

3

arccos

3

1

=







 

 















m

m

m

ij

s

J

J

























-

-

-





-

+

-

+

-



3

2

1

3

2

3

2

2

3

1

2

2

1

2

det

6

1

)

3

2

cos(

)

3

2

+

cos(

)

cos(

3

2

1

1

1

m

3

2

1

































-

+































































Warunki stanu granicznego. Huber- Mises

0

)

(

2

2



-



k

J

f



0

2

)

(

0

2

3

)

(

0

3

)

(

0

3

3

)

(

2

2

2

2

2



-





-





-





-



k

f

s

s

J

f

J

J

f

k

J

J

f

p

ij

ij

p









Stan graniczny zostaje osiągnięty gry dewiator naprężenia J

2

osiąga wartość

graniczną k

2

(k-

wytrzymałość na ścinanie).

=

2J

2





 

 











2

2

13

2

23

2

12

2

33

22

2

33

11

2

22

11

2

2

3

6

6

1

,

2

1

J

q

J

s

s

J

ef

ij

ij





+

+

+

-

+

-

+

-

























Warunek Coulomba

0

cos

2

)

sin

1

(

)

sin

1

(

0

cos

sin

)

(

)

(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1



-

+

-

-



-

+

-

-























c

c

0

tan

)

,

(

tan



-

-



+



















n

n

n

n

n

n

c

F

c

0

cos

3

sin

)

cos(

)

sin(

sin

)

,

,

(

3

3

2

1

3

1

2

1



-













+

-

+

+

-



















c

J

I

J

I

f

Warunek Coulomba cd

Warunki stanu granicznego. Drucker-Prager

(extended von Mises)

0

)

,

(

1

2

2

1



-

-



k

I

J

J

I

f



60

,

)

sin

3

(

3

cos

6

,

)

sin

3

(

3

sin

2

0

,

)

sin

3

(

3

cos

6

,

)

sin

3

(

3

sin

2



+



+





-



-



























c

k

c

k