Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji

Instrukcja Zakładu Metrologii i Badań Jakości

Nr 5

Podstawy Metrologii

BŁAĘDY POMIARÓW

WYZNACZENIE BŁĘDÓW POMIARU I NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ

DLA BEZPOŚREDNIEJ (RÓŻNICOWEJ)

METODY POMIARU

Opracował

dr inż. Stanisław Fita

Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji

Zakład Metrologii i Badań Jakości

Opracował: dr inż. Stanisław FITA

2

1.PODSTAWOWE POJĘCIA METROLOGII I ICH OKREŚLENIA

Każda dziedzina wiedzy, nauki, lub techniki tworzy zbiór pojęć na własne potrzeby.

Często czerpie je z nauk pokrewnych lub z systemów pojęciowych innych krajów Jednak

żadna dziedzina wiedzy nie rozporządza jednym, jedynym uniwersalnym systemem pojęć

Metrologia warsztatowa (miernictwo warsztatowe) jest częścią metrologii - dziedziny

wiedzy o pomiarach - obejmującej wszystkie zagadnienia zarówno teoretyczne, jak i

praktyczne, odnoszące się do pomiarów niezależnie od ich dokładności. Słownictwo metrologii

warsztatowej ma zatem swe źródło w słownictwie metrologii. Metrologia jest nauką

interdyscyplinarną i korzysta z kolei z systemów pojęć takich nauk, jak fizyka i matematyka.

Podstawowe nazwy i określenia pojęć metrologii zawarte są w Polskiej Normie, której

słownictwo opiera się na międzynarodowym słowniku metrologii.

1.1 WIELKOŚĆ I WARTOŚĆ

Otaczające nas ciała i zjawiska można opisać (scharakteryzować) pewnym zbiorem

cech. Cechy te dzieli się na niemierzalne, to jest takie, które da się opisać tylko jakościowo,

np.: smak, zapach i mierzalne, które można opisać nie tylko jakościowo, ale i ilościowo, np.:

długość, masę, czas itp. Taka właśnie, właściwość zjawiska lub ciała, którą można wyznaczyć

jakościowo i ilościowo jest wielkością. Wielkość poddana mierzeniu jest nazywana wielkością

mierzoną. Natomiast wielkość nie będącą przedmiotem pomiaru, ale wpływającą na wartość

wielkości mierzonej lub wskazania przyrządu pomiarowego, lub wartość wzorca miary,

odtwarzającego wielkość jest wielkością wpływową. Na przykład, podczas dokładnych

pomiarów długości, wielkością wpływową jest temperatura.

Stan danej wielkości wyrażony iloczynem liczby i jednostki miary jest wartością

wielkości określonej (krótko - wartością), np.: 5 m, 12 kg. W podanych przykładach liczby są

wartościami liczbowymi wielkości a litery oznaczeniem jednostki miary. Jednostka miary jest to

wartość danej wielkości, której wartość liczbową umownie przyjęto równą jedności. Wartość

liczbowa wielkości zaś, liczbą oderwaną w wyrażeniu wartości określonej wielkości. Wartość

liczbowa zależy więc od przyjętej jednostki miary.

Wartość rozpatrywanej wielkości wyznacza się podczas pomiaru, a pomiar to czynności

doświadczalne mające na celu wyznaczenie wartości wielkości. W definicji tej nie mówi się o

tym, że czynności te trzeba najpierw zaplanować w oparciu o określoną teoretyczną, dobrać

sprzęt pomiarowy a dopiero wtedy je wykonać. Po wykonaniu pomiaru otrzymuje się jedną lub

więcej wartości odczytanych ze wskazań przyrządu pomiarowego. Wartość wielkości

mierzonej otrzymana w czasie pomiaru jest wynikiem pomiaru. Tak uzyskany wynik, jest

najczęściej surowym wynikiem pomiaru, ponieważ nie uwzględnia poprawek i nie ma

Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji

Zakład Metrologii i Badań Jakości

Opracował: dr inż. Stanisław FITA

3

wyznaczonej niepewności pomiaru.

Wynik pomiaru uzyskany jako odczyt wskazania przyrządu zawsze różni się od

wartości prawdziwej, nazywanej wartością rzeczywistą, czyli wartością charakteryzującą

wielkość określoną jednoznacznie w warunkach istniejących w chwili, w której wartość ta jest

badana. Rzeczywista wartość wielkości jest więc wartością idealną, teoretyczną, najczęściej

nieznaną. Jest to pojecie abstrakcyjne, umowne.

Dlatego też wartość rzeczywistą zastępuje się wartością poprawną. Wartość poprawna

wielkości jest to wartość, którą się uważa w takim stopniu przybliżoną do wartości rzeczywistej

tej wielkości, że różnica miedzy tymi wartościami może być pominięta z punktu widzenia celu,

do którego wartość przybliżona jest potrzebna.

Poprawna wartość wielkości wyznacza się przeważnie za pomocą metod i przyrządów

o dokładności odpowiedniej dla każdego poszczególnego przypadku. Na przykład, licznik

energii elektrycznej, dla którego graniczne błędy dopuszczalne wynoszą

±2%, sprawdza się

licznikiem kontrolnym, którego błąd wskazań w tym zakresie nie przekracza

±1%. Licznik

kontrolny wskazuje wówczas wartości poprawne energii elektrycznej do celów legalizacji.

2 POJĘCIE BŁĘDU

Wynik każdego pomiaru, jak to już stwierdzono powyżej, różni się od wartości wielkości

mierzonej. Przyczyn powstania różnic jest wiele i niemal każdy człon łańcucha pomiarowego i

otoczenie może wywierać większy lub mniejszy wpływ niezgodność wyniku pomiaru z

wartością wielkości mierzonej, nazywaną błędem pomiaru. Pierwszą z przyczyn tej

niezgodności może być nieokreśloność obiektu pomiaru, dalej sposób odbioru sygnału

pomiarowego, błędy przetworników, błędy komparatora, błędy wzorca, niedoskonałość

urządzenia wskazującego, błędy obserwacji wskazania, błędy obliczeń i utrwalania wyniku i

wreszcie wpływ otoczenia (w postaci zakłóceń) na wszystkie wymienione człony.

Upraszczając, można przypisać przyczyny powstawania błędów obiektowi pomiarów,

przyrządowi pomiarowemu, obserwatorowi i otoczeniu.

Wartość wielkości mierzonej , wymieniona w definicji, jest wartością porównawczą

może być równa:

− wartości rzeczywistej (prawdziwej),
− wartości poprawnej,
− średniej arytmetycznej wyników serii pomiarów.

Wspomniana niezgodność może być wyrażona w postaci różnicy wyniku pomiaru i

jednej z powyższych wartości. W pierwszym przypadku będzie to błąd rzeczywisty, dalej błąd

poprawy i błąd pozorny.

Na przykład błąd poprawny wynosi:

Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji

Zakład Metrologii i Badań Jakości

Opracował: dr inż. Stanisław FITA

4

p

x

x

x

−

=

∆

gdzie:

∆x – wartość bezwzględna błędu poprawnego,

x – wynik pomiary (surowy)

x

p

– wartość poprawna wielkości mierzonej.

W niektórych przypadkach, na przykład kiedy trzeba porównać błąd pomiaru różnych

wielkości, wygodniejszą formą przedstawiania błędy jest jego wartość względna:

[ ]

%

100

x

x

x

p

p

⋅

−

=

δ

Pierwszy sposób podawania błędu stosuje się, między innymi w pomiarach wielkości

geometrycznych a drugi w pomiarach wielkości elektrycznych. Wartość błędu bezwzględnego

podaje się w jednostkach mierzonej wielkości, natomiast błąd względny jest wyrażany jako

ułamek dziesiętny lub – najczęściej – w procentach.

3. KLASYFIKACJA BŁĘDÓW

Błąd i jego składowe mogą być klasyfikowane według różnych kryteriów. Jednym z nich

(już wymienianym), jest przyczyna lub źródło powstawania błędu. Z metrologicznego punktu

widzenia najważniejszym kryterium jest charakter błędu. Wyróżnia się wtedy: błąd

systematyczny, błąd przypadkowy

i błąd nadmierny (gruby).

3.1 BŁĄD SYSTEMATYCZNY

Błąd systematyczny to błąd, który przy wielu pomiarach tej samej wartości pewnej

wielkości, wykonywanych w tych samych warunkach, pozostaje stały co do wartości

bezwzględnej jak i co do znaku, lub zmienia się według określonego prawa wraz ze zmianą

warunków.

Przykładem błędu stałego może być błąd powstały podczas ważenia za pomocą

odważnika o masie przyjętej jako równej jego masie nominalnej 1 kg, podczas gdy jego masa

poprawna wynosi 1,010 kg.

Błąd systematyczny zmienny, może zmieniać się w sposób ciągły, lub okresowy. Na

przykład, podczas pomiarów odchyłek średnicy serii wałków za pomocą czujnika

zamocowanego w statywie, na skutek promieniowania cieplnego mierzącego, następuje

stopniowe nagrzewanie się kolumny statywu i jej wydłużanie się. Błąd będzie więc narastał

wraz ze wzrostem temperatury kolumny. Błąd zmieniający się w sposób okresowy występuje,

na przykład, w przypadku niewspółśrodkowego położenia osi podziałki i wskazówki.

Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji

Zakład Metrologii i Badań Jakości

Opracował: dr inż. Stanisław FITA

5

3.2 BŁĄD PRZYPADKOWY

Jest to błąd zmieniający się w sposób nieprzewidziany zarówno co do wartości

bezwzględnej, jak i co do znaku, podczas wykonywania dużej liczby pomiarów tej samej

wartości pewnej wielkości w warunkach praktycznie niezmiennych (za pomocą tego samego

narzędzia pomiarowego i przez tego samego obserwatora w jednakowych warunkach

otoczenia). Przyczynami tego błędu może być rozrzut wskazań przyrządu pomiarowego,

spowodowany odkształcaniem się jego elementów, tarciem, niestarannym odczytywaniem

wskazań przez obserwatora, lub krótkotrwałymi niezauważalnymi zmianami wielkości

wpływowych.

3.3 BŁĄD NADMIERNY

Błąd wynikający nieprawidłowego wykonania pomiaru. Może on wynikać z fałszywie

odczytanego wskazania, czyli omyłki, z użycia uszkodzonego przyrządu, lub niewłaściwego

jego zastosowania. Częstą pomyłką, jest odczytywanie wskazania przyrządu

wielozakresowego z niewłaściwej podziałki. Zdarza się, że zapomina się dodać grubość

szczęk podczas pomiaru średnicy otworu suwmiarką jednostronną.

Błąd systematyczny pomiaru bezpośredniego

Błędy systematyczne są znane co do wartości bezwzględnej jak i co do znaku. Można

więc je usunąć z wyniku pomiaru za pomocą poprawki, którą można wyznaczyć teoretycznie

lub doświadczalnie:

X

P

∆

−

=

Poprawiony wynik pomiaru będzie miał postać:

P

X

X

p

+

=

Należy jednak pamiętać, że poprawkę wyznacza się również z pewnym błędem, który

jeśli nie może być pominięty, powinien być uwzględniony w oszacowaniu błędów

przypadkowych. Ustalenie przyczyn i źródeł powstawania błędów systematycznych należy do

zadania obserwatora (pomiarowca). Poprawnie zaplanowany, przygotowany i wykonany

pomiar nie powinien być obarczony błędami systematycznymi. Chyba, że warunki pomiaru, lub

zastosowana metoda pomiaru nie pozwala na ich uniknięcie.

Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji

Zakład Metrologii i Badań Jakości

Opracował: dr inż. Stanisław FITA

6

Błędy przypadkowe w pomiarach pośrednich

Wyniki pomiarów obarczone błędami przypadkowymi (błędy przypadkowe) można, dla

odpowiednio dużej liczby pomiarów (n > 30), uważać za zmienną losową o rozkładzie

normalnym, ponieważ:

− błędy są zdarzeniami niezależnymi,
− każdorazowo może pojawić się błąd tylko o jednej wartości,
− błędy o małych wartościach zdarzają się częściej niż duże,
− błędy o jednakowych wartościach i przeciwnych znakach są jednakowo

prawdopodobne,

− błąd równy zeru jest najbardziej prawdopodobny.

Wpływ błędów przypadkowych na wynik pomiaru można wyznaczyć w oparciu

o rachunek prawdopodobieństwa. W tym celu należy wykonać serię pomiarów; zgodnie

z wcześniej przytoczoną definicją. Otrzymuje się w rezultacie n wyników:

X

1

, X

2

, X

3

, ..., X

i

, ..., X

n

Rozrzut ich wartości jest spowodowany błędami przypadkowymi. Następnie liczy się

średnią arytmetyczną tych wyników z zależności:

∑

=

⋅

=

+

+

+

+

+

=

n

1

i

i

n

i

3

2

1

X

n

1

n

X

X

X

X

X

X

K

K

Poszczególne wyniki pomiarów można opisać zależnościami:

n

i

3

2

1

p

s

r

n

p

s

r

i

p

s

r

3

p

s

r

2

p

s

r

1

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

∆

+

∆

+

=

∆

+

∆

+

=

∆

+

∆

+

=

∆

+

∆

+

=

∆

+

∆

+

=

M

M

gdzie:

X

r

–

wartość rzeczywista (prawdziwa),

i

p

∆ – wartość błędów przypadkowych,

s

∆ – wartość błędów systematycznych

Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji

Zakład Metrologii i Badań Jakości

Opracował: dr inż. Stanisław FITA

7

Po wstawieniu do zależności wyników pomiarów, uzyskuje się:

∑

∑

=

=

∆

+

∆

+

=

∆

+

∆

⋅

+

⋅

=

n

1

i

p

s

r

n

1

i

p

s

r

i

i

n

1

X

n

n

X

n

X

Gdy liczba pomiarów dąży do nieskończoności i błędy systematyczne są równe zeru,

średnia arytmetyczna odpowiada wartości rzeczywistej mierzonej wielkości a suma błędów

przypadkowych staje się równa zeru.

W praktyce liczba wykonywanych pomiarów jest niewielka (n = 3

÷ 20), ponieważ

przedłużanie ciągu pomiarowego absorbuje dużo czasu i trudno jest utrzymać takie same

warunki pomiaru. Wtedy najczęściej zakłada się, że błędy pomiaru podporządkowane są

rozkładowi normalnemu i wyznacza odchylenie średnie kwadratowe serii n pomiarów od

wartości średniej, ze wzoru:

(

)

1

n

X

X

s

n

1

i

2

i

−

−

=

∑

=

Otrzymana z wyników pomiarów wartość średnia X różni się od wartości rzeczywistej X

r

mierzonej wielkości. Miarą tej rozbieżności jest odchylenie kwadratowe średniej arytmetycznej:

(

)

(

)

1

n

n

X

X

n

s

s

n

1

i

2

i

+

−

=

=

∑

=

Granice błędu przypadkowego

∆

p

na odpowiednim poziomie ufności można wyznaczyć jako

iloczyn odchylenia średniego kwadratowego s przez odpowiednią wartość parametru t, dla

przyjętego poziomu ufności. Na przykład: dla t = 1, poziom ufności wynosi P = 0,68, dla t = 2 –

P = 0,95, dla t = 3 – P = 0,997. Niepewność pojedynczego wyniku pomiaru obarczonego tylko

błędem przypadkowym wynosi:

ts

p

±

=

∆

a wartości średniej –

s

t

± . Wynik serii pomiarów może być zapisany w postaci:

n

s

t

X

s

t

X

X

±

=

⋅

±

=

y-

Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji

Zakład Metrologii i Badań Jakości

Opracował: dr inż. Stanisław FITA

8

Gdy liczba pomiarów w serii jest niewielka, wartości s i s są obliczane tylko w przybliżeniu i

nie odpowiadają ściśle parametrom rozkładu normalnego, słusznego dla dużej liczby wyników

pomiaru. Dla małych prób dostatecznie dobrym przybliżeniem opisu zmiennych losowych,

jakimi są wyniki pomiarów, jest rozkład t-Studenta .

4. PODSTAWOWE ZASADY RACHUNKU BŁĘDÓW

1. Najlepszym przybliżeniem serii n pomiarów (X,. X

:

. ... X„) wielkości fizycznej X jest średnia

arytmetyczna:

∑

=

=

n

1

i

i

X

n

1

X

2. Błąd bezwzględny i - tego pomiaru wielkości fizycznej X jest równy

X

X

X

i

i

−

=

∆

3. Błędem względnym

δ wartości zmierzonej X, nazywamy stosunek błędu bezwzględnego ∆X

i

do wartości średniej :

X

X

X

i

i

∆

=

δ

Błąd względny wyrażony w procentach nazywamy błędem procentowym.

4. Średni błąd kwadratowy

x

S pojedynczego pomiaru skończonej serii n pomiarów wielkości

fizycznej X wynosi:

(

)

1

n

x

x

S

n

1

i

2

i

x

−

−

=

∑

=

5. Średni błąd kwadratowy

X

S wartości średniej X skończonej serii n pomiarów wielkości

fizycznej X wynosi:

(

)

(

)

( )

(

)

1

n

n

X

1

n

n

x

x

S

n

1

i

2

i

n

1

i

2

i

x

−

∆

=

−

−

=

∑

∑

=

=

Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji

Zakład Metrologii i Badań Jakości

6 Wartości błędów zaokrąglamy zawsze w górę. Najpierw błędy zaokrąglamy z dokładnością

do jednej cyfry znaczącej. Jeżeli wstępne zaokrąglenie powoduje wzrost wartości błędu o

więcej niż 10%, zaokrąglamy go z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

7. Wyniki pomiarów zaokrąglamy z dokładnością do miejsca, na którym występuje ostatnia

cyfra znacząca błędu.

8. Wynik pomiaru zapisujemy w postaci

∆

±

X

,

gdzie X jest najlepszym przybliżeniem

wartości mierzonej, a

∆ jest wartością błędu bezwzględnego pomiaru wielkości X. Zapisując

wynik pomiaru należy podać jednostki układu SI w jakich wielkość została zmierzona

9. Klasa przyrządu pomiarowego „kl” jest to wyrażony w procentach stosunek maksymalnego

błędu bezwzględnego

∆X

max

do zakresu pomiarowego Z.

%

100

Z

X

kl

max

⋅

∆

=

10. Prawo przenoszenia niezależnych błędów przypadkowych dla wielkości złożonej

(

)

n

2

1

x

,

,

x

,

x

f

y

K

=

ma postać.

2

pm

m

2

2

p

2

2

1

p

1

p

X

f

X

f

X

f

y

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∆

∂

∂

+

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∆

∂

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∆

∂

∂

=

∆

K

gdzie

(

m

,

,

2

,

1

i

X

f

i

L

=

∂

∂

)

oznacza wartość pochodnej cząstkowej funkcji

,

a

∆

(

)

m

2

1

X

,

,

X

,

X

f

y

K

=

mi

jest wartością przypadkowego błędu pomiaru i – tej wielkości X.

11. Prawo przenoszenia błędów systematycznych (skorelowanych) dla wielkości złożonej

(

)

n

2

1

x

,

,

x

,

x

f

y

K

=

ma postać:

sm

m

2

s

2

1

s

1

s

X

f

X

f

X

f

y

∆

∂

∂

+

+

∆

∂

∂

+

∆

∂

∂

=

∆

K

Opracował: dr inż. Stanisław FITA

9

12. Jeżeli wielkość mierzona jest wyrażona w postaci iloczynu dowolnych potęg wielkości

mierzonych bezpośrednio

, obliczyć korzystając z metody pochodnej

m
n

1

2

k

1

X

X

cX

y

K

⋅

=

logarytmicznej:

Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji

Zakład Metrologii i Badań Jakości

Opracował: dr inż. Stanisław FITA

10

n

n

2

2

1

1

X

X

m

X

X

l

X

X

k

y

y

∆

+

+

∆

+

∆

=

∆

K

13. Jeżeli zmierzono wartości (X

i

,Y

i

), i = 1, 2, ..., n dwóch różnych wielkości fizycznych X i Y, o

których wiadomo, że są związane ze sobą zależnością liniową, to najlepszym przybliżeniem

współczynników X i B w równaniu y = Ax + B jest:

Γ

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∑

∑

∑

=

=

=

1

y

x

y

x

n

A

n

1

i

i

n

1

i

i

n

1

i

i

i

Γ

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

1

y

x

x

y

X

B

n

1

i

i

i

n

1

i

i

n

1

i

i

n

1

i

2
i

gdzie:

2

n

1

i

i

1

1

i

2
i

x

x

n

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

Γ

∑

∑

=

=

Wartości A i B są obarczone błędami:

Γ

σ

=

∆

∑

=

n

1

i

2
i

y

x

A

,

Γ

σ

=

∆

n

B

y

gdzie:

(

)

2

n

B

Ax

y

n

1

i

2

i

i

y

−

−

−

=

σ

∑

=

OBLICZANIE BŁĘDÓW PRZYPADKOWYCH NA PODSTAWIE ROZKŁADU T-STUDENTA

Gdy liczba pomiarów jest niewielka, wartości s i s są obliczane tylko w przybliżeniu i nie

odpowiadają ściśle parametrom rozkładu normalnego słusznego dla dużej liczby wyników

pomiarów. Dla małych prób dostatecznie dobrym przybliżeniem opisu zmiennych losowych,

jakimi są wyniki pomiarów, jest rozkład t-Studenta. Jest to funkcja matematyczna zależna od

liczby pomiarów n użytych do obliczania odchylenia średniego kwadratowego s. Przykładowe,

zaokrąglone wartości współczynników t i

n

t

rozkładu Studenta dla różnych liczb pomiarów n i

różnych poziomów ufności p, podano w tabeli. Korzystając z rozkładu Studenta można

wyznaczyć:

Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji

Zakład Metrologii i Badań Jakości

Opracował: dr inż. Stanisław FITA

11

− błąd przypadkowy pojedynczego pomiaru X:

s

t

p

,

n

p

⋅

±

=

∆

− błąd przypadkowy średniej X :

s

n

t

s

t

p

,

n

p

,

n

p

⋅

±

=

⋅

±

=

∆

Współczynniki t rozkładu Studenta

p = 0,68

P = 0,95

p = 0,997

n

t

n

t

t

n

t

t

n

t

1

1,8

1,3

12,7

9,0

233

166

3

1,32

0,76

4,3

2,5

19,2

11,1

4

1,20

0,60

3,2

1,6

9,2

4,6

5

1,15

0,51

2,8

1,24

6,6

3,0

6

1,11

0,45

2,6

1,05

5,5

2,3

7

1,08

0,38

2,7

0,84

4,5

1,6

10

1,06

0,34

2,3

0,72

4,1

1,29

20

1,03

0,23

2,1

0,47

3, 4

0,77

30

1,02

0,19

2,0

0,37

3,3

0,60

50

1,01

0,14

2,0

0,28

3,16

0,45

100

1,00

0,10

2,0

0,20

3,1

0,31

200

1,00

0,07

1,97

0,14

3,04

0,22