Przykład 9.5

Znależć siły przekrojowe dla pręta 1,2,3,4,5 obciążonego jak na rys.1.

Z

1

R

5x

5

3a

R

5y

y

1

2qa R

5z

4a

x

1

z globalny

4

3qa

2

układ

4a

współrzędnych

qa 1 2qa

2

y

x

R

1z

3

2

R

3y

q

R

2z

Rys. 1. – Schemat statyczny pręta

1. Obliczenie reakcji podpór (R

1z

, R

2z

, R

3y

, R

5x

, R

5y

, R

5z

).

Położenia osi względem których wyznaczamy reakcję z warunku momentów winny tak
być dobrane, aby eliminowały możliwie dużą ilość niewiadomych. W rozpatrywanym
przykładzie są to:

a) punkt 5 oraz kierunek z - eliminuje wszystkie niewiadome z wyjątkiem R

3y

b) punkt 5 oraz kierunek y – umożliwia obliczenie R

2z

c) punkt 5 oraz \kierunek x – umożliwia obliczenie reakcję R

1z

d) pozostałe niewiadome wyznaczamy z warunków sum rzutów sił na osie

globalne.

Σ M

z1

= 0

R

3y

· 3a = 0

⇒

R

3y

= 0

Σ M

y1

= 0

-3qa

2

+ 2qa· 3a – 4qa· 3a + R

2z

· 3a = 0

⇒ R

2z

= 3qa

Σ M

x1

= 0

-2qa

2

+ 4qa· 2a – qa· 4a - R

2z

· 4a - R

1z

· 4a = 0

⇒ R

1z

= -2,5qa

Σ X = 0

⇒ R

5x

= 0

Σ Y = 0

R

5y

- qa = 0

⇒

R

5y

= qa

Σ Z = 0

R

1z

+ R

2z

+ R

5z

+ 2qa – 4qa = 0

⇒ R

5z

= 1,5qa

1

qa


2qa 3qa

2

1,5qa

qa 2qa

2

2,5qa


q
3qa

Rys.2

Widok

pręta z obliczonymi reakcjami

2. Wybór znaków sił przekrojowych

Znaki sił przekrojowych określamy przez dobór w poszczególnych przedziałach
charakterystycznych lokalnych osi współrzędnych (na końcu lub początku przedziału,
kierunki na drugim brzegu mają znaki przeciwne do brzegu pierwszego).

W rozpatrywanym przykładzie wybrano osie na końcach przedziałów w następujący
sposób:

- koniec

przedziału 1-2

oś x normalna do części pręta 1-2, oś y równoległa do układu globalnego ze
zwrotem takim, aby rozciągał dolne włókna pręta, oś z tworzy lewoskrętny układ
współrzędnych,

- koniec

przedziału 2-3

poprzedni lokalny układ współrzędnych z przedziału 1-2 obracamy wg osi „z” tak
aby oś „x” była normalna do części pręta 2-3,

- koniec

przedziału 3-4

poprzedni lokalny układ współrzędnych z przedziału 2-3 obracamy wg osi „y” tak
aby oś „x” była normalna do części pręta 3-4,

- koniec

przedziału 4-5

poprzedni lokalny układ współrzędnych z przedziału 3-4 obracamy wg osi „y” tak
aby oś „x” była normalna do części pręta 4-5.

Kierunki i zwroty lokalnych osi pokazano na rys 3.

2

y
5 x
z
4 x
z
y

1

z
y
2
x z 3
x
y

Rys. 3 Kierunki i zwroty lokalnych osi.

Wartości sił przekrojowych na brzegach przedziałów charakterystycznych

Zamieszczono w tabeli nr 1

Tabela nr1

Rodzaj

siły

przekrojowej

Przedział

charakterystyczny

1-2

Przedział

charakterystyczny

2-3

Przedział

charakterystyczny

3-4

Przedział

charakterystyczny

4-5

N [qa]

M

s

[qa

2

]

0

2,0

0

2,0

1,0
4,5

1,0
4,5

2,5

-3,0

2,5

-3,0

0
0

0
0

T

y

[qa]

M

gz

[qa

2

]

2,5

0

2,5

-7,5

-0,5

2,0

3,5

-4,0

-1,0
-4,0

-1,0

0

-1,0
-3,0

-1,0

0

T

z

[qa]

M

gy

[qa

2

]

1,0

0

1,0

-3,0

0

-3,0

0

-3,0

0

7,5

0

7,5

-1,5

4,5

1,5

0

Obliczenie maksymalnego momentu w przedziale 2-3

- miejsce zerowe siły tnącej

0,5qa/x

o

= 4,0qa/4a

⇒ x

o

= 0,5a

- obliczenie momentu maksymalnego

M

max

= 2qa

2

+ 0,5qa · 0,5a - 0,5qa · 0,25a = 2,125qa

2

.

Wykresy sił przekrojowych wyznaczone na podstawie tabeli nr1 pokazano na rys.4

3

4

2,5qa

-3qa

2

N

M

s

+2qa

2

-3qa

2

+qa +2,5qa +2qa

2

qa

+4,5qa

2

+4,5qa

2

Wykres sił normalnych

Wykres momentów skręcających

-qa

-qa

-3qa

2

T

y

M

gz

+2,5qa

-7,5qa

2

-4qa

2

-0,5qa

-qa

+2,5qa

+2qa

2

-4qa

2

+3,5qa

M

max

=2,12qa

2

Wykres sił tnących Wykres momentów gnących

-1,5qa

+7,5qa

2

-1,5qa

+4,5qa

2

+qa

T

z

M

gy +

-3qa

2

-3qa

2

+7,5qa

2

+qa

-3qa

2

Wykres sił tnących

Wykres momentów gnących

Rys4. Wykresy sił przekrojowych