1
Definicja i w lasno´
sci funkcji
Definicja 1.1 Niech X i Y - niepuste zbiory.
Funkcj
,
a przekszta lcaj
,
ac
,
a
X w Y nazywamy takie odwzorowanie f, kt´
ore ka˙zdemu elementowi x ∈ X
przyporz
,
adkowuje dok ladnie jeden element y ∈ Y. Piszemy w´
owczas y = f (x).
Zbi´
or X nazywa´
c b
,
edziemy dziedzin
,
a funkcji f .
Definicja 1.2 Niech f : X → Y, A ⊂ X, B ⊂ Y.
Zbi´
or f (A) = {f (a) : a ∈ A} nazywamy obrazem zbioru A w funkcji f.
Zbi´
or f
−1
(B) = {a ∈ X : f (a) ∈ B} nazywamy przeciwobrazem zbioru B w
funkcji f.
W szczeg´
olno´
sci zbi´
or f (X) ⊂ Y nazywamy zbiorem warto´
sci funkcji f.
1
Definicja 1.3 Funkcj
,
e f : X → Y nazwiemy:
• r´
o ˙znowarto´
sciow
,
a, gdy dla dowolnych x
1
, x
2
∈ X warunek x
1
6= x
2
poci
,
aga za sob
,
a f (x
1
) 6= f (x
2
).
• ’ na Y ’, gdy f (X) = Y
• wzajemnie jednoznaczn
,
a, je˙zeli spe lnia poprzednie dwa warunki.
Definicja 1.4 Niech f : X → Y, wzajemnie jednoznaczna. W´
owczas istnieje
dok ladnie jedna taka funkcja f
−1
: Y → X, ˙ze dla dowolnego x ∈ X i dowolnego
y ∈ Y
y = f (x)
⇐⇒
x = f
−1
(y)
T
,
e funkcj
,
e nazywamy funkcj
,
a odwrotn
,
a do f.
Definicja 1.5 Niech f : X → Y, g : Y → Z. Funkcj
,
e h : X → Z dan
,
a wzorem
h(x) = g
f (x)
nazywamy z lo ˙zeniem lub superpozycj
,
a funkcji f i g i oznaczamy przez g ◦ f.
Definicja 1.6 Niech f : X → Y, A ⊂ X. Funkcj
,
e f |
A
: A → Y dan
,
a wzorem
f |
A
(x) = f (x)
dla
x ∈ A
b
,
edziemy nazywa´
c obci
,
eciem funkcji f do zbioru A.
2
Definicja 1.7 Powiemy, ˙ze funkcja f : E → R, gdzie E ⊂ R jest
• rosn
,
aca (odp. niemalej
,
aca), gdy dla dowolnych x
1
, x
2
∈ E warunek
x
1
< x
2
poci
,
aga za sob
,
a warunek f (x
1
) < f (x
2
) (odp. f (x
1
) ≤ f (x
2
)).
• ograniczona z g´
ory, gdy istnieje taka liczba M ∈ R, ˙ze dla dowolnego
x ∈ E zachodzi f (x) < M.
• ograniczona, gdy istnieje taka liczba M ∈ R, ˙ze dla dowolnego x ∈ E
zachodzi |f (x)| < M.
• parzysta (odp.
nieparzysta), gdy dla dowolnego x ∈ E zachodzi
(−x) ∈ E i f (−x) = f (x) (odp. f (−x) = −f (x)).
• okresowa, gdy istnieje taka liczba T > 0, ˙ze dla dowolnego x ∈ E i
dowolnej liczby ca lkowitej k zachodzi x + kT ∈ E i f (x + kT ) = f (x).
3
2
Ci
,
agi liczbowe
Definicja 2.1 Ci
,
agiem liczbowym nazwiemy dowoln
,
a funkcj
,
e o warto´
sciach
rzeczywistych, okre´
slon
,
a na zbiorze liczb naturalnych. Ci
,
agi tradycyjnie ozna-
czamy pocz
,
atkowymi literami alfabetu, stosujemy te˙z notacj
,
e a
n
zamiast a(n).
Definicja 2.2 Powiemy, ˙ze liczba g jest granic
,
a ci
,
agu (a
n
)
n∈N
, gdy dla do-
wolnego > 0 istnieje taka liczba N, ˙ze dla dowolnego naturalnego n > N
spe lniona jest nier´
owno´
s´
c |a
n
− g| < . Symbolicznie b
,
edziemy zapisywa´
c ten
fakt nast
,
epuj
,
aco
lim
n→∞
a
n
= g
lub
a
n
→ g.
B
,
edziemy te˙z m´
owi´
c, ˙ze ci
,
ag a
n
jest zbie˙zny do g.
Definicja 2.3 Powiemy, ˙ze +∞ (odp. −∞) jest granic
,
a ci
,
agu (a
n
)
n∈N
, gdy dla
dowolnego M ∈ R istnieje taka liczba N, ˙ze dla dowolnego naturalnego n > N
spe lniona jest nier´
owno´
s´
c a
n
> M (odp. a
n
< M ). B
,
edziemy te˙z m´
owi´
c, ˙ze
ci
,
ag a
n
jest rozbie˙zny do +∞ (odp. do −∞.)
4
Twierdzenie 2.1 Ci
,
ag zbie˙zny jest ograniczony.
Twierdzenie 2.2 Ci
,
ag monotoniczny i ograniczony jest zbie˙zny.
Twierdzenie 2.3 Dowolny ci
,
ag ma co najwy˙zej jedn
,
a granic
,
e.
Twierdzenie 2.4 (o zachowaniu nier´
owno´
sci) Je˙zeli a
n
→ g, przy czym
a
n
≤ M dla prawie wszystkich n ∈ N to g ≤ M.
Twierdzenie 2.5 (o trzech ci
,
agach) Je˙zeli dla prawie wszystkich n ∈ N
a
n
≤ b
n
≤ c
n
, przy czym lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= g to lim
n→∞
b
n
= g.
5
Twierdzenie 2.6 Niech lim
n→∞
a
n
= a i lim
n→∞
b
n
= b. W´
owczas
lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) = a + b,
lim
n→∞
(a
n
− b
n
) = a − b
lim
n→∞
a
n
· b
n
= a · b.
Je˙zeli dodatkowo b
n
6= 0 dla n ∈ N i b 6= 0, to r´
ownie˙z
lim
n→∞
a
n
b
n
=
a
b
.
Twierdzenie 2.7 Niech lim
n→∞
a
n
= a ∈ R i lim
n→∞
b
n
= +∞. W´
owczas
lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) = +∞,
lim
n→∞
(a
n
· b
n
) =
(
+∞
gdy
a > 0
−∞
gdy
a < 0
Lista symboli nieoznaczonych:
∞ − ∞,
0 · ∞,
0
0
,
∞
∞
,
0
0
,
∞
0
,
1
∞
.
6
3
Granica funkcji
Definicja 3.1 Niech E ⊂ R, x
0
∈ R. Powiemy, ˙ze punkt x
0
jest punktem
skupienia zbioru E je˙zeli istnieje ci
,
ag x
n
element´
ow zbioru E, r´
o˙znych od x
0
,
zbie˙zny do x
0
.
Definicja 3.2 Niech E ⊂ R, x
0
∈ R. Powiemy, ˙ze punkt x
0
jest punktem
prawostronnego skupienia zbioru E je˙zeli istnieje ci
,
ag x
n
element´
ow zbioru
E, wi
,
ekszych od x
0
, zbie˙zny do x
0
.
Definicja 3.3
(granicy funkcji w punkcie, w sensie Heinego) Niech
f : E → R, i niech E posiada punkt skupienia w x
0
. Powiemy, ˙ze liczba g
(ew. r´
owna + − ∞) jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
gdy dla dowolnego ci
,
agu
(x
n
)
n→∞
element´
ow zbioru E \ {x
0
} zbie˙znego do x
0
ci
,
ag f (x
n
) d
,
a˙zy do g.
Definicja 3.4 (granicy prawostronnej funkcji w punkcie, w sensie He-
inego) Niech f : E → R, i niech E posiada punkt prawostronnego skupienia w
x
0
. Powiemy, ˙ze liczba g jest granic
,
a prawostronn
,
a funkcji f w punkcie x
0
gdy
dla dowolnego ci
,
agu (x
n
)
n→∞
element´
ow zbioru E ∩ (x
0
, ∞) zbie˙znego do x
0
ci
,
ag f (x
n
) d
,
a˙zy do g.
7
Definicja 3.5 (granicy funkcji w punkcie, w sensie Cauchy’ego) Niech
f : E → R, i niech E posiada punkt skupienia w x
0
. Powiemy, ˙ze liczba g jest
granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
gdy dla dowolnego > 0 istnieje δ > 0 taka, ˙ze
dla dowolnego x ∈ E ∩ ((x
0
− δ, x
0
) ∪ (x
0
, x
0
+ δ)) zachodzi |f (x) − g| < .
Definicja 3.6 (granicy niew la´
sciwej funkcji w punkcie, w sensie Cau-
chy’ego) Niech f : E → R, i niech E posiada punkt skupienia w x
0
. Powiemy,
˙ze liczba +∞ jest granic
,
a funkcji f w punkcie x
0
gdy dla dowolnego M ∈ R
istnieje δ > 0 taka, ˙ze dla dowolnego x ∈ E ∩ ((x
0
− δ, x
0
) ∪ (x
0
, x
0
+ δ)) zachodzi
f (x) > M.
Definicja 3.7 (granicy funkcji w niesko´
nczono´
sci, w sensie Cauchy’ego)
Niech f : E → R, i niech E posiada punkt skupienia w +∞ Powiemy, ˙ze liczba
g jest granic
,
a funkcji f w +∞ gdy dla dowolnego > 0 istnieje liczba M ∈ R
taka, ˙ze dla dowolnego x ∈ E ∩ (M, +∞) zachodzi |f (x) − g| < .
8
Twierdzenie 3.1 Poj
,
ecia granicy funkcji w sensie Cauchy’ego i w sensie He-
inego pokrywaj
,
a si
,
e.
Twierdzenie 3.2 Odno´
snie granicy sumy funkcji w punkcie zachodz
,
a twier-
dzenia analogiczne do wcze´
sniejszych twierdze´
n dla ci
,
ag´
ow.
9
4
Ci
,
ag lo´
s´
c funkcji
Definicja 4.1
(ci
,
ag lo´
sci funkcji w punkcie, w sensie Heinego) Niech
f : E → R, x
0
∈ E. Powiemy, ˙ze funkcja f jest ci
,
ag la w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy dla dowolnego ci
,
agu (x
n
) element´
ow zbioru E, zbie˙znego do
x
0
ci
,
ag f (x
n
) d
,
a˙zy do f (x
0
).
Definicja 4.2 (ci
,
ag lo´
sci funkcji w punkcie, w sensie Cauchy’ego) Niech
f : E → R, x
0
∈ E. Powiemy, ˙ze funkcja f jest ci
,
ag la w punkcie x
0
wtedy i
tylko wtedy, gdy dla dowolnego > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, ˙ze dla dowolnego
x ∈ E ∩ (x
0
− δ, x
0
+ δ) zachodzi |f (x) − f (x
0
)| < .
Twierdzenie 4.1
(zwi
,
azek pomi
,
edzy poj
,
eciami granicy i ci
,
ag lo´
sci
funkcji) Niech f : E → R, i niech E posiada punkt skupienia w x
0
, przy
czym x
0
∈ E. W´
owczas funkcja f jest ci
,
ag la w x
0
wtedy i tylko wtedy gdy
granica lim
x→x
0
f (x) istnieje i jest r´
owna f (x
0
).
Twierdzenie 4.2 (o lokalnym zachowaniu znaku.) Je˙zeli f jest funkcj
,
a
ci
,
ag l
,
a w punkcie x
0
oraz f (x
0
) > 0 to istnieje taka liczba dodatnia δ, ˙ze dla
x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) zachodzi f (x) > 0.
Definicja 4.3 Niech f : E → R. Je˙zeli f jest ci
,
ag la w ka˙zdym punkcie x ∈ E
powiemy, ˙ze f jest ci
,
ag la w E.
10
5
W lasno´
sci funkcji ci
,
ag lych na przedziale.
Definicja 5.1 Niech f : I → R, gdzie I jest pewnym przedzia lem. Powiemy,
˙ze f ma na I w lasno´
s´
c Darboux, je˙zeli dla dowolnych a, b ∈ I, a < b i dla
dowolnego y le˙z
,
acego mi
,
edzy f (a) i f (b) (nie precyzuj
,
ac, kt´
ora z tych liczb jest
wi
,
eksza), istnieje taka liczba c ∈ (a, b), ˙ze f (c) = y.
Twierdzenie 5.1 Funkcja f ci
,
ag la na przedziale I ma tam w lasno´
s´
c Darboux.
Twierdzenie 5.2 (Weierstrassa) Je˙zeli funkcja f jest ci
,
ag la na przedziale do-
mkni
,
etym [a, b] to
1. f jest ograniczona oraz
2. istniej
,
a takie punkty x, y ∈ [a, b] ˙ze f (x) = M oraz f (y) = m, gdzie
M = sup{f (t) : t ∈ I} i m = inf{f (t) : t ∈ I}. O takiej sytuacji m´
owimy,
˙ze funkcja przyjmuje swoje kresy.
11
6
Pochodna funkcji
Definicja 6.1 Niech f : E → R, i niech E posiada punkt skupienia w x
0
, przy
czym x
0
∈ E. Pochodn
,
a funkcji f w punkcie x
0
nazywamy liczb
,
e
f
0
(x
0
)
=
lim
x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
(o ile granica istnieje.) Granic
,
e t
,
e mo˙zna te˙z zapisa´
c tak:
f
0
(x
0
)
=
lim
h→0
f (x
0
+ h) − f (x
0
)
h
.
Definicja 6.2 Powiemy, ˙ze funkcja f jest r´
o ˙zniczkowalna w punkcie x
0
, je˙zeli
posiada w tym punkcie pochodn
,
a sko´
nczon
,
a.
Twierdzenie 6.1 (Warunek konieczny r´
o˙zniczkowalno´
sci) Niech f : E → R,
x
0
∈ E i x
0
- punkt skupienia zbioru E. Je˙zeli f jest r´
o˙zniczkowalna w x
0
, to
jest tam ci
,
ag la.
Twierdzenie 6.2 (R´
o˙zniczkowanie funkcji z lo˙zonej) Niech E, F ⊂ R. Je˙zeli
funkcja g : E → F jest r´
o˙zniczkowalna w x
0
a funkcja f : F → R jest
r´
o˙zniczkowalna w u
0
= g(x
0
), to funkcja f ◦g jest r´
o˙zniczkowalna w x
0
i zachodzi
wz´
or:
(f ◦ g)
0
(x
0
)
=
f
0
(g(x
0
)) · g
0
(x
0
).
Twierdzenie 6.3 (O pochodnej funkcji odwrotnej) Je˙zeli funkcja f jest ´
sci´
sle
monotoniczna i ci
,
ag la na pewnym przedziale otwartym I, x
0
∈ I oraz istnieje
pochodna f
0
(x
0
) 6= 0, to funkcja odwrotna f
−1
posiada w punkcie y
0
= f (x
0
)
pochodn
,
a r´
own
,
a
f
−1
0
(y
0
) =
1
f
0
(x
0
).
12
Twierdzenie 6.4 (O pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu) Je˙zeli funkcje f i g s
,
a
r´
o˙zniczkowalne w punkcie x
0
to funkcje f + g, α · f, f · g te˙z s
,
a r´
o˙zniczkowalne
i zachodz
,
a zwi
,
azki
•
f + g
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
),
•
f − g
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) − g
0
(x
0
),
•
αf
0
(x
0
) = α · f
0
(x
0
),
•
f · g
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) · g(x
0
) + f (x
0
) · g
0
(x
0
).
a je˙zeli dodatkowo g(x
0
) 6= 0 to
•
f
g
0
(x
0
) =
f
0
(x
0
)·g(x
0
)−f (x
0
)·g
0
(x
0
)
g
2
(x
0
)
.
Definicja 6.3 Niech f : (a, b) → R, x
0
∈ (a, b). Powiemy, ˙ze funkcja f ma w
x
0
maksimum (odp. minimum) lokalne, je˙zeli istnieje taka liczba δ > 0, ˙ze
dla dowolnego x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) zachodzi f (x) ≤ f (x
0
) (odp. f (x) ≥ f (x
0
)).
Maksima i minima obejmujemy wsp´
oln
,
a nazw
,
a - ekstremum.
Twierdzenie 6.5 (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Niech f : (a, b) → R,
x
0
∈ (a, b). Je˙zeli f jest r´
o˙zniczkowalna w x
0
i ma w x
0
ekstremum lokalne, to
f
0
(x
0
) = 0.
13
Twierdzenie 6.6 (Rolle’a) Niech f : [a, b] → R b
,
edzie ci
,
ag la na przedziale
[a, b] i r´
o˙zniczkowalna na (a, b). Je˙zeli dodatkowo f (a) = f (b) to istnieje taki
punkt c ∈ (a, b), ˙ze f
0
(c) = 0.
Twierdzenie 6.7 (Lagrange’a) Niech f : [a, b] → R b
,
edzie ci
,
ag la na przedziale
[a, b] i r´
o˙zniczkowalna na (a, b). Istnieje taki punkt c ∈ (a, b), ˙ze
f
0
(c) =
f (b) − f (a)
b − a
.
Wnioski z twierdzenia Lagrange’a.
Wniosek 6.1 ( Zwi
,
azek pomi
,
edzy monotoniczno´
sci
,
a funkcji, a znakiem po-
chodnej na przedziale) Niech f : (a, b) → R, r´
o˙zniczkowalna na (a, b). Je˙zeli dla
wszystkich x ∈ (a, b) f
0
(x) > 0 to f jest rosn
,
aca na (a, b).
Wniosek 6.2 J e˙zeli f : (a, b) → R jest r´
o˙zniczkowalna na (a, b) i dla ka˙zdego
x ∈ (a, b) f
0
(x) = 0, to f jest funkcj
,
a sta l
,
a.
Wniosek 6.3 J e˙zeli f, g : (a, b) → R s
,
a r´
o˙zniczkowalne na (a, b) i maj
,
a tam
r´
owne pochodne, to f i g r´
o˙zni
,
a si
,
e o sta l
,
a.
14
Twierdzenie 6.8 Warunek wystarczaj
,
acy istnienia ekstremum funkcji
(1) Je˙zeli funkcja f : (a, b) → R, x
0
∈ (a, b), f jest ci
,
ag la w x
0
i r´
o˙zniczkowalna
na pewnym s
,
asiedztwie (x
0
− , x
0
) ∪ (x
0
, x
0
+ ) punktu x
0
oraz
f
0
(x) < 0 dla x ∈ (x
0
− , x
0
) i f
0
(x) > 0 dla x ∈ (x
0
, x
0
+ )
to f posiada w x
0
minimum lokalne.
Definicja 6.4 Pochodna jako funkcja Je˙zeli funkcja f jest r´
o˙zniczkowalna
na zbiorze E, to funkcj
,
e
f
0
: x → f
0
(x)
nazywamy pochodn
,
a funkcji f na E.
15
7
Regu la de L’Hospitala
Twierdzenie 7.1 Je˙zeli funkcje f i g s
,
a r´
o˙zniczkowalne w pewnym otoczeniu
punktu x
0
oraz lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
g(x) = 0 i istnieje granica
lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
(sko´
nczona lub nie), to istnieje te˙z granica
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
Twierdzenie 7.2 Je˙zeli funkcje f i g s
,
a r´
o˙zniczkowalne w pewnym otoczeniu
punktu x
0
oraz lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
g(x) = ∞ i istnieje granica
lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
(sko´
nczona lub nie) to istnieje te˙z granica
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
Powy˙zsze dwa twierdzenia odnosz
,
a si
,
e te˙z do granic jednostronnych i granic
w niesko´
nczono´
sci.
16
8
Pochodne wy ˙zszych rz
,
ed´
ow
Definicja 8.1 Je˙zeli pochodna f
0
funkcji f jest r´
o˙zniczkowalna na zbiorze E, to
jej pochodn
,
a nazywamy drug
,
a pochodn
,
a funkcji f i oznaczamy symbolem f
00
.
Og´
olnie, je˙zeli pochodna n-tego rz
,
edu funkcji f jest r´
o˙zniczkowalna na pewnym
zbiorze E, to jej pochodn
,
a nazwiemy pochodn
,
a n + 1-go rz
,
edu (lub n + 1-
wsz
,
a pochodn
,
a) funkcji f .
Twierdzenie 8.1 Warunek wystarczaj
,
acy istnienia ekstremum funkcji
(2) Je˙zeli funkcja f : (a, b) → R,
x
0
∈ (a, b), f jest r´
o˙zniczkowalna w pewnym
otoczeniu punktu x
0
, przy czym f
0
(x
0
) = 0 oraz jest dwukrotnie r´
o˙zniczkowalna
w x
0
, przy czym f
00
(x
0
) > 0 to f posiada w x
0
minimum lokalne.
Definicja 8.2 Niech f : (a, b) → R. Powiemy, ˙ze funkcja f jest wypuk la na
przedziale (a, b), je˙zeli dla dowolnych p, q ∈ (a, b) i dla dowolnej liczby λ ∈ (0, 1)
zachodzi warunek:
f
λ · p + (1 − λ) · q
< λ · f (p) + (1 − λ) · f (q).
Definicja 8.3 Niech f : (a, b) → R. Powiemy, ˙ze funkcja f jest wkl
,
es la na
przedziale (a, b), je˙zeli dla dowolnych p, q ∈ (a, b) i dla dowolnej liczby λ ∈ (0, 1)
zachodzi warunek:
f
λ · p + (1 − λ) · q
> λ · f (p) + (1 − λ) · f (q).
17
Twierdzenie 8.2 (warunek wystarczaj
,
acy wypuk lo´
sci funkcji) Niech f : (a, b) →
R b
,
edzie funkcj
,
a dwukrotnie r´
o˙zniczkowaln
,
a w (a, b). Je˙zeli f
00
(x) > 0 dla
ka˙zdego x ∈ (a, b), to f jest wypuk la na (a, b).
Twierdzenie 8.3 (warunek wystarczaj
,
acy wkl
,
es lo´
sci funkcji) Niech f : (a, b) →
R b
,
edzie funkcj
,
a dwukrotnie r´
o˙zniczkowaln
,
a w (a, b). Je˙zeli f
00
(x) < 0 dla
ka˙zdego x ∈ (a, b), to f jest wkl
,
es la na (a, b).
Definicja 8.4 Niech f : (a, b) → R, i niech x
0
∈ (a, b). Powiemy, ˙ze wykres
funkcji f ma w x
0
punkt przegi
,
ecia (lub, ˙ze punkt (x
0
, f (x
0
)) jest punktem
przegi
,
ecia wykresu funkcji f ) je˙zeli:
1. Funkcja f ma w x
0
pochodn
,
a (niekoniecznie sko´
nczon
,
a.)
2. Funkcja f jest ci
,
ag la w x
0
.
3. f jest wypuk la (wkl
,
es la) w pewnym przedziale (x
0
− , x
0
) i wkl
,
es la (wy-
puk la) w pewnym przedziale (x
0
, x
0
+ ) dla pewnego > 0.
Twierdzenie 8.4 (warunek konieczny istnienia punktu przegi
,
ecia) Je˙zeli f :
(a, b) → R jest dwukrotnie r´
o˙zniczkowalna w punkcie x
0
i ma tam punkt
przegi
,
ecia to f
00
(x
0
) = 0.
Definicja 8.5 O funkcji f : (a, b) → R powiemy, ˙ze jest klasy C
n
, je˙zeli jest ona
n krotnie r´
o˙zniczkowalna na (a, b), a jej n-ta pochodna jest ci
,
ag la. O funkcjach,
kt´
ore nale˙z
,
a do cz
,
e´
sci wsp´
olnej wszystkich klas C
n
powiemy, ˙ze s
,
a klasy C
∞
.
Przyk lad 8.1 Nie ka˙zda funkcja r´
o˙zniczkowalna jest klasy C
1
. Niech np.
f (x) =
(
x
2
sin(
1
x
)
gdy
x 6= 0
0
gdy
x = 0
W´
owczas f jest r´
o˙zniczkowalna na ca lej prostej, lecz jej pochodna nie ma granicy
w punkcie 0 (a tym samym nie jest ci
,
ag la).
18
9
Funkcja pierwotna i ca lka nieoznaczona
Definicja 9.1 Niech f, F : (a, b) → R. Powiemy, ˙ze F jest funkcj
,
a pierwotn
,
a
funkcji f na przedziale (a, b), je˙zeli F jest r´
o˙zniczkowalna i
F
0
(x) = f (x)
dla
x ∈ (a, b).
Przyk lad Funkcje F (x) = ln(x) i G(x) = ln(8x) maj
,
a na przedziale (0, ∞)
t
,
e sam
,
a pochodn
,
a :
F
0
(x) = G
0
(x) =
1
x
zatem funkcja
1
x
posiada dwie r´
o˙zne funkcje pierwotne.
Niech F b
,
edzie funkcj
,
a pierwotn
,
a funkcji f na przedziale (a, b), i niech
G(x) = F (x) + C dla x ∈ (a, b), gdzie C jest dowoln
,
a sta l
,
a. W´
owczas, jak
latwo zauwa˙zy´
c, G te˙z jest pierwotn
,
a funkcji f na (a, b). Prawdziwe te˙z jest
twierdzenie odwrotne:
Twierdzenie 9.1 Je˙zeli F i G s
,
a pierwotnymi tej samej funkcji f na przedziale
(a, b) to istnieje taka sta la C, ˙ze G(x) = F (x) + C dla x ∈ (a, b).
Dow´
od tego twierdzenia opiera si
,
e wprost na wnioskach z tw. Lagrange’a.
Definicja 9.2 Niech f : (a, b) → R. Ca lk
,
a nieoznaczon
,
a z funkcji f na (a, b)
nazywamy rodzin
,
e wszystkich jej funkcji pierwotnych na tym przedziale. Ca lk
,
e
nieoznaczon
,
a b
,
edziemy zapisywa´
c nast
,
epuj
,
aco
Z
f (x) dx.
Zgodnie z ostatnim twierdzeniem, znaj
,
ac jedn
,
a funkcj
,
e pierwotn
,
a funkcji f
mo˙zemy uzyska´
c wszystkie, dodaj
,
ac dowolne sta le. St
,
ad, je˙zeli F jest pierwotn
,
a
funkcji f na (a, b), b
,
edziemy pisa´
c
Z
f (x) dx = F (x) + C.
19
Tym samym szukanie ca lki nieoznaczonej sprowadza si
,
e do szukania pewnej
funkcji pierwotnej.
Uwaga - podkre´
sli´
c trzeba, ˙ze ostatnie twierdzenia odnosz
,
a si
,
e tylko do sy-
tuacji, gdy f okre´
slona jest na przedziale.
10
Podstawowe ca lki
Poni˙zej zamieszczam podstawowe wzory pomocne w ca lkowaniu. Ka˙zdy z nich
obowi
,
azuje na dowolnym przedziale zawartym w dziedzinie funkcji podca lkowej.
Z
0 dx
=
C
(1)
Z
1 dx
=
x + C
(2)
Z
x
α
dx
=
1
α + 1
x
α+1
+ C
o ile α 6= −1
(3)
Z
1
x
dx
=
ln |x| + C
(4)
Z
e
x
dx
=
e
x
+ C
(5)
Z
a
x
dx
=
1
ln a
a
x
+ C
gdzie a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞)
(6)
Z
sin x dx
=
− cos x + C
(7)
Z
cos x dx
=
sin x + C
(8)
Z
1
sin
2
x
dx
=
−ctgx + C
(9)
Z
1
cos
2
x
dx
=
tgx + C
(10)
Z
1
1 + x
2
dx
=
arctgx + C
(11)
Z
1
√
1 − x
2
dx
=
arcsin x + C
(12)
20
Twierdzenie 10.1 Niech f i g posiadaj
,
a funkcje pierwotne na przedziale (a, b).
W´
owczas f + g te˙z posiada funkcj
,
e pierwotn
,
a, i
Z
f (x) + g(x) dx
=
Z
f (x) dx +
Z
g(x) dx.
Je˙zeli k 6= 0 jest sta l
,
a, to
Z
kf (x) dx
=
k
Z
f (x) dx.
21
11
Ca lkowanie przez podstawienie i przez cz
,
e´
sci.
Twierdzenie 11.1 O ca lkowaniu przez podstawienie Je˙zeli
1. funkcja g jest ci
,
ag la na przedziale [α, β],
2. funkcja h jest klasy C
1
na przedziale [a, b]
3. funkcja h przekszta lca przedzia l [a, b] na przedzia l [α, β]
to je˙zeli G(t) jest funkcj
,
a pierwotn
,
a funkcji g na [α, β], to funkcja G(h(x)) jest
pierwotn
,
a funkcji (g(h(x)) · h
0
(x)) na przedziale [α, β].
Twierdzenie 11.2 O ca lkowaniu przez cz
,
e´
sci Je˙zeli funkcje f i g s
,
a klasy
C
1
na pewnym przedziale, w´
owczas na tym przedziale
Z
f (x)g
0
(x) dx = f (x)g(x) −
Z
f
0
(x)g(x) dx.
22
12
Ca lka oznaczona Riemanna
Definicja 12.1 Niech [a, b] - przedzia l domkni
,
ety i ograniczony.
Dowolny
sko´
nczony ci
,
ag P : (x
i
)
i=0,1...n
taki, ˙ze
a = x
0
< x
1
< x
2
· · · < x
n
= b
nazywamy podzia lem przedzia lu [a, b]. Liczb
,
e
δ(P ) =
max
i=1...n
(x
i
− x
i−1
)
nazwiemy w´
owczas ´
srednic
,
a podzia lu P.
Definicja 12.2 Rozwa˙zmy teraz ci
,
ag (P
m
)
m∈N
podzia l´
ow przedzia lu [a, b].
Je˙zeli lim
m→∞
δ(P
m
) = 0, to ci
,
ag (P
m
) b
,
edziemy nazywa´
c normalnym.
Definicja 12.3 Niech f : [a, b] → R gdzie [a, b] - przedzia l domkni
,
ety i ogra-
niczony. Niech P
: (x
i
)
i=0,1...n
b
,
edzie dowolnym podzia lem przedzia lu [a, b].
W ka˙zdym przedziale typu [x
i
, x
i+1
] wybierzmy dowolny punkt ¯
x
i
- tzw. punkt
po´
sredni. W´
owczas liczb
,
e
S =
n−1
X
i=0
f (¯
x
i
)(x
i+1
− x
i
)
nazwiemy sum
,
a ca lkow
,
a Riemanna funkcji f, liczon
,
a dla podzia lu P i ci
,
agu
punkt´
ow po´
srednich (¯
x
i
).
Definicja 12.4 Je˙zeli dla dowolnego normalnego ci
,
agu podzia l´
ow P
m
i przy
dowolnym wyborze punkt´
ow po´
srednich istnieje sko´
nczona granica ci
,
agu S
m
odpowiednich sum ca lkowych funkcji f, to liczb
,
e t
,
e naywamy ca lk
,
a oznaczon
,
a
Riemanna z funkcji f i oznaczamy przez
Z
b
a
f (x) dx.
23
W tej sytuacji funkcj
,
e f nazywamy ca lkowaln
,
a w sensie Riemanna na przedziale
[a, b].
Przyj
,
eto ponadto nast
,
epuj
,
ac
,
a konwencj
,
e:
Z
a
b
f (x) dx = −
Z
b
a
f (x) dx
oraz
Z
a
a
f (x) dx = 0.
Twierdzenie 12.1 Je˙zeli f jest ca lkowalna na przedziale [a, b] to jest te˙z
ca lkowalna na dowolnym jego podprzedziale. Co wi
,
ecej, je˙zeli c ∈ [a, b] to
Z
c
a
f (x) dx +
Z
b
c
f (x) dx =
Z
b
a
f (x) dx.
Twierdzenie 12.2 Je˙zeli f jest ca lkowalna na przedziale [a, b] to jest tam ogra-
niczona.
Twierdzenie 12.3 Je˙zeli f jest ograniczona na przedziale [a, b] i ma tam
sko´
nczon
,
a liczb
,
e punkt´
ow nieci
,
ag lo´
sci to f jest ca lkowalna w sensie Riemanna
na [a, b]. W szczeg´
olno´
sci ka˙zda funkcja ci
,
ag la na [a, b] jest tam ca lkowalna.
13
Ca lka oznaczona Newtona
Definicja 13.1 Niech f : I → R posiada na przedziale I funkcj
,
e pierwotn
,
a F.
W´
owczas dla dowolnych a, b ∈ I liczb
,
e
(N )
Z
b
a
f (x) dx
=
F (b) − F (a)
b
,
edziemy nazywa´
c ca lk
,
a oznaczon
,
a Newtona z f w granicach a i b.
24
Twierdzenie 13.1 G l´
owne twierdzenie rachunku ca lkowego. Je˙zeli f : [a, b] →
R jest ci
,
ag la to
Z
b
a
f (x) dx
=
(N )
Z
b
a
f (x) dx.
Niech f b
,
edzie funkcj
,
a ca lkowaln
,
a na [a, b]. Mo˙zemy rozwa˙za´
c funkcj
,
e
F (x) =
Z
x
a
f (t) dt
dla
x ∈ [a, b],
nazywan
,
a funkcj
,
a g´
ornej granicy ca lkowania.
Twierdzenie 13.2 Je˙zeli f jest ci
,
ag la na [a, b], to funkcja
F (x) =
Z
x
a
f (t) dt
jest r´
o˙zniczkowalna, i F
0
(x) = f (x) dla x ∈ (a, b).
14
Ca lki niew la´
sciwe
Stosowanie symbolu ca lki oznaczonej mo˙zemy rozszerzy´
c, uwzgl
,
edniaj
,
ac sy-
tuacje, w kt´
orych funkcja podca lkowa nie jest okre´
slona w kt´
orej´
s z granic
ca lkowania:
Definicja 14.1
1. Niech f : [a, b) → R gdzie b jest liczb
,
a sko´
nczon
,
a lub r´
own
,
a +∞. Za l´
o˙zmy,
˙ze f jest ca lkowalna na ka˙zdym przedziale postaci [a, β] gdzie β < b. Je˙zeli
istnieje granica
lim
β→b
Z
β
a
f (t) dt
to nazywamy j
,
a ca lk
,
a niew la´
sciw
,
a z f na [a, b), i oznaczamy przez
Z
b
a
f (t) dt.
Je˙zeli ca lka taka jest sko´
nczona, to nazywamy j
,
a te˙z zbie˙zn
,
a.
2. Analogicznie definiujemy ca lk
,
e niew la´
sciw
,
a w sytuacji, w kt´
orej funkcja f
nie jest okre´
slona dla lewej granicy ca lkowania a.
25
3. Niech teraz f : (a, b) → R b
,
edzie ca lkowalna na ka˙zdym sko´
nczonym
przedziale [p, q] ⊂ (a, b). W´
owczas
Z
b
a
f (t) dt =
Z
c
a
f (t) dt +
Z
b
c
f (t) dt,
o ile OBIE ca lki po prawej stronie istniej
,
a.
4. Niech wreszcie f : [a, c) ∪ (c, b] → R. W´
owczas
Z
b
a
f (t) dt =
Z
c
a
f (t) dt +
Z
b
c
f (t) dt,
o ile OBIE ca lki po prawej stronie istniej
,
a.
26
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
pochodne i całki
6 - spr pochodne i calki (2) dla ZSZ-PF34 - pl 4[1], Pomoce naukowe SGSP, Moje Dokumenty, Matematyka
Pochodne, całki
Granice funkcji - pochodne, Prywatne, matna
Pochodne i całki wzory
Pochodne Całki
zestaw 2 pochodne, całki
13 GRANICA CIAGLOSC POCHODNA, szkola technikum, matma, mata, zadania z liceum
Matematyka - pochodne + całki + liczby zespolone, STUDIA
lista7 granica, ciaglosc i pochodna funkcji
ściąga pochodne i całki wzory, pwr
pochodne i calki
zagadnienia, punkt 17, XVII Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Lebesgue'a
pochodne i całki wzory przypomnienie
Wzory! Pochodne,?łki, Granica?'Hospitala,Pochodna z?finicji
pochodne i całki
pochodne i całki wzory przypomnienie
więcej podobnych podstron