Marian OSTWALD

PODSTAWY MECHANIKI

MECHANIKA TECHNICZNA

DLA STUDENTÓW

KIERUNKÓW NIEMECHANICZNYCH

Materiały z wykładów

Wersja 04

Maj 2010

Politechnika Poznańska

01 Wprowadzenie do mechaniki

2

SPIS TREŚCI

1. Wprowadzenie ................................................................................. 1

2. Statyka ........................................................................................... 10

3. Statyka

– przykłady do rozwiązania ............................................... 38

4. Kinematyka .................................................................................... 39

5. Dynamika ....................................................................................... 63

6. Drgania

– wprowadzenie ............................................................... 82

7.

Wytrzymałość materiałów – charakterystyka ................................. 87

8.

Pręty, układy prętów ....................................................................... 91

9.

Momenty bezwładności ................................................................ 102

10.

Stany naprężenia i odkształcenia. Hipotezy wytrzymałościowe ... 108

11.

Skręcanie wałów okrągłych .......................................................... 110

12. Zginanie belek .............................................................................. 117

13.

Wytrzymałość złożona ................................................................. 135

14. Zagadnienia wybrane ................................................................... 141

Opanowanie

materiału z przedmiotu MECHANIKA TECHNICZNA wymaga

działań na dwóch płaszczyznach:
– poznanie i zrozumienia podstaw teoretycznych,
– nabycie praktycznych umiejętności posługiwaniem się wiedzą teoretyczną.

Podstawy teoretyczne to przede wszystkim przyswojenie i zrozumienie

podstawowych pojęć związanych z przedmiotem, nabycie umiejętności kojarze-
nia oraz zastosowania omawianych zagadnień. To również „wiedza” o tym,
gdzie w lite

raturze można znaleźć szczegółowe informacje (wzory, procedury,

przykłady).

Niniejszy materiał zawiera materiał prezentowany na wykładach i stanowi

rodzaj przewodnika

umożliwiający opanowanie podstaw teoretycznych. Umie-

jętności praktyczne nabyć można poprzez analizę przykładów liczbowych, a
przede wszystkim przez SAMODZIELNE ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ. Cechą
zawodu

inżyniera jest praktyczne wykorzystywanie swojej wiedzy i umiejętności

w działalności zawodowej, stąd studiowanie MECHANIKI TECHNICZNEJ wy-
maga uwzględnienia obu tych aspektów.

LITERATURA

UZUPEŁNIAJACA

[1] Kozak B.: Mechanika techniczna. WSiP, Warszawa2004.
[2]

Niezgodziński T.: Mechanika ogólna. Wydawnictwo Naukowe PWN, War-
szawa 1999

[3]

Ostwald M.: Podstawy wytrzymałości materiałów. Wydawnictwo Politechniki
Poznańskiej, Poznań 2007.

[4] Ostwald M.:

Wytrzymałość materiałów. Zbiór zadań. Wydawnictwo Poli-

techniki Poznańskiej, Poznań 2008

[5] Siuta W.: Mechanika techniczna. WSiP, Warszawa.

01 Wprowadzenie do mechaniki

3

MECHANIKA TECHNICZNA

Struktura przedmiotu

MECHANIKA

TEORETYCZNA (OGÓLNA)

Fizyka

Matematyka

Mechanika

relatywistyczna

(skala makro, E = mc

2

)

Mechanika

kwantowa

(skala mikro, chaos)

MECHANIKA

STOSOWANA (TECHNICZNA)

(newtonowska)

MECHANIKA
PŁYNÓW:
- hydromechanika
- aeromechanika

MECHANIKA

GRUNTÓW

(budownictwo)

MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO:

- dynamika

- kinematyka

-

statyka

Doświadczenie

Obserwacja

rzeczywistości

Metody i pojęcia

matematyki

do badania zjawisk

MECHANIKA CIAŁ STAŁYCH

WYTRZYMAŁOŚĆ

MATERIAŁÓW:

MECHANIKA CIAŁ

ODKSZTAŁCALNYCH:

- teoria sprężystości
- teoria plastyczności
- reologia
- .............

Mechanika należy do najstarszych dziedzin ludzkiej aktywności. Początki mecha-

niki sięgają starożytnego Babilonu, starożytnej Grecji, Egiptu i Rzymu. Podstawy me-
chaniki jako nauki ścisłej w starożytności tworzyli m. in. Arystoteles ((384-322 p.n.e.),
Archimedes (287-212 p.n.e) i Ptolemeusz (II w n.e.). G

wałtowny rozwój mechaniki na-

stąpił w średniowieczu i związany jest z takimi nazwiskami jak Leonardo da Vinci (1452
-1519), Galieo Galilei (Galileusz 1564-1642), Ren

é Descarte (Kartezjusz 1596-1650)

Isaac Newton (1642-1727, autor "Philosophiae naturalis principia mathematica", Lon-
dyn, 1687r.), Pierre Varigon (1654-1722), Jan Bernoulli (1667-1748),

Michał Łomono-

sow (1711-1765), Leonard Euler (1701-1783), Jean D'Alambert (1717-1783), Ludwig
Lagrange (1737-1813) i wielu innych.

Twórcami mechaniki kwantowej byli m. in. Max

Planck (1858-1947) i Erwin Schr

ödinger (1887-1961), mechaniki relatywistycznej jest

Albert Einstein (1879-1955).

Spośród polskich uczonych którzy wnieśli znaczący wkład do rozwoju mechaniki

na

leży wymienić Mikołaja Kopernika (1473-1543), Feliksa Jasińskiego (1856-1899),

Maksymiliana Tytusa Hubera (1872-1950), Stefana Banacha (1895-1945) i innych.

01 Wprowadzenie do mechaniki

4

MECHANIKA TECHNICZNA

Mechanika jest dziedziną nauki zajmującą się badaniem ru-
chu i równowagi ciał materialnych. Ciało materialne jest
myślowym uproszczeniem ciała rzeczywistego. Modele:



punkt materialny



u

kład punktów materialnych



c

iało sztywne

TRADYCYJNY PODZIAŁ MECHANIKI:



STATYKA

– badanie warunków równowagi ciał w spo-

czynku.



KINEMATYKA

– badanie ruchu ciał bez analizy przyczyn

tego ruchu.



DYNAMIKA

– analiza oddziaływań między ciałami oraz

ich skutków.

Ciało doskonale sztywne stanowi przybliżony model cia-

ła stałego i wystarcza do rozwiązywania wielu ważnych
w

praktyce inżynierskiej przypadków ruchu i równowagi.

Podstawowe jednostki miar wielkości fizycznych

układ SI



długość: metr

m



masa: kilogram

kg



czas: sekunda

s



natężenie prądu: amper

A



temperatura: kelwin

K



ilość materii: mol

mol



światłość: kandela

cd



kąt płaski: radian

rd



kąt bryłowy: steradian

sr

Jednostki pochodne w mechanice:

prędkość =

długość (droga)

m

czas

s

praca =

siła



długość (droga)

N



m

moc

=

praca

N



m

= W

czas

s

01 Wprowadzenie do mechaniki

5

SKALARY

Liczby mianowane

Skalary są pojęciami opisującymi wartość liczbową wielkości fizycznej (me-

chanicznej)

poprzez porównanie jej ze wzorcem (np. długość, masa, temperatu-

ra, praca, moc itp.). Ska

larami są także wartości liczbowe (moduły) wektorów.

WEKTORY



wartość liczbowa (moduł)



kierunek w przestrzeni



zwrot na kierunku działania



punkt przyłożenia.

P

Kierunek działania

Zwrot

Wartość liczbowa (moduł)

Punkt przyłożenia

Wektor siły skupionej

Wektor jest obiektem geometrycznym opisanym za pomocą ww. czterech

parametrów. Przykłady wektorów: siła, moment siły, pęd, prędkość, przyspie-
szenie i. in.

RACHUNEK WEKTOROWY

Dział matematyki (geometrii analitycznej), analizujący działania na wekto-

rach (uogólnienia skalara) oraz tzw. tensorach (uogólnienie pojęcia wektora).
Rachune

k wektorowy jest bardzo przydatny w rozwiązywaniu wielu zagadnień

z mechaniki.

PODSTAWOWE POJĘCIA MECHANIKI

SIŁA – wynik wzajemnego mechanicznego oddzia-

ływania na siebie ciał (oddziaływanie bezpośrednie).



Siły zewnętrzne czynne i bierne (reakcje), wewnętrzne



Siły skupione, rozłożone liniowo, powierzchniowo, obję-
tościowo

Szersza definicja:

siła to wynik oddziaływań fizycznych ciał na siebie.

Pozwala to na wprowadzenie pojęcia sił elektrodynamicznych (magnetycznych),
działających na przewodniki umieszczone w polu magnetycznym, przez które
płynie prąd elektryczny, (maszyny elektryczne). Jest oddziaływanie pośrednie
(inny przykład – oddziaływanie magnesów).

01 Wprowadzenie do mechaniki

6

CIAŁA SWOBODNE

Stopnie swobody

CIAŁA NIESWOBODNE

Więzy (ograniczenia) ograniczające ruch

CIAŁA SWOBODNE

Ciało swobodne może się przemieszczać dowolnie w przestrzeni. W przy-

padku ogólnym ciało swobodne ma sześć stopni swobody. Oznacza to, że
mo

że się przemieszczać liniowo w trzech kierunkach oraz obracać względem

trzech osi.

CIAŁA NIESWOBODNE

Ciało nieswobodne nie ma możliwości dowolnego (swobodnego) prze-

mieszczania się w przestrzeni. Przemieszczanie ciała jest ograniczone przez
nałożone na ciało więzy.

Więzy (ograniczenia) ograniczające ruch

Przykłady podpór ruchomych w statyce

01 Wprowadzenie do mechaniki

7

Przykłady podpór nieruchomych w statyce

Przykłady podparcia konstrukcji oraz reakcje podporowe:

a) pręt spoczywający na podłożu, b) podparcie przegubowe nieprzesuwne,

c) podparcie przegubowe przesuwne, d) ostrze, e) utwierdzenie, f) tuleja prze-

suwna, g) przegub po

średni

PODSTAWOWE WIĘZY W MECHANICE

Przegub ruchomy

Przegub nieruchomy

Utwierdzenie

01 Wprowadzenie do mechaniki

8

Podstawą mechaniki są trzy prawa Newtona, sformuło-

wane w 1687 r., mające fundamentalne znaczenie

w

mechanice i wytrzymałości materiałów.

I prawo Newtona

(prawo

bez

władności)

Punkt materialny, na który nie działa
żadna siła, pozostaje w spoczynku lub
porusza się ruchem jednostajnym po
linii prostej.

Właściwość ciał materialnych, polegająca na zachowy-

waniu swego stanu

– ruchu jednostajnego prostoliniowego,

a w szc

zególności stanu spoczynku, nazywa się bezwład-

nością.

II prawo Newtona

(prawo

zmienności ruchu)

Przyspieszenie punktu materialnego
jest pro

porcjonalne do siły działającej

na ten punkt i ma kie

runek siły.

Matematycznie II prawo Newtona zapisuje się w postaci
wektorowej:

P

=

a

m





,

gdzie m jest współczynnikiem proporcjonalności zwanym
masą. Masa jest miarą bezwładności, czyli właściwości
materii polegającej na tendencji do zachowywania stanu ru-
chu lub spoczynku. Masa jest wielkością skalarną charakte-
ryzującą ciało.

III prawo Newtona

(prawo akcji

i reakcji)

Siły wzajemnego oddziaływania

dwóch punktów materialnych są rów-

ne co do wartości i są przeciwnie

skierowane wzdłuż prostej łączącej

oba punkty.

01 Wprowadzenie do mechaniki

9

ZAKRES ZASTOSOWANIA MECHANIKI NEWTONA

(NIUTONOWSKIEJ)

Mechanika oparta o prawa Newtona w zupełności wystar-
cza do opisu wszystkich zjawisk mechanicznych, w których
występują prędkości znacznie niższe od prędkości światła
– dotyczy to inżynierskich zastosowań mechaniki w budo-
wie maszyn i budownictwie.

JEDNOSTKI MASY I SIŁY

2

2

s

m

kg

1

s

m

1

kg

1

N

1

niuton

1











1 kN = 10

3

N,

1 MN = 10

3

kN = 10

6

N

ZWIĄZEK MIĘDZY MASĄ A CIĘŻAREM

Siła ciężkości – siła z jaką Ziemia przyciąga

dane ciało materialne

Ciężar ciała = masa



przyspieszenie ziemskie

G = m



g

g = 9,81 m/s

2

m



g = 1kg



9,81 m/s

2

= 9,81 kg



m/s

2

= 9,81 N

Ciężar ciała o masie 1 kg wynosi 9,81 N.

ZWIĄZEK MIĘDZY MASĄ I CIĘŻAREM

Ciało 1: ciężar G

1

, masa m

1

Ciało 2: ciężar G

2

, masa m

2

G

1

= m

1



g,

G

2

= m

2



g,

2

1

2

1

m

m

G

G



Stosunek dwóch ciężarów jest równy stosunkowi ich mas.

Jest to podstawa pomiaru masy ciała za pomocą ważenia

(porównania ze wzorcem).