Wrocław, 27 maja 2010

Lista zadań i poleceń nr 2

Statystyka Matematyczna

II rok Technologii Żywności i Żywienia (semestr IV, studia stacjonarne 1-go stopnia)

Estymacja punktowa, przedziałowa i testowanie hipotez statystycznych dla
parametrów μ i σ

2

w rozkładzie normalnym N(μ ; σ

2

).

1. Jak szacować (estymować) parametry μ i

σ

2

w oparciu o próbę statystyczną rozmiaru n ?

Podać ich podstawowe własności statystyczne.

2. Przy założeniu, że próba pochodzi z rozkładu normalnego o znanej wariancji

σ

2

, podać

minimalną liczbę obserwacji n

0

, która gwarantuje uzyskanie zadanej dokładności d jednostek

pomiarowych, dla oszacowania wartości oczekiwanej μ z prawdopodobieństwem równym 1-

α.

Zadania
Uwaga! Zgodnie z rozważaniami teoretycznymi rozkład dwumianowy b(n,p) można przybliżać
korzystając z rozkładu normalnego. Liczba obserwacji n, dla której to postępowanie daje korzystne
wyniki spełnia nierówność n

min

≥ 2/[3(p(1-p))

2

] .

1. Przypuśćmy, że p=0.25. Jakie jest prawdopodobieństwo, że frakcja z próby kolejno o

rozmiarach n=25, 100, 200, 500, 1000 mieści się w przedziale 0.23

± 1% ? A jak to

prawdopodobieństwo przedstawia się dla p=0.23? Gdyby w próbie o ślicznościach n=25, 100,
200, 500, 1000 pojawiła się frakcja 0.23

± 1%, to za bardziej słuszne założenie, przyjąłbyś

p=0.25 czy p=0.23 ?

2. Załóżmy, że pewna cecha X ma rozkład normalny N(μ,

σ).

a) Dla których z podanych rozkładów: N(0, 1), N(0, 2), N(1, 1) wartość cechy X częściej
przekracza 1?

b) Przyjmują, że X ma rozkład normalny N(1, 2) oblicz:

i) P(0< X<1) ii) P(X>2) iii) P(X<-2.5) iv) P(|X|

≥3) .

3. Wynik pomiaru odległości obarczony jest błędem b systematycznym i błędem X

przypadkowym. W pewnych pomiarach geodezyjnych błąd systematyczny b=50 mm (polegał
on na podawaniu odległości większej niż rzeczywista). Załóżmy teraz, że błąd przypadkowy
jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(0, 100mm). Błędy te sa niezależne i błąd
całkowity Y można traktować jako sumę tych błędów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że:

a) |Y| < 100mm
b) odczytany wynik pomiaru nie przekracza wartości mierzonej wielkości.

4. Badając cechy morfologiczne roślin pewnego gatunku uprawnego trawy, uzyskano następujące
szerokości liścia flagowego (w mm):
4.4 3.7 3.9 3.6 4.7 3.3 4.7 3.4 4.4 4.0 3.0 4.6 4.3 5.1 4.4 4.1 .
Na poziomie istotności

α=0.05 zweryfikować hipotezę, że przeciętna szerokość liścia nie

przekracza 0.5 cm. Przyjąć założenie o rozkładzie normalnym badanej cechy.

5. Plony skrobi (w t/ha) dla pewnej odmiany ziemniaka przedstawiają się następująco:
5.9 5.3 6.3 5.8 6.0 6.4 5.4 6.4 6.7 6.6 6.4 5.0 6.2 5.2 5.9 5.8 5.5 5.1.
Czy odmiana ta zapewnia przeciętny plon 6.5 tony skrobi z hektara? Wnioskować na poziomie
istotności

α=0.02. Odpowiedz dodatkowo na postawione wyżej pytanie za pomocą przedziału

ufności na poziomie ufności 1-

α.

6. Masy ziarniaków (w g) z pojedynczych roślin dwóch odmian C oraz M pszenżyta jarego w
doświadczeniu wazonowym przedstawiały się następująco:
odmiana C : 3.1 2.5 4.2 5.8 4.4 5.2
odmiana M : 5.1 6.8 5.8 4.3 7.7 5.3 .

Na poziomie istotności

α=0.01 zweryfikować hipotezę, że odmiany te nie różnią się przeciętną

masą ziarniaków z rośliny. Przyjąć, że warunek jednorodności wariancji jest spełniony.
Jak to zadanie rozwiązać, poprzez analizę porównawczą danych przy zastosowaniu przedziałów
ufności na odpowiednim poziomie ufności 1-

α?

Opracował dr Andrzej Michalski