ALGEBRA

Kolokwia przyk÷

adowe 2014/15

K1 - Liczby zespolone, rachunek macierzowy

1.

Rozwi ¾

aza´c równanie w dziedzinie zespolonej:

(a)

z

2

+ (2i

1) z

i = 0

(b)

z

3

i = 0

2.

Obliczy´c:

(a)

Obliczy´c

1 + i

p

3

35

(b)

Naszkicowa´c na p÷

aszczy´znie zespolonej zbiór punktów spe÷

niaj ¾

acych warunek: Im

i

z

< 1

.

3.

Obliczy´c wyznacznik:

3

1

1

0

1 0

1

2

1

3

1

1

2 1

2

1

:

4. (a)

Wyznaczy´c

1

2

0

3

1

(b)

Rozwi ¾

aza´c równanie macierzowe:

1

2

0

3

X = 2

1

0

T

+ X

5. (a)

Pytanie teoretyczne (1)

(b)

Pytanie teoretyczne (2)

Kolokwium 1: Musz ¾

a by´c zaliczone zadania: 1a, 2a, 3, 4a, 5-jeden podpunkt.

Przyk÷

ady pyta´

n teoretycznych (1):

1. Poda´c de…nicj ¾

e postaci kartezja´nskiej i trygonometrycznej liczby zespolonej.

2. Poda´c de…nicj ¾

e i interpretacj ¾

e geometryczn ¾

a modu÷

u liczby zespolonej.

3. Poda´c de…nicj ¾

e i interpretacj ¾

e geometryczn ¾

a argumentu liczby zespolonej.

4. Poda´c de…nicj ¾

e i interpretacj ¾

e geometryczn ¾

a sprz ¾

e·

zenia liczby zespolonej.

5. Poda´c de…nicj ¾

e i interpretacj ¾

e geometryczn ¾

a pierwiastków n-tego stopnia z liczby zesp. z.

6. Sformu÷

owa´c zasadnicze twierdzenie algebry.

Przyk÷

ady pyta´

n teoretycznych (2):

1. Poda´c cztery wybrane w÷

asno´sci wyznaczników.

2. Sformu÷

owa´c cztery wybrane w÷

asno´sci dzia÷

a´n na macierzach.

3. Sformu÷

owa´c de…nicj ¾

e i dwie w÷

asno´sci macierzy transponowanej.

4. Sformu÷

owa´c de…nicj ¾

e i dwie w÷

asno´sci macierzy odwrotnej.

5. Poda´c cztery w÷

asno´sci rz ¾

edów macierzy.

K2 - Uk÷

ady równa´

n, geometria analityczna w

R

3

; przekszta÷

cenia liniowe

1.

Rozwi ¾

aza´c uk÷

ad równa´n stosuj ¾

ac twierdzenie Cramera lub Kroneckera-Capellego:

(a)

x

2y + z + u = 0

2x + 4y

z + 4u = 2

(b)

8

<

:

x + y + 2z = 1
x + 2y + 3z = 2
2x

y + z =

1

2. (a)

Niech a = [ 2;

1; 1]

, b = [2; 0; 1]. Wyznaczy´c k ¾

at mi ¾

edzy wektorami a i b. Wskaza´c

dwa wektory równoleg÷

e do wektora a oraz wektor prostopad÷

y do a i b. Obliczy´c pole trójk ¾

ata

rozpi ¾

etego na wektorach a i b.

(b)

Napisa´c równanie p÷

aszczyzny

1

zawieraj ¾

acej punkt P = ( 3; 0; 2) i prostopad÷

ej do wek-

tora n = [2; 0; 1]. Sprawdzi´c, czy p÷

aszczyzna ta jest równoleg÷

a/ prostopad÷

a do p÷

aszczyzny

2

: 2x + y = 1

?

(c)

Napisa´c równania parametryczne, kierunkowe i kraw¾

edziowe prostej przechodz ¾

acej przez

punkty P = ( 1; 2; 1) i Q = (2; 0;

1)

.

3.

Niech

(x; y) = [x

2y; 3y]

. Wyznaczy´c macierz przekszta÷

cenia

, warto´sci w÷

asne przeksz-

ta÷

cenia

oraz wektory w÷

asne dla wybranej warto´sci w÷

asnej .

4. (a)

Pytanie teoretyczne (1)

(b)

Pytanie teoretyczne (2)

Kolokwium 2. Musz ¾

a by´c zaliczone zadania: 1-jeden podpunkt, 2-dwa podpunkty z trzech, 4-

jeden podpunkt.

Przyk÷

ady pyta´

n teoretycznych (1):

1. Sformu÷

owa´c twierdzenie Cramera.

2. Sformu÷

owa´c twierdzenie Kroneckera-Capellego.

3. Poda´c cztery w÷

asno´sci rz ¾

edu macierzy.

4. Poda´c de…nicj ¾

e uk÷

adu jednorodnego. Kiedy taki uk÷

ad posiada rozwi ¾

azanie niezerowe?

Przyk÷

ady pyta´

n teoretycznych (2):

1. Poda´c de…nicj ¾

e i dwie w÷

asno´sci iloczynu skalarnego.

2. Poda´c de…nicj ¾

e i dwie w÷

asno´sci iloczynu wektorowego.

3. Poda´c de…nicj ¾

e i dwie w÷

asno´sci iloczynu mieszanego.

4. Poda´c wzór na obj ¾

eto´s´c równoleg÷

o´scianu rozpi ¾

etego na trzech ró·

znych wektorach / pole

równoleg÷

oboku rozpi ¾

etego na dwóch wektorach.

5. Kiedy dwa wektory/ proste/ p÷

aszczyzny s ¾

a równoleg÷

e/prostopad÷

e?

6. Jak sprawdzi´c czy trzy punkty s ¾

a wspó÷

liniowe?

7. Jak sprawdzi´c czy trzy wektory s ¾

a wspó÷

p÷

aszczyznowe?