MO

Z4/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 13

1

Z4/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 13

Z4/13.1. Zadanie 13

Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku

Z4/13.1. Wymiary belki podane są w metrach.

A

B

C

D

18,0 kN

27,0 kN/m

6,0

2,0

2,0

[m]

Rys. Z4/13.1. Belka prosta

Z4/13.2. Analiza kinematyczna belki

Rysunek Z4/13.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę

sztywną.

1

2

3

I

A

C

D

Rys. Z4/13.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna

Tarcza sztywna na rysunku Z4/13.2 posiada trzy stopnie swobody. Jest ona podparta trzema prętami

podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem także trzy stopnie swobody. Został więc
spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4). Belka może więc być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.

Z4/13.3. Wyznaczenie reakcji podporowych

Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty.

Rysunek Z4/13.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki.

Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na

belkę na oś poziomą X.



X =H

A

=

0

H

A

=

0,0 kN

.

(Z4/13.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 13

2

A

B

C

D

18,0 kN

27,0 kN/m

6,0

2,0

2,0

[m]

V

A

H

A

V

C

X

Y

Rys. Z4/13.3. Założone zwroty reakcji podporowych

Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających

na belkę względem punktu C.



M

C

=

V

A

⋅

8,0−27,0⋅6,0⋅



2,0

1
2

⋅

6,0





18,0⋅2,0=0

V

A

=

96,75 kN

.

(Z4/13.2)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Pionową reakcję na podporze C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających

na belkę względem punktu A.



M

A

=−

V

C

⋅

8,027,0⋅6,0⋅

1
2

⋅

6,018,0⋅10,0=0

V

C

=

83,25 kN

.

(Z4/13.3)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił

działających na belkę na oś pionową Y.



Y =V

A



V

C

−

27,0⋅6,0−18,0=96,7583,25−162,0−18,0=0

.

(Z4/13.4)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się
w równowadze.

Rysunek Z4/13.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej

belki.

A

B

C

D

18,0 kN

27,0 kN/m

6,0

2,0

2,0

[m]

96,75 kN

83,25 kN

Rys. Z4/13.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 13

3

Z4/13.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB

Rysunek Z4/13.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

A

27,0 kN/m

x

96,75 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/13.5. Siły działające w przedziale AB

W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu

zginającego będziemy korzystali z dwóch następujących zasad:

•

siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać
z minusem

•

siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy
zapisywać z plusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy
zapisywać z minusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego
będziemy zapisywać z plusem.

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała

postać

q



x



=

27, 0

kN

m

.

(Z4/13.5)

Jak widać na rysunku Z4/13.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy z

równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta ma
postać

T



x



=

96,75−27,0⋅x

.

(Z4/13.6)

Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartości na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą

T



0,0



=

96,75 kN

T



6,0



=

96,75−27,0⋅6,0=−65,25 kN

.

(Z4/13.7)

Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału AB wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce
zerowe w tym przedziale. Znajduje się ono

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 13

4

96,75−27,0⋅x

0

=

0

x

0

=

3,583 m

(Z4/13.8)

od początku przedziału AB czyli od punktu A.

Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą

część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.

M



x



=

96,75⋅x−27,0⋅x⋅

x

2

=−

13,5⋅x

2



96,75⋅x

.

(Z4/13.9)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



3,583



=−

13,5⋅3,583

2



96,75⋅3,583=173,3 kNm

M



6,0



=−

13,5⋅6,0

2



96,75⋅6,0=94,5 kNm

.

(Z4/13.10)

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.20) i (4.21). Równania te mają postać

dT



x



dx

=−

27,0=−q



x



,

(Z4/13.11)

dM



x



dx

=

96,75−27,0⋅x=T



x



.

(Z4/13.12)

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek

Z4/13.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.

Z4/13.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC

Rysunek Z4/13.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

C

D

18,0 kN

x

2,0

[m]

83,25 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z4/13.6. Siły działające w przedziale BC

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 13

5

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.

Jak widać na rysunku Z4/13.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła
poprzeczna ma postać

T



x



=

18,0−83,25=−65,25 kN

.

(Z4/13.13)

Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać

M



x



=

83,25⋅x−18,0⋅



x2,0



=

65,25⋅x−36,0

.

(Z4/13.14)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=−

36,0 kNm

M



2,0



=

65,25⋅2,0−36,0=94,5 kNm

.

(Z4/13.15)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.29) i (4.30). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=

65,25=−T



x



.

(Z4/13.16)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek

Z4/13.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.

Z4/13.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD

Rysunek Z4/13.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

N(x)

T(x)

M(x)

D

x

18,0 kN

X

Rys. Z4/13.7. Siły działające w przedziale CD

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.

Jak widać na rysunku Z4/13.7 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła
poprzeczna ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 13

6

A

B

C

D

18,0 kN

27,0 kN/m

2,0

2,0

[m]

96,75 kN

83,25 kN

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

6,0

96

,75

65,25

18,0

0,

0

94

,5

36

,0

0,

0

3,583

2,417

3,583

2,417

17

3,3

Rys. Z4/13.8. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej

T



x



=

18,0 kN

.

(Z4/13.17)

Moment zginający w przedziale CD będzie miał postać

M



x



=−

18,0⋅x

.

(Z4/13.18)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=

0,0 kNm

M



2,0



=−

18,0⋅2,0=−36,0 kNm

.

(Z4/13.19)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania

równowagi (4.29) i (4.30). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=−

18,0=−T



x



.

(Z4/13.20)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/13. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 13

7

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek

Z4/13.8.

Z4/13.7. Wykresy sił przekrojowych

Rysunek Z4/13.8 przedstawia ostateczne wykresy funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego

w belce złożonej.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni