Ć w i c z e n i e 24

BADANIA REZONANSU W OBWODACH ELEKTRYCZ-

NYCH

24.1 Wstęp teoretyczny

Zjawisko rezonansu, które poniżej zostanie zdefiniowane, związane jest z „wymuszonymi drgania-
mi” układów drgających np. mechanicznych lub elektrycznych. Samo pojęcie drgań zostało opisane
w ćwiczeniach nr 4 i 5, gdzie badano drgania układów wytrąconych z równowagi i pozostawionych
samym sobie. W tych ćwiczeniach zdefiniowano pojęcia: okresu drgań, częstości drgań własnych,
drgania normalne, dudnienia. W ćwiczeniu 37 omówiono również drgania tłumione. Znajomość
tych pojęć jest niezbędna do zrozumienia efektu rezonansu. Pojęcie „wymuszenia drgań „ oznacza,
że obwód nie został wytrącony z równowagi i pozostawiony sam sobie, lecz przez cały czas działa
na niego siła. W rozważaniach na temat rezonansu będziemy badali, co się dzieje z układem, gdy
działa na niego siła harmoniczna np. F = F

0

cos(

ωt) i jak to działanie zależy od częstości siły wymu-

szającej w stosunku do częstości drgań własnych. Ze względu na łatwość techniczną realizacji w
ćwiczeniu badamy elektryczny układ rezonansowy.

a)

b)

Rys.24.1. Układ rezonansowy RLC; a- bez wymuszenia, b – z wymuszeniem.

Drgania tłumione. Rozważmy układ bez wymuszenia. W pewnym momencie na kondensatorze C
został zgromadzony ładunek q, a prąd płynący w obwodzie jest równy zeru. Następuje rozładowa-
nie kondensatora, zaczyna płynąć prąd określony zależnością:

dt

t

dq

i

)

(

=

(24.1)

Energia zgromadzona w kondensatorze zależy od zgromadzonego w nim ładunku:

C

q

E

C

2

2

=

(24.2)

Wraz z rozładowaniem kondensatora energia ta maleje, wzrasta natomiast energia pola magnetycz-
nego gromadzona w cewce o indukcyjności L:

2

2

i

L

E

L

⋅

=

(24.3)

C

R

L

i(t)

C

e

L

i(t)

W rezultacie pole elektryczne maleje, pole magnetyczne wzrasta a energia zawarta w polu elek-
trycznym kondensatora zamienia się na energię pola magnetycznego cewki. W procesie tym przez
opornik R przepływa prąd i(t) wydzielając na nim ciepło Joule’a i następuje zamiana części energii
na ciepło w ilości:

2

2

i

R

E

J

⋅

=

(24.4)

Jeden pełny cykl zaczynający się np. od chwili podłączenia do obwodu RLC naładowanego kon-
densatora zawiera rozładowanie kondensatora, naładowanie przeciwnym ładunkiem, ponowne roz-
ładowanie i naładowanie do pierwotnego stanu. Jeśli

0

≠

R

wtedy nastąpi strata energii cieplnej i

układ nie wróci do pierwotnego naładowania, ale cykl zamknie się w momencie uzyskania maksy-
malnej wartości ładunku na kondensatorze. Dla R=0 układ jest bezstratny i istnieje pełna analogia
opisu zjawiska do drgań wahadła matematycznego.
Aby opisać zmiany prądu i(t) w obwodzie RLC skorzystamy z II prawa Kirchhoffa, które mówi, że
suma spadków napięć w oczku jest równa zeru.
Z prawa Ohma wiemy, że spadek napięcia na oporniku R jest równy:

R

t

i

t

U

R

⋅

= )

(

)

(

(24.5)

Napięcie na kondensatorze wyraża się zależnością:

∫

+

=

t

C

C

U

dt

t

i

C

t

U

0

0

)

(

1

)

(

(24.6)

gdzie:

0

C

U oznacza wartość napięcia na kondensatorze w chwili początkowej (t=0).

Z prawa Faradaya wiemy, że w cewce pod wpływem zmiennego w czasie prądu indukuje się siła
elektromotoryczna:

dt

t

di

L

U

L

)

(

−

=

(24.7)

Dla obwodu z Rys. 24.1a korzystając z II prawa Kirchhoffa możemy napisać:

)

(

)

(

)

(

t

U

t

U

t

U

C

R

L

+

=

∫

+

=

−

t

R

t

i

dt

t

i

C

dt

t

di

L

0

)

(

)

(

1

)

(

(24.8)

Przyjmijmy, że w chwili początkowej t=0 ładunek q(t=0) =0. Zatem równanie (24.8) przyjmie po-
stać:

0

1

2

2

=

+

+

q

C

dt

dq

R

dt

q

d

L

(24.9)

Wprowadzając oznaczenia:

- współczynnik tłumienia

L

R

2

=

β

- częstotliwość drgań swobodnych zwaną częstością własną

LC

1

0

=

ω

uzyskuje się równanie różniczkowe drgań tłumionych w postaci:

0

2

2

0

2

2

=

+

+

q

dt

dq

dt

q

d

ω

β

(24.10)

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja:

)

cos(

)

(

0

ϕ

ω

β

+

=

−

t

e

q

t

q

t

(24.11)

gdzie:

2

2

0

β

ω

ω

−

=

- częstość (pulsacja) drgań tłumionych

Widzimy, że wskutek działania tłumienia amplituda drgań maleje z upływem czasu według zależ-
ności:

t

e

q

A

β

−

=

0

, zaś częstość drgań tłumionych jest mniejsza niż drgań własnych.

Wielkością charakteryzującą drgania tłumione jest tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia - Λ .
Jest to logarytm naturalny stosunku amplitudy w chwili t oraz w chwili t+T ( T- okres drgań).

T

e

q

e

q

T

t

t

β

β

β

=

=

Λ

+

−

−

)

(

0

0

ln

(24.12)

Zależności (24.11) i (24.12) mają sens, jeśli

ω

β

< . W przeciwnym razie ruch nie jest ruchem drga-

jącym lecz pełzającym (aperiodycznym). Charakteryzuje się ten ruch tym, że badany parametr nie
wykonuje drgań lecz zbliża się do położenia równowagi asymptotycznie. Szczególnym przypad-
kiem jest ruch pełzający krytyczny gdy

ω

β

= .

Drgania wymuszone.

Jeśli chcemy, aby mimo tłumienia utrzymać drgania harmoniczne powinni-

śmy wprowadzić odpowiednio zmienne wymuszenie w postaci źródła napięcia zmiennego w czasie
w sposób harmoniczny ( Rys.24.1 b):

)

cos(

)

(

0

t

U

t

e

Ω

=

(24.13)

gdzie

Ω - jest częstością wymuszenia.

Z II prawa Kirchhoffa możemy napisać:

)

cos(

1

0

2

2

t

U

q

C

dt

dq

R

dt

q

d

L

Ω

=

+

+

(24.14)

lub w formie:

)

cos(

1

0

2

2

t

L

U

q

LC

dt

dq

R

L

R

dt

q

d

Ω

=

+

+

(24.15)

Jest to równanie różniczkowe drgań wymuszonych. Rozwiązaniem są drgania harmoniczne o czę-
stości wymuszenia

Ω . Drgania wymuszone mogą być przesunięte w fazie względem wymuszenia o

kąt

φ

będący fazą początkową drgania wymuszonego. Ta faza jest różnicą fazy wychylenia (24.16)

i fazy wymuszenia (24.13). Amplituda tych drgań jest ściśle określona i jest zależna od częstości
wymuszenia oraz od amplitudy wymuszenia. Zatem rozwiązaniem jest:

)

cos(

)

(

φ

+

Ω

=

t

A

t

q

(24.16)

gdzie:

2

2

2

2

2

0

4

)

(

Ω

+

Ω

−

=

β

ω

L

U

A

(24.17)













Ω

−

Ω

−

=

2

2

0

2

ω

β

φ

arctg

(24.18)

Aby przekonać się, że funkcja przedstawiona w (24.16) jest rozwiązaniem równania (24.15) należy
zróżniczkować tą funkcję obliczając pierwszą i drugą pochodną i wstawić do równania (24.15).

Rezonans.

Jak wynika z analizy zależności (24.17) na amplitudę drgań wymuszonych, przy odpo-

wiednim dobraniu częstości wymuszenia nawet przy niewielkim wymuszeniu można uzyskać bar-
dzo dużą wartość. Takie zjawisko nazywamy rezonansem. Przeanalizujmy, zatem krzywą rezonan-
sową tzn. zależność (24.17).

Rys.24.2 Przykładowe krzywe rezonansowe

.

Wykres przedstawia zależność amplitudy A od częstości kołowej drgań wymuszonych

Ω dla róż-

nych wartości stałej zaniku, przy czym

3

2

1

β

β

β

<

<

. Wartość częstości wymuszenia przy której

amplituda drgań osiąga maksimum ( zaznaczono na wykresie linią przerywaną) silnie zależy od
stałej zaniku

β. Im mniejsza stała zaniku tym ostrzejsza jest krzywa rezonansowa a częstość rezo-

nansu wzrasta.
Wykorzystując zależności (24.16)-(24.18) oraz (24.6), (24.7) (24.1) można napisać wyrażenia na
U

C

( oraz U

L

). W ćwiczeniu wykorzystuje się pomiar U

C

. Przyjmując, że układ rezonansowy ma

małe straty ( tzn. (

1

4

2

<<

β

) dla częstości bliskich rezonansu

2

2

2

2

0

)

2

( x

C

R

U

U

r

C

+

Ω

=

(24.19)

gdzie:

Ω

r

=2

πf

r

– częstość rezonansu ( dla danego

β),

r

r

r

r

f

f

f

x

−

=

Ω

Ω

−

Ω

=

jest to częstotliwość

względna liczona względem częstotliwości rezonansowej f

r

.

20

40

60

80

100 120

140

1

2

3

4

5

A

β

1

β

2

β

3

Ω

Zauważmy, że dla częstości rezonansowej x=0, zatem:

Q

RC

U

U

U

U

r

L

C

=

Ω

=

=

2

0

0

1

(24.20)

Jest to jedna z najważniejszych wielkości charakteryzujących obwód rezonansowy, zwana dobrocią
układu. Dla obwodu szeregowego mówi ona ilokrotnie w rezonansie wzrasta napięcie na elemen-
tach C oraz L. Zatem dla Q>>1 charakterystykę częstotliwościową w pobliżu rezonansu zapisujemy
w postaci:

2

2

0

)

2

(

1

1

x

Q

U

U

C

+

=

(24.21)

Zauważmy, że w rezonansie U

C

=QU

0

. Wprowadza się pojęcie pasma częstotliwości obwodu – B:

Q

Q

f

B

r

r

π

2

Ω

=

=

(24.22)

określone jako zakres częstotliwości, dla których zachodzi warunek:

Q

U

U

C

2

1

0

>













(24.23)

-0.4

-0.2

0.2

0.4

2

4

6

8

10

x

f

Rys. 24.3 Przykładowa krzywa rezonansowa.

f

r

B

f

r

-B/2

f

r

+B/2

Q

Q/

2

U

C

/U

0

Jednym z podstawowych zastosowań obwodów rezonansowych jest ich wykorzystanie jako filtry.
Właściwości filtracyjne obwodu rezonansowego polegają na znacznym wzroście amplitudy napię-
cia wyjściowego dla częstotliwości napięcia podawanego na obwód leżących w paśmie częstotliwo-
ści B. Niestety, pojedynczy układ rezonansowy charakteryzuje się zbyt wolnym spadkiem napięcia
wyjściowego na krawędziach pasma B, co widać na Rys. 24.3. Znacznie lepsze charakterystyki w
tym względzie mają sprzężone obwody rezonansowe.

24.2 Opis układu pomiarowego

Układ pomiarowy składa się z generatora napięcia sinusoidalnego o przestrajanej częstotliwości,
woltomierza z sondą oraz pudełka z obwodami rezonansowymi. Schemat układu wraz z danymi
odnośnie układu znajduje się na stole pomiarowym.

24.3. Przebieg pomiarów

1. Podłączyć generator do pudełka z obwodami rezonansowymi za pomocą kabla koncentrycznego.

Zakres woltomierza ustawić na 10V. Sondę podłączyć do woltomierza, przy czym „masę” pod-
łączamy do zacisku pudełka z obwodami rezonansowymi

2. Na podstawie danych parametrów obwodu obliczyć przybliżoną wartość f

r

. Ustawić tę częstotli-

wość na generatorze. Sondę woltomierza podłączyć do zacisku U

C

. Zmieniając stopniowo czę-

stotliwość na generatorze dobrać częstotliwość przy której U

C

osiąga maksymalną wartość. Tą

częstotliwość przyjąć jako f

r

.

3. Wykonać pomiary U

C

dla częstotliwości na generatorze w zakresie od (f

r

-2) do (f

r

+2) kHz co

100 Hz.

24.4. Opracowanie wyników pomiarów.

1. Wykreślić zmierzoną zależność U

C

(x) gdzie x jest częstotliwością względną.

2. Wyznaczyć dobroć układu Q w sposób przedstawiony na Rys. 24.3
3. Wyznaczyć pasmo B.
4. Oszacować błędy pomiarowe i ich wpływ na wyniki końcowe, uwzględniając klasy dokładności

wykorzystanych mierników oraz błędy przyjętych wartości R,L,C.

5. Przedstawić wnioski podsumowujące uzyskane wyniki.

L i t e r a t u r a

[1] Bartnicki S, Borys.W, Kostrzyński T; Fizyka ogólna – ćwiczenia laboratoryjne Cz II. Skrypt

WAT. Warszawa 1994r.

[2] Massalski J.M.: Fizyka dla inżynierów, cz.1, WNT, Warszawa 1973.