Pytanie 1
Prawa de Morgana dla zmiennych

)

~

(~

)

(

~

)

~

(~

)

(

~

q

p

q

p

q

p

q

p

∨

⇔

∧

∧

⇔

∨

Zaprzeczenie implikacji

)

~

(

)

(

~

q

p

q

p

∧

⇔

⇒

Prawo kontr pozycji

)

~

(~

)

(

q

p

q

p

⇒

⇔

⇒

Pytanie 2
Prawa de Morgana dla Kwantyfikatorów

))

(

_(~

)

(

_

(

~

))

(

_(~

)

(

_

(

~

x

x

x

x

x

x

x

x

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

∀

⇒

∃

∃

⇒

∀

Prawa przestawiania kwantyfikatorów

)

,

(

_

_

)

,

(

_

)

,

(

_

_

)

,

(

_

)

,

(

_

_

)

,

(

_

y

x

x

y

y

x

y

x

y

x

x

y

y

x

y

x

y

x

x

y

y

x

y

x

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

∃

∀

⇔

∀

∃

∃

∃

⇔

∃

∃

∀

∀

⇔

∀

∀

Pytanie 3
Działania na zbiorach
Niech

.

,

X

B

A

⊂

Możemy zdefiniować

następujące
działania na zbiorach
Suma zbiorów A i B

)

()

(:

{

Bx

Ax

Xx

BA

∈∨

∈

∈=

∪

Iloczyn (część wspólna) zbiorów A i B

)

()

(:

{

Bx

Ax

Xx

BA

∈∧

∈

∈=

∩

Różnica zbiorów A i B

)

()

(:

{\

Bx

Ax

Xx

BA

∉∧

∈

∈=

Dopełnienie zbioru A do X

}

:

{

'

A

x

X

x

A

∉

∈

=

Jeśli dane są zbiory nie puste A i B to
można
utworzyć zbiór, który oznaczamy

B

A

×

złożony
ze wszystkich par uporządkowanych

y

x,

, gdzie

A

x

∈

i

B

y

∈

. Zbiór ten nazywamy

iloczynem (produktem) kartezjańskim
zbiorów A i B.

Pytanie 4
Definicja kresu dolnego i górnego,
twierdzenie o istnieniu kresów:
1) Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z
góry gdy
istnieje liczba

R

M

∈

(zwana

ograniczeniem górnym
zbioru A) taka, że:

(

)

A

x

∈

∀

M

x

≤

Kresem górnym zbioru A nazywamy
najmniejsze z
ograniczeń górnych zbioru A. Oznaczamy
kres górny
przez symbol supA (supremum A)
2) Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z
dołu gdy
istnieje liczba

R

m

∈

(zwana

ograniczeniem dolnym
zbioru A) taka, że:

(

)

A

x

∈

∀

x

m

≤

Kresem dolnym zbioru A nazywamy
największe z
ograniczeń dolnych zbioru A i
oznaczamy infA (infinium A)
Twierdzenie o istnieniu kresów:
1) Każdy zbiór niepusty

R

A

⊂

ograniczony z
góry posiada dokładnie jeden kres górny
2) Każdy zbiór niepusty

R

A

⊂

ograniczony z
dołu posiada dokładnie jeden kres dolny

Pytanie 5
Wartość bezwzględna i jej własności:
Dla

R

x

∈

definiujemy jej wartość

bezwzględną wzorem:







<

−

≥

=

0

_

_

,

0

_

_

,

|

|

x

dla

x

x

dla

x

X

Własności:

x

x

x

y

x

y

x

y

dla

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

≤

≤

−

−

≤

−

≠

=

⋅

=

⋅

+

≤

+

≥

0

_

0

|

|

Pytanie 6
Definicja funkcji, iniekcja, suriekcja,
bijekcja, funkcja odwrotna, superpozycja
funkcji:
Niech

0

≠

X

,

0

≠

Y

. Zbiór

Y

X

f

×

⊂

nazywamy
funkcją, gdy dla każdego

X

x

∈

istnieje

dokładnie
jeden element

Y

y

∈

taki, że

f

y

x

∈

,

W skrócie:

(

)(

)

f

y

x

Y

y

X

x

∈

∈

∃

∈

∀

,

!

Piszemy

Y

X

f

→

:

oraz zamiast

f

y

x

∈

,

piszemy y = f(x)
Niech

Y

X

f

→

:

. Mówimy, że:

a) f jest iniekcją (albo inaczej funkcją
różnowartościową), gdy

(

)

( ) ( )

2

1

2

1

2

1

,

x

f

x

f

x

x

X

x

x

≠

⇒

≠

∈

∀

(Uwaga: korzystając z prawa
kontrapozycji, można powyższy warunek
zapisać w postaci

(

) ( ) ( )

)

,

2

1

2

1

2

1

x

x

x

f

x

f

X

x

x

=

⇒

=

∈

∀

b) f jest suriekcją (albo inaczej funkcją
„na”), gdy

(

)(

)

X

x

Y

y

∈

∃

∈

∀

f(x) = y

c) f jest bijekcją, gdy jest jednocześnie
iniekcją i suriekcją.

Pytanie 7
Zasada indukcji zupełnej:
Niech

( )

n

ϕ

będzie funkcją zdaniową,

której dziedziną jest zbiór liczb
naturalnych N. Jeśli:
1)

( )

1

ϕ

zachodzi

2) dla każdej liczby naturalnej u zachodzi
wynikanie

( )

(

)

1

+

⇒

n

n

ϕ

ϕ

to

( )

n

ϕ

zachodzi dla każdej liczby

naturalnej u.

Pytanie 8
Definicja ciągu liczbowego,
monotoniczność, ograniczoność:
Ciągiem liczbowym (nieskończonym)
nazywamy każdą funkcje f określoną na
zbiorze liczb naturalnych. Wartości tej
funkcji nazywamy wyrazami ciągu i
oznaczamy

N

n

a

n

f

n

∈

≡

,

)

(

a ciąg o

wyrazach

n

a

zapisujemy symbolem (

n

a

)

lub a

1

, a

2

, a

3

...

Monotoniczność: Mówimy, że ciąg

)

(

n

a

jest:
1) niemalejący gdy

n

n

a

a

N

n

≥

∈

∀

+

1

)

(

rosnący gdy

n

n

a

a

N

n

>

∈

∀

+

1

)

(

2) nierosnący gdy

n

n

a

a

N

n

≤

∈

∀

+

1

)

(

malejący gdy

n

n

a

a

N

n

<

∈

∀

+

1

)

(

Jeśli ciąg jest niemalejący lub nierosnący
to nazywa się monotonicznym.
Ograniczoność: Ciąg

)

(

n

a

nazywa się

ograniczonym jeśli zbiór jego wyrazów

}

,

{

N

n

a

n

∈

jest zbiorem ograniczonym w

zbiorze liczb rzeczywistych. Oznacza to,
że

K

a

N

n

R

K

n

≥

∈

∀

∈

∃

)

)(

(

(*)

L

a

N

n

R

L

n

≤

∈

∀

∈

∃

)

)(

(

Warunek (*) można zastąpić przez:

M

a

N

n

M

n

≤

∈

∀

≥

∃

)

)(

0

(

Pytanie 9
Ciągi zbieżne i ich własności:
Ciąg nazywamy zbieżnym, gdy ma granicę
(gdy istnieje liczba g taka że granica

g

a

n

n

=

∞

→

lim

). Gdy taka liczba nie

istnieje to ciąg nazywa się rozbieżnym.
Własności:
1) Jeśli ciąg

)

(

n

a

jest zbieżny, to ma

dokładnie jedną granicę.
2) Jeśli ciąg

)

(

n

a

jest zbieżny, to jest

ograniczony.
Z tego wynika:
a)

0

lim

0

lim

=

⇔

=

∞

→

∞

→

n

n

n

n

a

a

b)

g

a

g

a

n

n

n

n

=

⇒

=

∞

→

∞

→

lim

lim

Jeśli

a

a

n

n

=

∞

→

lim

i

b

b

n

n

=

∞

→

lim

gdzie

R

b

a

∈

,

to

1)

b

a

b

a

n

n

n

±

=

±

∞

→

)

(

lim

2)

b

a

b

a

n

n

n

⋅

=

⋅

∞

→

)

(

lim

3)

b

a

b

a

n

n

n

=

∞

→

)

(

lim

N

n

o

b

b

n

∈

≠

≠

,

,

0

Pytanie 10
Twierdzenie o trzech ciągach:
Jeśli

(

)

N

n

∈

∀

n

n

n

c

b

a

≤

≤

oraz

a

c

a

n

n

n

n

=

=

∞

→

∞

→

lim

lim

, to

a

b

n

n

=

∞

→

lim

Dowód: Niech ε > 0. Z założenia mamy

(

)(

)

k

n

N

k

≥

∀

∈

∃

ε

ε

<

−

∧

<

−

a

c

a

a

n

n

Koniunkcja nierówności

ε

ε

<

−

∧

<

−

a

c

a

a

n

n

implikuje

∧

<

−

n

a

a

ε

ε

+

<

a

c

n

I z założenia

ε

ε

+

<

≤

≤

<

−

a

c

b

a

a

n

n

n

Skąd mamy

ε

ε

+

<

<

−

a

b

a

n

zatem

(

)

ε

<

−

≥

∀

a

b

k

n

n

Co daje tezę.
Uwaga: Twierdzenie pozostaje
prawdziwe, jeśli zakładać, że

n

n

n

c

b

a

≤

≤

dla prawie wszystkich

N

n

∈

KWWSQRWDWHNSODQDOL]DPDWHPDW\F]QDZ]RU\"QRWDWND