Kolokwium nr 1 – przykładowy zestaw nr 1

Blok 1.

Zadanie 1. (3 pkt) Oblicz całkę

∫

𝑑𝑥

𝑥ln𝑥

e

1

Zadanie 2. (4 pkt) Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi

𝑦 =

1

𝑥

2

− 4𝑥 + 8

,

𝑦 = 0

Blok 2.

Zadanie 1. (3 pkt) Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach 𝐴 = (0,2,4), 𝐵 = (1, −1,0), 𝐶 = (1,2,3).

Zadanie 2. (4 pkt) Napisz równania prostej prostopadłej do prostych 𝑙

1

, 𝑙

2

przechodzącej przez punkt

𝐴, jeśli

𝑙

1

: {

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 3 = 0
2𝑥 + 𝑧 + 1 = 0

,

𝑙

2

: {

𝑥 = 𝑡
𝑦 = −2 + 𝑡
𝑧 = 1 + 2𝑡

𝑡 ∈ ℝ, 𝐴 = (2,1,0)

Blok 3.

Zadanie 1. (3 pkt) Przedsiębiorstwo wytwarza wyroby 𝐴, 𝐵. Limity dziennego zużycia dwóch
surowców wynoszą odpowiednio: surowiec I – 84 kg, surowiec II – 120 kg, surowiec III – 150 kg.
W tabeli podano jednostkowe zużycie surowców na produkcję wyrobów.

Surowce

Jednostkowe nakłady

𝐴

𝐵

I

2

1

II

3

1

III

2

4

Zysk osiągany na jednostce wyrobu 𝐴 wynosi 30 zł, na jednostce wyrobu 𝐵 wynosi 20 zł. Wyznacz
optymalne wielkości produkcji poszczególnych wyrobów tak, aby zysk był maksymalny. Podaj
maksymalny zysk.

Zadanie 2. (4 pkt) Wyznacz, o ile istnieją, ekstrema lokalne funkcji

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + ln(4 − 𝑦 − 𝑥

2

)

Kolokwium nr 1 – przykładowy zestaw nr 2

Blok 1.

Zadanie 1. (3 pkt) Oblicz całkę

∫ 𝑥e

−𝑥

2

+∞

1

𝑑𝑥

Zadanie 2. (4 pkt) Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dokoła osi 𝑂𝑥 figury ograniczonej
liniami

𝑦 =

1

√𝑥ln𝑥

dla 𝑥 > e

2

, 𝑥 = e

2

, 𝑦 = 0

Blok 2.

Zadanie 1. (3 pkt) Oblicz sin ∢(𝑢

⃗ , 𝑣 ), jeśli 𝑢

⃗ = [1,0,2] i 𝑣 = [1,3, −2].

Zadanie 2. (4 pkt) Sprawdź czy proste 𝑙

1

, 𝑙

2

są równoległe lub prostopadłe

𝑙

1

: {

𝑥 = −2 − 𝑡
𝑦 = 1 + 3𝑡
𝑧 = 1

𝑡 ∈ ℝ, 𝑙

2

: {

𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 2 = 0

Blok 3.

Zadanie 1. (3 pkt) Oszacuj maksymalny błąd względny jaki można popełnić obliczając objętość stożka
o promieniu podstawy 𝑟 i wysokości ℎ ze wzoru

𝑉 =

1
3

𝜋𝑟

2

ℎ,

jeżeli maksymalne błędy pomiarów długości promienia podstawy i wysokości stożka wynoszą
odpowiednio 𝛿𝑟 = 0,2 i 𝛿ℎ = 0,2 oraz ponadto 𝑟 = 8, ℎ = 12.

Zadanie 2. (4 pkt) Wyznacz, o ile istnieją, ekstrema lokalne funkcji

𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦

2

)e

−𝑥

Kolokwium nr 1 – przykładowy zestaw nr 3

Blok 1.

Zadanie 1. (3 pkt) Oblicz całkę

∫

𝑑𝑥

√4𝑥 − 𝑥

2

4

0

𝑑𝑥

Zadanie 2. (4 pkt) Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi

𝑦 =

1

𝑥ln

2

𝑥

dla

𝑥 ≥ e, 𝑥 = e, 𝑦 = 0

Blok 2.

Zadanie 1. (3 pkt) Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶, jeśli

𝐴 = (1, −2,0), 𝐵 = (2,0, −1), 𝐶 = (2,1,3)

Zadanie 2. (4 pkt) Napisz równania parametryczne i krawędziowe prostej 𝑙, jeśli

𝑙: 3𝑥 − 6 =

1 + 𝑦

−2

=

3 − 4𝑧

2

Blok 3.

Zadanie 1. (3 pkt) Wyznacz i naszkicuj dziedzinę funkcji

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −

ln(𝑧 − 𝑥

2

− 𝑦

2

)

√1 − 𝑧

Zadanie 2. (4 pkt) Przedsiębiorstwo prowadzi hodowlę kur, które żywione są dwoma rodzajami pasz
𝑃

1

, 𝑃

2

. Wiadomo, że kury muszą mieć dostarczane dwa podstawowe składniki diety w odpowiednich

ilościach. Minimum spożycia składnika 𝐴 wynosi 32 kg dziennie, a minimum spożycia składnika 𝐵
wynosi 12 kg dziennie (dla stada). 100 kg paszy 𝑃

1

zawiera 30 kg składnika 𝐴 i 10 kg składnika 𝐵,

a 100 kg paszy 𝑃

2

zawiera 10 kg składnika 𝐴 i 4 kg składnika 𝐵. 50 kg paszy 𝑃

1

kosztuje 200 zł, a 50

kg paszy 𝑃

2

kosztuje 75 zł. Ponadto wiadomo, że maksymalna dzienna ilość spożycia paszy przez

stado kur wynosi 250 kg

.

Ile należy dostarczyć dziennie pasz, aby stado kur miało zapewnione

niezbędne składniki diety przy minimalnym koszcie zakupu pasz i jaki będzie koszt zakupu tych pasz?