1
POMIARY MOCY
Pomiary mocy w sieciach trójfazowych
Moc czynną obwodu trójfazowego definiuje się jako sumę mocy poszczególnych faz:
3
3
30
2
2
20
1
1
10
3
2
1
cos
cos
cos
ϕ
ϕ
ϕ
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
+
+
=
I
U
I
U
I
U
P
P
P
P
Zależnie od rodzaju obwodu trójfazowego i charakteru odbiornika, rozróżnia się układy do
pomiaru mocy w obwodach trójprzewodowych lub czteroprzewodowych, obciążonych
symetrycznie lub niesymetrycznie.
Zasilanie sieci trójfazowej, jako sieci państwowej
,
jest symetryczne, tzn. moduły napięć
fazowych są równe, a ich fazy są przesunięte o 120
0
.
I. Pomiar mocy czynnej
1. Układ do pomiaru mocy czynnej w sieci 4. przewodowej, obciążonej symetrycznie
1
3 P
P
⋅
=
2. Układ do pomiaru mocy czynnej w sieci 4. przewodowej obciążonej niesymetrycznie
3
2
1
P
P
P
P
+
+
=
2
3. Układ do pomiaru mocy czynnej w sieci 3. przewodowej obciążonej symetrycznie
wu
R
R
R
=
=
2
1
wu
R - rezystancja cewki napięciowej watomierza
1
3 P
P
⋅
=
4. Układ do pomiaru mocy czynnej w sieci 3. przewodowej obciążonej niesymetrycznie
3
2
1
P
P
P
P
+
+
=
W tym przypadku
wu
R
watomierzy nie musza być równe
5. Układ Aarona
5.1. Sposoby połączenia watomierzy
- watomierze w fazie 1 i 2
3
- watomierze w fazie 2 i 3
- watomierze w fazie 1 i 3
5.2. Wyprowadzenie wzoru na moc całkowitą P
W układzie trójprzewodowym suma wektorów prądów fazowych jest równa zero:
0
3
2
1
=
+
+
I
I
I
⇒
)
(
2
1
3
I
I
I
+
−
=
Podstawiając powyższą zależność do ogólnego wzoru na moc w obwodzie trójfazowym,
otrzymuje się:
2
1
23
2
13
1
30
20
2
30
10
1
2
1
30
2
20
1
10
3
30
2
20
1
10
)
(
)
(
)
(
P
P
U
I
U
I
U
U
I
U
U
I
I
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
P
+
=
⋅
+
⋅
=
−
⋅
+
−
⋅
=
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
5.3. Schemat elektryczny dla przypadku obciążenia RL, watomierze w fazie 1 i 2
4
5.4. Wykres wskazowy dla układu 5.3.
)
30
cos(
)
,
(
cos
1
0
1
13
1
13
1
13
1
ϕ
−
⋅
⋅
=
∠
⋅
⋅
=
I
U
I
U
I
U
P
)
30
cos(
)
,
(
cos
2
0
2
23
2
23
2
23
2
ϕ
+
⋅
⋅
=
∠
⋅
⋅
=
I
U
I
U
I
U
P
2
1
P
P
P
+
=
5.5. Schemat elektryczny i wykres wskazowy dla przypadku obciążenia RC, watomierze
w fazie 1 i 2
5.6. Wykres wskazowy dla układu 5.5.
5
)
30
cos(
)
,
(
cos
1
0
1
13
1
13
1
13
1
ϕ
+
⋅
⋅
=
∠
⋅
⋅
=
I
U
I
U
I
U
P
)
30
cos(
)
,
(
cos
2
0
2
23
2
23
2
23
2
ϕ
−
⋅
⋅
=
∠
⋅
⋅
=
I
U
I
U
I
U
P
2
1
P
P
P
+
=
Jeśli obciążenie jest symetryczne, to układ Aarona do pomiaru mocy czynnej umożliwia
wyznaczenie mocy biernej
)
(
3
2
1
P
P
Q
−
⋅
=
5.7. Zastosowanie układu Aarona do wyznaczenia kąta fazowego
Dzieląc różnicę wskazań watomierzy przez sumę tych wskazań, otrzymuje się:
)
30
cos(
)
30
cos(
)
30
cos(
)
30
cos(
0
0
0
0
2
1
2
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
=
+
−
p
p
p
p
p
p
p
p
I
U
I
U
I
U
I
U
P
P
P
P
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sin
2
1
cos
2
3
sin
30
sin
cos
30
cos
)
30
cos(
0
0
0
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
−
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sin
2
1
cos
2
3
sin
30
sin
cos
30
cos
)
30
cos(
0
0
0
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
+
3
cos
3
sin
sin
2
1
cos
2
3
sin
2
1
cos
2
3
sin
2
1
cos
2
3
sin
2
1
cos
2
3
2
1
2
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
tg
P
P
P
P
=
⋅
=
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
+
−
2
1
2
1
3
P
P
P
P
tg
+
−
⋅
=
ϕ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
⋅
=
2
1
2
1
3
P
P
P
P
arctg
ϕ
II. Pomiar mocy biernej
Watomierz należy włączyć w taki sposób, aby jego cewka napięciowa była włączona na
napięcie opóźnione o 90
0
w stosunku do napięcia jakie jest doprowadzone do tej cewki w
przypadku układu do pomiaru mocy czynnej.
1. Układ do pomiaru mocy w sieci 3. przewodowej obciążonej symetrycznie
6
2. Układ do pomiaru mocy w sieci 4. przewodowej obciążonej symetrycznie
3. Wykres wskazowy dla układu do pomiaru mocy biernej w sieci obciążonej symetrycznie
Założenie: odbiornik ma charakter RL
ϕ
ϕ
sin
)
90
cos(
1
23
0
1
23
1
⋅
⋅
=
−
⋅
⋅
=
I
U
I
U
P
W układach 1 i 2 obwód napięciowy watomierza włączony jest na napięcie przewodowe, co
powoduje, że jego wskazania są 3 razy większe od mocy biernej jednej fazy.
1
P
- wskazanie watomierza
Q
- moc całkowita
1
1
3
3
3
P
P
Q
⋅
=
⋅
=
4. Układ do pomiaru mocy w sieci 3. przewodowej obciążonej niesymetrycznie
7
5. Układ do pomiaru mocy w sieci 4. przewodowej obciążonej niesymetrycznie
W układach 4 i 5 moc całkowitą wylicza się z zależności
3
3
2
1
Q
Q
Q
Q
+
+
=
Podstawowym układem do pomiaru mocy biernej w sieciach 3. przewodowych obciążonych
niesymetrycznie jest układ z dwoma watomierzami.
6. Układ Aarona
6.1. Schemat elektryczny dla przypadku obciążenia RL, watomierze w fazie 1 i 3
6.2. Wykres wskazowy dla układu 6.1.
8
)
60
cos(
1
0
1
3
1
ϕ
−
⋅
⋅
−
=
I
U
Q
)
120
cos(
3
0
3
1
3
ϕ
−
⋅
⋅
=
I
U
Q
W porównaniu do układu pomiarowego przeznaczonego do pomiaru mocy czynnej, napięcia
w obwodach napięciowych watomierzy są obecnie 3 razy mniejsze. Stąd mierzona moc
bierna odbiornika wynosi:
)
(
3
3
1
Q
Q
Q
+
⋅
=
W przypadku obciążenia symetrycznego układ Aarona do pomiaru mocy biernej umożliwia
wyznaczenie mocy czynnej odbiornika trójfazowego:
)
(
3
3
1
Q
Q
P
−
⋅
=
6.3. Podsumowanie:
- Obciążenie RL lub RC i obciążenie symetryczne
a) watomierze w fazie 1 i 2:
)
(
3
2
1
Q
Q
Q
+
⋅
=
,
)
(
3
1
2
Q
Q
P
−
⋅
=
b) watomierze w fazie 2 i 3:
)
(
3
3
2
Q
Q
Q
+
⋅
=
, )
(
3
2
3
Q
Q
P
−
⋅
=
c) watomierze w fazie 1 i 3:
)
(
3
3
1
Q
Q
Q
+
⋅
=
, )
(
3
3
1
Q
Q
P
−
⋅
=
Sprawdźmy poprawność powyższych wzorów dla przypadku włączenie watomierzy w fazę 1
i 3
- z trójkąta mocy:
)]
120
cos(
)
60
[cos(
3
)]
120
cos(
)
60
[cos(
3
)
(
3
)
(
3
0
0
0
0
3
1
3
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
−
−
⋅
−
+
−
⋅
=
−
⋅
+
⋅
=
=
Q
Q
Q
Q
P
Q
tg
2
sin
3
2
cos
sin
60
sin
cos
60
cos
)
60
cos(
0
0
0
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
⋅
−
=
⋅
+
⋅
=
−
2
sin
3
2
cos
30
cos
cos
30
sin
sin
120
sin
cos
120
cos
)
120
cos(
0
0
0
0
0
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
⋅
+
−
=
+
⋅
−
=
⋅
+
⋅
=
−
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
cos
sin
cos
3
sin
3
3
=
⋅
⋅
⋅
=
tg
9
P
1
P
2
P
Obciążenie RL
Obciążenie RC
+30
0
+60
0
+90
0
0
0
-30
0
-60
0
-90
0
III. Określenie kolejności faz za pomocą układu Aarona do pomiaru mocy czynnej
)
30
cos(
0
1
ϕ
−
⋅
⋅
=
p
p
I
U
P
)
30
cos(
0
2
ϕ
+
⋅
⋅
=
p
p
I
U
P
2
1
P
P
P
+
=
Wykres zależności mocy P
1
, P
2
, P od kąta fazowego φ
IV. Określenie charakteru odbiornika za pomocą układu Aarona do pomiaru mocy czynnej
10
V. Wskaźnik kolejności faz
1. Układy pomiarowe
2. Wykresy wskazowe
a) połączenie zgodne
b) połączenie niezgodne
0
30
cos
0
32
>
⋅
⋅
=
I
U
P
C
0
150
cos
0
32
<
⋅
⋅
=
I
U
P
C
0
150
cos
0
32
<
⋅
⋅
=
I
U
P
L
0
30
cos
0
32
>
⋅
⋅
=
I
U
P
L