GEOMETRIA ANALITYCZNA

W PRZESTRZENI

(czyli bardziej po ludzku w 3D)

1. Podstawowe definicje.

Prostokątny układ współrzędnych Oxyz – uporządkowana trójka osi Ox, Oy, Oz wzajemnie prostopadłych o wspólnym
początku O i wspólnej jednostce.

Każdemu punktowi przyporządkowujemy uporządkowaną trójkę liczb x,y,z zwanych współrzędnymi punktu P (i na
odwrót), przy czym x,y,z są współrzędnymi rzutów prostokątnych punktu P odpowiednio na osie Ox, Oy, Oz.

Wektor

– uporządkowana para punktów, z których pierwszy to początek, a drugi punkt to koniec wektora.

, P – początek, – koniec,

Wektor zerowy

– wektor, którego początek i koniec pokrywają się:

.

Współrzędne wektora

,

:

.

Długość wektora

– długość odcinka

:

.

Kierunek niezerowego wektora

– kierunek prostej .

Zwrot niezerowego wektora

– ten zwrot (z dwu) prostej , w którym poprzedza .

Wektory równoległe

– wektory, które mają ten sam kierunek.

Wektory równe

– wektory, które mają ten sam kierunek, zwrot i długość.

Wektory przeciwne

– wektory, które mają ten sam kierunek i długość, zwroty przeciwne.

Suma wektorów

– wektor taki, że

Różnica wektorów

– suma wektorów .

Iloczyn wektora niezerowego

przez liczbę – wektor, który:



jest równoległy do

,

 ma zwrot zgodny ze zwrotem

, gdy lub zwrot przeciwny, gdy ,



ma długość

.

Jeżeli

lub , to .

Wersor osi

– wektor o kierunku i zwrocie tej osi oraz długości 1. Niech

oznaczają odpowiednio wersory osi Ox,

Oy, Oz. Wtedy

.

Kąt wektorów niezerowych

– kąt wypukły między : .

Kąt wektora z osią – kąt wektora z wersorem tej osi.

TW.

Jeżeli

, to

a)

długość wektora

:

,

b)

,

c)

,

d)

,

e)

.

2. Iloczyn skalarny.

DEF

. Iloczynem skalarnym dwu niezerowych wektorów

nazywamy liczbę . Jeżeli

przynajmniej jeden z wektorów jest zerowy, to iloczyn skalarny jest 0.

TW.

Iloczyn skalarny ma własności

a)

,

b)

,

c)

dla ,

d)

.

TW. podstawowe o iloczynie skalarnym.

Jeżeli

,

, to

.

TW.

Jeżeli

oraz

,

, to

a)

,

3. Iloczyn wektorowy.

DEF.

Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary niezerowych i nierównoległych wektorów

w układzie

współrzędnych Oxyz nazywamy wektor

taki, że

i)

wektor

jest prostopadły do obu wektorów ,

ii)

zwrot wektora

jest taki, by uporządkowana trójka wektorów

miała orientację zgodną z orientacją

układu Oxyz,

iii)

długość wektora

jest

.

Jeżeli przynajmniej jeden z wektorów jest zerowy lub wektory są równoległe, to ich iloczyn wektorowy jest wektorem

zerowym

.

b)

TW.

Iloczyn wektorowy ma własności

a)

,

b)

,

c)

dla ,

d)

.

TW. podstawowe o iloczynie wektorowym.

Jeżeli

,

, to

.

TW.

Jeżeli

oraz

,

, to

a)

,

4. Iloczyn mieszany.

5.

Płaszczyzna.

TW. Niech

będzie punktem płaszczyzny



, zaś

niezerowym wektorem (tzn.

)

prostopadłym do płaszczyzny



. Punkt

należy do płaszczyzny



wtedy i

tylko wtedy, gdy jego współrzędne

spełniają równanie

.

Równanie ogólne płaszczyzny:

,

gdzie

.

TW.

Załóżmy, że płaszczyzna



1

ma równanie

oraz płaszczyzna



2

:

. Wówczas:

a)

,

b)

,

c)

b)

TW.

Niech będzie dana płaszczyzna



o równaniu

oraz punkt

. Odległość

punktu

od płaszczyzny



wyraża się wzorem

DEF. Niech

będzie krawędzią (prostą) przecięcia dwu nierównoległych płaszczyzn

. Zbiór wszystkich

płaszczyzn zawierających krawędź

nazywamy pękiem płaszczyzn wyznaczonym przez płaszczyzny

.

TW.

Niech będą dane dwie nierównoległe płaszczyzny



1

:

,



2

:

.

Płaszczyzna



należy do pęku płaszczyzn wyznaczonego przez

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby

takie, że

oraz równanie płaszczyzny



daje się zapisać:

.

Równanie

,

gdzie

, nazywamy równaniem pęku płaszczyzn wyznaczonego przez płaszczyzny



1

:

,



2

:

.

6. Prosta.

TW. Niech

będzie punktem prostej , zaś niezerowym wektorem (tzn.

)

równoległym do prostej

. Punkt należy do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy jego współrzędne

spełniają równania

.

Powyższe równania noszą nazwę równań parametrycznych prostej

, – parametru, – współczynników

kierunkowych prostej

.

Równania kierunkowe prostej

:

gdzie

.

TW.

Niech płaszczyzny



1

:

i



2

:

mają wspólną krawędź . Punkt

należy do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne spełniają równania obu płaszczyzn tzn.:

Równania te noszą nazwę równań krawędziowych prostej

.

7.

Płaszczyzna i prosta.