17. Ruch ładunku w polu elektromagnetycznym. Prąd elektryczny

Wybór i opracowanie Marek Chmielewski

17.1. Z aluminiowego pręta o przekroju poprzecznym S wykonano zamknięty pierścień o

promieniu r. Ten pierścień wiruje z prędkością kątową

ω wokół osi przechodzącej przez

jego środek prostopadle do płaszczyzny pierścienia. Ruch pierścienia został gwałtownie
zatrzymany. Przyjmując, że w czasie hamowania trwającego t przyspieszenie kątowe
było stałe, oblicz natężenie prądu płynącego podczas hamowania ruch. Przewodnictwo
aluminium wynosi

σ.

17.2. Jednakowe oporniki o oporach R każdy połączono jak na rysunku. Oblicz opór

zastępczy układu między punktami A i B oraz B i C.

A

B

C

17.3.Fragment rozgałęzionego obwodu składa się z trzech oporników połączonych w trójkąt.

Znaleźć oporność R

1

,R

2

,R

3

elementów gwiazdy, która wmontowana w obwód na m

trójkąta będzie równoważna trójkątowi.

iejsce

7.4.Pyłek o masie m i ł

łaskiego kondensatora,

ddalone od

7.5.W jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B z tego samego punktu wybiegają dwie

tora B

7.6.Oblicz, jaka masę m musiałaby mieć cząstka naładowana ładunkiem elementarnym e aby

7.7.Elektron o energii kinetycznej E wlatuje w jednorodne pole magnetyczne o indukcji B.

ektora

adunku q spada w próżni w polu p

R

1

R

2

R

3

r

1

r

2

r

3

1

naładowanego do napięcia U. Okładki kondensatora są ustawione pionowo i o
siebie o d. Jaka powinna być wysokość okładek, by pyłek nie uderzył o okładkę. W
chwili początkowej pyłek znajdowała się tuż przy powierzchni jednej z okładek.

1

cząstki o masie m i ładunku Q każda, z tymi samymi prędkościami, ale różnie
skierowanymi. Wektor prędkość pierwszej cząstki V

1

tworzy z kierunkiem wek

kąt

α, a wektor prędkości drugiej cząstki V

2

– kąt

β, przy czym α>β. W jakim odstępie

czasu t po pierwszej powinna wybiec druga cząstka, aby nastąpiło spotkanie. Wektory
V

1

, V

2

i B leżą w jednej płaszczyźnie.

1

w próżni okrążała kulę ziemską wzdłuż równika magnetycznego, jeżeli składowa
pozioma wektora indukcji magnetycznej ma średnia wartość B

s

, a prędkość cząstki

wynosi V.

1

Oblicz promień okręgu, po którym będzie krążył elektron w tym polu. Ładunek
elektronu wynosi q, masa m. Wektor prędkości elektronu V jest prostopadły do w
B. Jaka będzie częstotliwość obiegu elektronu po orbicie? Zbadać, jak zależy
częstotliwość obiegu elektronu po orbicie od jego energii kinetycznej.

17. Rozwiązania

7.1.R. Podczas hamowania na elektrony działają siły bezwładności

7.2.R.

orzystając z praw Kirchhoffa

b)

1

et

s

mr

i

s

ie

t

mr

t

t

dt

d

const

dt

d

s

i

E

S

i

E

j

Ee

dt

d

mr

dt

mr

dt

m

ma

F

σ

ω

σ

ω

ω

ω

ω

ω

σ

σ

ω

=

⇒

=

=

∆

∆

=

⇒

=

=

⇒

=

=

=

=

=

=

d

dV

ω

r

S

1
K

U

i

1

i

3

i

2

R

R

R

R

R

R

R

i

a)

U

R

z

=

R

R

U

U

R

R

U

i

i

i

i

R

U

i

R

U

i

R

i

R

i

U

i

i

i

i

i

i

i

z

5

3

3

5

3

5

2

3

3

2

3

3

2

3

2

3

1

3

2

1

=

=

=

+

=

=

=

=

=

=

+

+

=

U

i

i

1

i

3

i

2

R

R

R

R

R

R

R

4

i

R

R

R

i

U

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

R

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

R

z

z

15

11

3

3

4

4

2

2

1

1

1

4

3

4

2

1

3

2

1

=





















=

=

+

+

=

+

+

=

+

=

+

+

+

=

=

U

Uwaga w obu przypadkach można wyznaczyć rezystancje zastępczą szukając oporu

7.3.R.

amiennik musi działać tak aby prądy jak i spadki napięć w jednym jak i drugim układzie

ąta

Dla

układu gwiazdy

poszczególnych gałęzi obwodów.

R

3R

3R

R

2R

R

b)

a)

3R

1

R

1

R

2

R

3

r

1

r

2

r

3

A

B

C

I

A

A

I

B

B

I

C

I

C

C

B

A

I

I

Z
były takie same więc:
Dla

układu trójk













+

+

=

+













+

=

+

=

+

=

+

=

3

2

3

3

3

1

3

2

3

1

1

1

1

1

r

r

U

r

U

I

r

U

r

r

U

I

U

U

U

r

r

I

r

r

I

BC

AB

C

BC

AB

A

BC

AB

AC

AC

BC

C

AC

AB

A

U

U

U

U

)

(

)

(

3

1

3

3

1

3

2

1

3

3

2

R

R

I

R

I

U

R

I

R

R

I

U

I

I

I

R

I

R

I

U

R

I

R

I

U

C

A

BC

C

A

AB

C

A

B

C

B

BC

B

A

AB

+

+

−

=

−

+

=

−

=

+

−

=

+

=

Układy te należy rozwiązać ze względu na I

A

oraz I

C

3

2

3

1

2

1

3

2

3

2

3

1

2

1

3

3

2

3

1

2

1

3

3

2

3

1

2

1

3

1

)

(

)

(

R

R

R

R

R

R

U

R

R

R

R

R

R

R

R

U

R

I

R

R

R

R

R

R

U

R

R

R

R

R

R

R

U

R

R

I

BC

AB

C

BC

AB

A

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

Porównując wyrażenia na prąd dla trójkąta i gwiazdy można wyznaczyć szukane

z przyrównanie wyrażeń przy U

AB

i U

BC

.

ci. Łatwo zauważyć regularność w

uzyskiwaniu tych wyrażeń.

17.4.R

równań

warunków

V

0x

=V

7.5.R.

Obi

ych

zależności prze

W analogiczny sposób obliczamy kolejne zależnoś

.

Rozpatrujemy

układ

3

3

2

3

1

2

1

3

R

R

R

R

R

R

R

r

+

+

=

2

3

2

3

1

2

1

1

2

1

1

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

r

+

+

2

3

2

3

1

R

r

R

R

R

=

+

)

(

y

t

V

t

a

t

y

y

+

+

=

Z

zadania otrzymujemy:

0y

=x

0

=y

0

=0

q

d

U

ma

q

d

U

x

=

=

g

a

y

=

1

e

cząstki będą się poruszały po liniach śrubow

+

=

Jest to ruch złożony z ruchu

U

mg

d

Y

l

F

E

X

0

0

2

2

)

(

x

t

V

t

a

t

x

x

x

+

+

=

0

0

2

2

y

md

Uq

a

Eq

F

x

e

=

⇒

=

Uq

md

t

md

Uqt

d

t

x

k

k

k

2

2

)

(

=

⇒

=

=

2

2

Uq

gmd

gt

l

t

y

k

k

max

2

)

(

⇒

=

=

=

Uq

gmd

l

2

2

2

<

1t

V

α

B

Q

V

1B

V

jednostajnego z prędkościami

V

1t

=Vcos

α

V

2t

=Vcos

β

kres obie

zas potrz

ła cząstkę 1 można

apisać

by czą

w

ał

Przy

założeniu, że siła ciężkości jest pomijalnie mała

od pola magnetycznego F

l

.

przypad

y grawitacji, która jest

awsze ró

rodkowej, należy

związać

i z ruchu po okręgu przy czym:

V

s

=

gu nie zależy od prędkości

ebny na to by cząstka 2 dogoni

w następujący sposób

0

1

2

2

2

t

m

R

QB

mV

R

B

QV

R

mV

B

B

B

=

=

π

π

QB

T

V

T

B

=

⇒

=

na minimum jednemu

O
C
z

2

2

0

1

0

1

t

t

α

cos

0

0

1

V

t

t

V

t

t

=

=

cos

1

2

V

V

V

t

t

k

−

A

stki się spotkały całkowita różnica czasu musi być ró

kowitemu okresowi

α

β

π

cos

cos

2

−

=

⇒

=

m

t

T

t

c




17.6.R.

Zadanie

to

można rozwiązać rozpatrując działanie

tylko siły pochodzącej

V

m

qVB

R

=

⇒

=

W

ku uwzględnienia sił

wnoległa do siły doś

następujące równanie.

α

β

cos

2

1

V

t

t

x

x

t

V

x

t

V

x

x

k

−

=

⇒

=

=

+

=

α

cos

0

QB

k

RqB

mV

B

V

l

⇒

⊥

2

r

r

qVB

F

=

R

mV

mg

2

〈〈

B

g

R

V

qVB

m

qVB

mg

R

mV

+

=

⇒

=

+

2

2

s

X

V

1

V

2

z
ro

17.7.R.

W

adunku po

kręgu nie zale

ędkości są

uże (m

ma wpływ

mV

R

T

f

m

E

V

mV

E

π

π

2

2

2

1

2

2

2

=

=

=

=

=

⇒

=

przypadku gdy V<<C (mechanika klasyczna) częstotliwość obiegu ł

ży od prędkości, a więc nie zależy od energii kinetycznej. Jeżeli pr

echanika relatywistyczna) masa cząstki zależy od energii kinetycznej, dlatego energia

na częstotliwość obiegu ładunku.

o
d
ta

m

qB

f

q

qBV

V

T

qB

mE

qB

mV

R

qVB

R

π

2

2

2

=

=

=

⇒

=

mV

B

⇒

m

π