Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

29-1

Wykład 29

29.

Dyfrakcja

Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) odkrył Grimaldi (XVII w). Polega ono na uginaniu się

promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny).
Wyjaśnienie dyfrakcji w oparciu o zasadę Huyghensa - Fresnel (przełom XVIII i XIX
w). (W jego czasach wierzono, że fale świetlne są falami mechanicznymi w przenikają-
cym wszechświat eterze. Dopiero Maxwell pokazał, że fale świetlne są falami elektro-
magnetycznymi, a Einstein odrzucił postulat konieczności istnienia eteru).
Rysunek (a) pokazuje ogólnie na czym polega dyfrakcja.

Fala ze źródła S pada na szczelinę B i przechodzące przez otwór pada na ekran C. Natę-
ż

enie w punkcie P można obliczyć dodając do siebie wszystkie zaburzenia falowe (tj.

wektory E). Te zaburzenia falowe mają różne amplitudy i fazy ponieważ:

•

elementarne źródła Huyghensa (punkty w szczelinie) są w różnych odległościach od
punktu P.

•

ś

wiatło opuszcza te punkty pod różnymi kątami.

Taka sytuacja gdy fale opuszczające otwór nie są płaskie (promienie nie są równoległe)
pojawia się gdy źródło fal S i ekran (C), na którym powstaje obraz znajdują się w skoń-
czonej odległości od ekranu ze szczeliną (B). Taki przypadek nosi nazwę

dyfrakcji

Fresnela

. Obliczenia natężeń światła są w tej sytuacji trudne.

Całość upraszcza się, gdy źródło S i ekran C odsuniemy na bardzo duże odległości od
otworu uginającego. Ten graniczny przypadek nazywamy

dyfrakcją Fraunhofera

. Czoła

fal padających jak i ugiętych są płaszczyznami (promienie są równoległe) tak jak to wi-
dać na rysunku (b).

S

B

C

P

a)

do bardzo
odległego
ekranu

z bardzo
odległego

ź

ródła

b)

θ

B

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

29-2

Warunki do wystąpienia dyfrakcji Fraunhofera można zrealizować w laboratorium za
pomocą dwu soczewek (rysunek c).

Pierwsza soczewka zmienia falę rozbieżną w równoległa, a druga skupia w punkcie P
fale płaskie opuszczające otwór. Wszystkie promienie oświetlające punkt P opuszczają
otwór równolegle do linii przerywanej (przechodzącej przez środek soczewki). Warunki
dyfrakcji Fraunhofera były z założenia spełnione w doświadczeniu Younga.
W dalszej części wykładu będziemy zajmować się tylko dyfrakcją Fraunhofera.

29.1

Pojedyncza szczelina

Rysunek pokazuje falę płaską padającą prostopadle na szczelinę o szerokości a. Roz-

patrzmy punkt środkowy P

0

ekranu. Równoległe promienie przebywają do tego punktu

te same drogi optyczne (różne geometryczne) tzn. promienie zawierają tę samą ilość
długości fal (soczewki cienkie). Ponieważ w szczelinie promienie są zgodne w fazie to
po przebyciu takich samych dróg optycznych nadal pozostają zgodne w fazie. Dlatego
w środkowym punkcie P

0

będzie maksimum.

Rozpatrzmy teraz inny punkt P

1

na ekranie. Promienie docierające do P

1

wychodzą ze

szczeliny pod kątem

θ

. Jeden promień ma początek u góry szczeliny a drugi w jej środ-

ku. (Promień xP

1

przechodzi przez środek soczewki więc nie jest odchylany).

P

0

f

B

a

C

S

f

f

B

C

P

θ

c)

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

29-3

Jeżeli wybierzemy punkt P

1

tak, żeby różnica dróg bb’ wynosiła

λ

/2 to promienie zgod-

ne w fazie w szczelinie będą miały w punkcie P

1

fazy przeciwne i wygaszą się. Podob-

nie każdy inny promień wychodzący z górnej połowy szczeliny będzie się wygaszał z
odpowiednim promieniem z dolnej połówki leżącym w odległości a/2 poniżej. Punkt P

1

będzie miał natężenie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne). Warunek opisujący to
minimum ma następującą postać

λ

θ

2

1

sin

2

1

=

a

czyli

asin

θ

=

λ

Uwaga: Gdyby szerokość szczeliny była równa

λ

wtedy pierwsze minimum pojawiłoby

się dla

θ

= 90

°

czyli środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran. W miarę rozszerza-

nia szczeliny środkowe maksimum staje się węższe. (Podobnie było dla interferencji
Younga w miarę zmiany odległości między szczelinami punktowymi). Podobne rozwa-
ż

ania możemy powtórzyć dla wielu punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyrażenie

dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci

asin

θ

= m

λ

, m = 1, 2, 3,...... (minimum)

(29.1)

Mniej więcej w połowie między każdą para sąsiednich minimów występują oczywiście
maksima natężenia.

a

θ

θ

b

’

b

λ

/2

x

P

1

P

0

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

29-4

29.2

Pojedyncza szczelina, rozważania jakościowe

Teraz chcemy znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym obszarze dyfrak-

cyjnym w funkcji kąta

θ

. Teraz zrobimy to jakościowo.

Wyobraźmy sobie, że szczelinę o szerokości a dzielimy na N pasków o małej szerokości

∆

x. Każdy pasek jest źródłem fal kulistych Huyghensa, które wytwarzają na ekranie

określone zaburzenie falowe.
Różnica dróg między sąsiednimi paskami wynosi

∆

xsin

θ

stąd różnica faz

∆

ϕ

pomiędzy

falami pochodzącymi z sąsiednich pasków wynosi

λ

θ

π

ϕ

sin

2

x

∆

=

∆

czyli

θ

λ

π

ϕ

sin

2

x

∆

=

∆

•

Zakładamy, że paski są tak
wąskie, że wszystkie punkty
na danym pasku mają tę samą
drogę optyczną do punktu P
(całe światło ma tę samą fazę).

•

Dla małych kątów

θ

amplitudy

∆

E

0

zaburzeń falowych w

punkcie P pochodzące od róż-
nych pasków przyjmujemy za
jednakowe.

Zatem w punkcie P dodaje się N
wektorów (pól elektrycznych E)
o tej samej amplitudzie

∆

E

0

, tej

samej częstości i tej samej różnicy faz

∆

ϕ

między kolejnymi wektorami.

Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla różnych punktów P, tzn. dla różnych ką-
tów

θ

, tzn. dla różnych

∆

ϕ

. Poniżej na rysunkach przedstawione jest zaburzenie wypad-

kowe dla kilku różnych miejsc na ekranie.

a

θ

θ

∆

x sin

θ

B

C

P

P

0

E

θ

=

E

M

E

θ

E

θ

E

θ

E

θ

= 0

a)

b)

c)

d)

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

29-5

•

Rysunek (a) przedstawia warunki dla maksimum środkowego (

∆

ϕ

=0

°

).

•

Rysunek (b) przedstawia warunki dla kierunku nieco odmiennego od maksimum
ś

rodkowego (

∆

ϕ

=5

°

).

•

Rysunek (c) przedstawia warunki dla pierwszego minimum (

∆

ϕ

=30

°

).

•

Rysunek (d) przedstawia warunki bliskie pierwszemu maksimum (poza środkowym)
(

∆

ϕ

=42

°

).

Zwróćmy uwagę, że długość łuku jest zawsze równa E

M

ale amplituda E

θ

jest różna.

Wektory na rysunku odpowiadają amplitudom (a nie natężeniom). śeby otrzymać natę-
ż

enia trzeba je podnieść do kwadratu. W przeciwieństwie do obrazu interferencyjnego

natężenia kolejnych maksimów nie są jednakowe

.

29.3

Pojedyncza szczelina, rozważania ilościowe

Na rysunku poniżej jest przedstawiona konstrukcja służąca do obliczenia natężenia
ś

wiatła w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. Sytuacja odpowiada tej pokazanej na

poprzednim rysunku (b).

Jeżeli szczelinę podzielimy na nieskończenie wiele małych pasków o szerokości dx to
łuk strzałek będzie łukiem koła o promieniu R. Długość łuku wynosi E

m

czyli równa jest

amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strzałek).
Kąt

ϕ

w dolnej części rysunku przedstawia różnicę fazy między skrajnymi wektorami w

łuku tzn.

ϕ

jest różnicą faz pomiędzy promieniami wychodzącymi z góry i dołu szczeli-

ny.
Jak widać z rysunku

2

sin

2

ϕ

θ

=

R

E

czyli

R

R

E

m

E

m

E

θ

α

α

ϕ

ϕ

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

29-6

2

sin

2

ϕ

θ

R

E

=

(29.2)

W mierze łukowej

R

E

m

=

ϕ

Stąd

ϕ

m

E

R

=

Podstawiając do równania (29.2) otrzymamy

2

sin

2

ϕ

ϕ

θ

m

E

E

=

czyli

α

α

θ

sin

m

E

E

=

(29.3)

gdzie

α

=

ϕ

/2.

Przypomnijmy, że

ϕ

jest różnicą faz dla promieni wychodzących z krańców szczeliny.

Ponieważ różnica dróg dla tych promieni wynosi asin

θ

(a szerokość szczeliny) więc

możemy posłużyć się znanym związkiem

różnica faz/2

π

= różnica dróg/

λ

otrzymując

θ

λ

π

ϕ

sin

2 a

=

lub

θ

λ

π

ϕ

α

sin

2

a

=

=

(29.4)

Teraz możemy już obliczyć natężenie światła dla dyfrakcji na pojedynczej szczelinie.
Natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy. Otrzymujemy więc

2

sin













=

α

α

θ

m

I

I

(29.5)

Wyrażenie na natężenie przyjmuje wartość minimalną dla

α

= m

π

, m = 1, 2, 3,....

Podstawiając do równania (29.4) otrzymujemy

asin

θ

= m

λ

, m = 1, 2, 3, ..... (minimum)

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

29-7

Jest to wynik zgodny z uzyskanym poprzednio (rozważania jakościowe).
Obliczmy teraz względne natężenia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych.
Maksima leżą w środku pomiędzy minimami, a więc w punktach, dla których

α

= (m+1/2)

π

, m = 1, 2, 3,.......

Podstawiając to do równania (29.5) na natężenie otrzymujemy
I

θ

/I

m

= 0.045, 0.016, 0.008 dla m = 1, 2, 3. Widać, że

natężenia kolejnych maksimów

bardzo szybko maleją

.

Na rysunku poniżej przedstawiono krzywe I

θ

dla różnych szerokości szczeliny (w sto-

sunku do długości fali

λ

) w funkcji położenia na ekranie (kąta

θ

).

29.4

Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch szczelinach

W doświadczeniu Younga szczeliny były wąskie ( a <<

λ

) tak, że każda ze szczelin

oświetlała równomiernie ekran. Jeżeli takie fale (spójne) interferowały to otrzymywali-
ś

my prążki o jednakowym natężeniu.

Dla realnych szczelin trudno jest zrealizować warunek a <<

λ

. Oznacza to, że pojedyn-

cza szczelina będzie dawała obraz dyfrakcyjny i interferencja fal da teraz obraz, w któ-
rym natężenia prążków nie będą stałe (jak w doświadczeniu Younga) ale zależne od te-
go obrazu dyfrakcyjnego.
Odejście od założenia a <<

λ

powoduje głównie zmianę natężenia prążków (ich położe-

nia pozostają prawie nie zmienione).
Przypomnijmy, że obraz interferencyjny dla dwóch szczelin dany jest równaniem

β

θ

2

int

,

int

,

cos

m

I

I

=

gdzie

θ

λ

π

β

sin

d

=

a=10

λ

a=5

λ

a=

λ

10

5

10

5

w

z

g

l

ę

d

n

e

n

a

t

ę

ż

e

n

ie

θ

(deg)

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

29-8

przy czym d jest odległością między szczelinami.
Natomiast natężenie fali ugiętej na szczelinie jest dane równaniem

2

,

,

sin













=

α

α

θ

dyf

m

dyf

I

I

gdzie

θ

λ

π

α

sin

a

=

przy czym a jest szerokością szczeliny.
Teraz chcemy otrzymać łączny efekt. Dlatego w równaniu dla interferencji stałą ampli-
tudę (dla wąskich szczelin) zastępujemy realnym natężeniem dyfrakcyjnym. Otrzymu-
jemy

2

2

sin

)

(cos













=

α

α

β

θ

m

I

I

(29.6)

Ten wynik opisuje następujące fakty. W pewnym punkcie ekranu natężenie światła, z
każdej szczeliny osobno, jest dane przez obraz dyfrakcyjny tej szczeliny. Obrazy dy-

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a =

λ

w

z

g

l

ę

d

n

e

n

a

t

ę

ż

e

n

ie

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a = 5

λ

w

z

g

l

ę

d

n

e

n

a

t

ę

ż

e

n

ie

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a = 10

λ

10

10

5

5

w

z

g

l

ę

d

n

e

n

a

t

ę

ż

e

n

ie

θ

(deg)

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

29-9

frakcyjne dwóch szczelin rozpatrywanych oddzielnie nakładają się (fale interferują). Ry-
sunek poniżej jest wykresem powyższego równania dla d = 50

λ

i trzech wartości sto-

sunku a/

λ

.

Obwiednie prążków interferencyjnych pokrywają się dokładnie z obrazem dyfrakcyj-

nym. Obraz jest więc

iloczynem czynnika interferencyjnego i dyfrakcyjnego

(rysunek

poniżej).

Czynnik interferencyjny (cos

2

β

)

jest pokazany na górnym wykresie,

czynnik

dyfrakcyjny (sin

α

/

α

)

2

na środkowym, a ich iloczyn na dolnym.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w

z

g

l

ę

d

n

e

n

a

t

ę

ż

e

n

ie

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

w

z

g

l

ę

d

n

e

n

a

t

ę

ż

e

n

ie

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

10

10

5

5

θ

(deg)

a = 5

λ

w

z

g

l

ę

d

n

e

n

a

t

ę

ż

e

n

ie