CW4 INSTa id 123435 Nieznany

background image

LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ

Instrukcja do ćwiczenia

4

Wyznaczanie współczynnika restytucji

Cel

ć

wiczenia

Celem

ć

wiczenia jest zapoznanie ze sposobem wyznaczania współczynnika

restytucji

Literatura

1.

J.Leyko, Mechanika Ogólna, tom II.

2.

R. Grybo

ś

, Teoria uderzenia w dyskretnych układach mechanicznych

Zagadnienia kontrolne

1. Pop

ę

d siły

2. Zale

ż

no

ść

mi

ę

dzy p

ę

dem i pop

ę

dem

3. Zasada zachowania p

ę

du

4. Zasada kr

ę

tu

5. Moment bezwładno

ś

ci wzgl

ę

dem osi

6. Współczynnik restytucji

7. Definicja zderzenia
8. Zderzenia niespr

ęż

yste i spr

ęż

yste

9. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

10. Wyznaczanie

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci ciała zło

ż

onego z układu kilku podstawowych brył


Podstawy teoretyczne zwi

ą

zane z realizacj

ą

ć

wiczenia

W niektórych sytuacjach mamy do czynienia z siłami, które działaj

ą

na ciało w

okresie bardzo krótkiego przedziału czasu, osi

ą

gaj

ą

c bardzo du

ż

e chwilowe warto

ś

ci.

Tego rodzaju siły pojawiaj

ą

si

ę

przy zderzeniach ciał materialnych oraz wszelkiego

rodzaju szarpni

ę

ciach.

Cz

ę

sto rozpatruje si

ę

zderzenia doskonale spr

ęż

yste lub doskonale

niespr

ęż

yste

(plastyczne).

Przy

analizie

zderzenia

spr

ęż

ysto-plastycznego

uwzgl

ę

dni

ć

nale

ż

y współczynnik uderzenia, tzw. współczynnik restytucji.

Rozpatrzmy jedno z ciał bior

ą

cych udział w zderzeniu i zapiszmy drug

ą

zasad

ę

dynamiki Newtona:

a

m

F

r

r

=

Mo

ż

emy wi

ę

c zapisa

ć

:

background image

( )

dt

p

d

dt

v

m

d

dt

v

d

m

a

m

r

r

r

r

=

=

=

gdzie

p

r

jest p

ę

dem.

Drug

ą

zasad

ę

dynamiki Newtona mo

ż

na wi

ę

c zapisa

ć

jako:

dt

p

d

F

r

r

=

Bior

ą

c pod uwag

ę

ż

e siła zale

ż

y od czasu mo

ż

emy napisa

ć

:

dt

t

F

p

d

)

(

r

r

=

=

konc

pocz

konc

pocz

t

t

p

p

dt

t

F

p

d

)

(

r

r

r

r

gdzie indeksy pocz i konc odnosz

ą

si

ę

do wielko

ś

ci przed i po zderzeniu.

Lewa strona równania stanowi zmian

ę

p

ę

du ciała. Prawa strona zale

ż

na od czasu

działania i wielko

ś

ci siły, stanowi pop

ę

d siły.

W wyniku zderzenia dwóch ciał i braku oddziaływa

ń

zewn

ę

trznych ulega zmianie p

ę

d

poszczególnych ciał bior

ą

cych udział w zderzeniu (nie zmienia si

ę

natomiast

całkowity p

ę

d układu tzn. p

ę

du kładu przed i po zderzeniu s

ą

sobie równe – zasada

zachowania p

ę

du).

Oznaczaj

ą

c chwil

ę

pojawienia si

ę

siły jako t

0

i czas jej trwania jako

τ

mamy:

τ

+

=

0

t

t

konc

i ostatecznie pop

ę

d (impuls) siły mo

ż

emy wyrazi

ć

jako:

+

=

τ

0

0

)

(

t

t

dt

t

F

S

r

r

Na rysunku 1 znajduje si

ę

przykładowy przebieg czasowy warto

ś

ci siły. Zgodnie z

powy

ż

szym moduł pop

ę

du siły stanowi pole powierzchni pod krzyw

ą

F(t).

Rys.1. Warto

ść

chwilowa siły w funkcji czasu


Proces zderzenia mo

ż

na podzieli

ć

na dwie fazy. Pierwsza z nich charakteryzuje si

ę

wzrostem siły chwilowej i narastaniem odkształce

ń

. Odkształcenia maj

ą

charakter

zarówno lokalny w miejscu zetkni

ę

cia si

ę

ciał oraz ogólne, obejmuj

ą

ce zasi

ę

giem

cał

ą

obj

ę

to

ść

zderzaj

ą

cych si

ę

ciał. Stan ten trwa do chwili

1

τ

=

t

(patrz rysunek 2).

background image

Rys.2. Dwie fazy zderzenia. Dla uproszczenia przyj

ę

to,

pocz

ą

tek zderzenia w chwili t=0

W chwili tej siła jak i lokalne odkształcenia osi

ą

gaj

ą

warto

ść

maksymaln

ą

. W kolejnej

fazie trwaj

ą

cej do chwili

τ

nast

ę

puje spadek siły do zera i zanikanie odkształce

ń

lokalnych. Oznaczaj

ą

c odpowiednie impulsy siły jak na rysunku 2 mo

ż

emy napisa

ć

,

ż

e całkowity pop

ę

d siły wynosi:

2

1

S

S

S

r

r

r

+

=

W celu scharakteryzowania stopnia spr

ęż

ysto

ś

ci zderzenia wprowadza si

ę

współczynnik restytucji R, wyra

ż

aj

ą

cy jaka cz

ęść

impulsu pierwszej fazy zderzenia

zostaje odzyskana w drugiej fazie.

1

2

S

S

R

=

Je

ż

eli przebieg czasowy siły chwilowej w drugiej fazie, jest zwierciadlanym odbiciem

przebiegu w pierwszej fazie, to S

2

= S

1

, a R=1. Ma to miejsce wówczas gdy

odkształcenia lokalne i ogólne s

ą

wył

ą

cznie spr

ęż

yste i zderzeniu nie towarzysz

ą

ż

adne straty energii kinetycznej (zderzenie idealnie spr

ęż

yste). Drugi skrajny

przypadek stanowi zderzenie plastyczne (całkowicie niespr

ęż

yste), w którym ciała

doznaj

ą

odkształce

ń

trwałych, a wi

ę

c nie zanikaj

ą

cych mimo tego,

ż

e siła chwilowa

maleje do zera. Przy zderzeniu plastycznym istnieje tylko pierwsza faza, czyli S

2

=0,

S

1

=S, oraz R=0.

W warunkach rzeczywistych mamy do czynienia z przypadkami po

ś

rednimi

czyli zderzeniami elasto-plastycznymi (niespr

ęż

ystymi) dla których 0< R <1.


Zasada zmienno

ś

ci kr

ę

tu dla sił chwilowych


Rozpatrzmy ciało poddane działaniu siły chwilowej

F

r

w punkcie A.


background image

Rys.3. Impuls sił chwilowych działaj

ą

cych na ciało sztywne.

Pocz

ą

tek układu współrz

ę

dnych le

ż

y w

ś

rodku masy.


Niech

K

r

oznacza wektor kr

ę

tu ciała wzgl

ę

dem

ś

rodka masy. Siła chwilowa

F

r

, której

impuls wynosi

S

r

, działa na promieniu – wektorze

r

r

.

Na podstawie zasady kr

ę

tu:

F

r

dt

K

d

r

r

r

×

=

Po scałkowaniu otrzymamy:

(

)

×

=

τ

τ

0

)

(

dt

t

F

r

K

K

r

r

r

r


gdzie:

τ

K

r

oznacza kr

ę

t po zderzeniu natomiast

K

r

- tu

ż

przed zderzeniem


Załó

ż

my,

ż

e

r

r

nie ulega zmianie w czasie działania siły chwilowej wi

ę

c:

(

)

( )

S

r

dt

t

F

r

dt

t

F

r

r

r

r

r

r

×

=

×

=

×

τ

τ

0

0

)

(

Zatem równanie zasady zmienno

ś

ci kr

ę

tu dla sił chwilowych przyjmuje posta

ć

:

S

r

K

r

r

r

×

=

(1)


Układ rzeczywisty
Rozpatrzmy zderzenie wahadła fizycznego 1 (bijaka) z nieruchomym wahadłem
fizycznym 2. Układ zaprezentowano na rysunku 4.

Rys.4. Wahadła w spoczynku (stykaj

ą

si

ę

swobodnie)

background image

Przez I oznaczono odpowiednie momenty bezwładno

ś

ci wahadeł wzgl

ę

dem osi

obrotu, h poło

ż

enie

ś

rodków mas,

ω

pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towe. Na rysunku 5 przedstawiono

poszczególne fazy ruchu zwi

ą

zane z prowadzonym podczas

ć

wiczenia

eksperymentem.

Rys.5. Kolejne fazy ruchu układu, a) wahadło 1 wychylone o k

ą

t

α

0

, b) wahadło 1

uderza w drugie z pr

ę

dko

ś

ci

ą

k

ą

tow

ą

ω

1

, c) wahadło 2 wychyla si

ę

o k

ą

t

α

max

Skorzystamy z zasady zachowania kr

ę

tu, która mówi

ż

e przyrost kr

ę

tu ciała

materialnego wzgl

ę

dem bieguna wywołany działaniem siły chwilowej równy jest

momentowi jej impulsu wzgl

ę

dem tego

ż

bieguna (wzór 1). Poniewa

ż

ruch odbywa si

ę

w jednej płaszczy

ź

nie wi

ę

c kierunki wektorów kr

ę

tu obu wahadeł s

ą

równoległe.

Mo

ż

emy wi

ę

c zrezygnowa

ć

z opisu wektorowego.

Dla pierwszego okresu zderzenia mamy:

=

=

1

2

1

1

1

1

lS

I

lS

I

I

ω

ω

ω

(2)

gdzie:

ω

1

– pr

ę

dko

ść

k

ą

towa wahadła 1 przed zderzeniem,

ω

pr

ę

dko

ść

k

ą

towa w

ś

rodkowej fazie zderzenia (pr

ę

dko

ść

k

ą

towa zderzenia wahadeł).

Dla drugiej fazy zderzenia mamy:

=

=

2

2

2

2

2

1

*

1

1

lS

I

I

lS

I

I

ω

ω

ω

ω

(3)

gdzie:

ω

*

1

jest pr

ę

dko

ś

ci

ą

wahadła 1 po zderzeniu,

ω

2

jest pr

ę

dko

ś

ci

ą

wahadła 2.

Wykorzystuj

ą

c definicj

ę

współczynnika restytucji oraz powy

ż

sze układy równa

ń

otrzymamy:

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

=

=

=

ω

ω

ω

ω

ω

I

I

I

I

I

S

S

R

(4)

Z układu równa

ń

(2) mo

ż

emy wyznaczy

ć

nieznane

ω

:

2

1

1

1

I

I

I

+

=

ω

ω

(5)

Wykorzystuj

ą

c zale

ż

no

ś

ci (4) i (5) otrzymamy

(

)

1

2

1

1

2

1

2

1

2

2

ω

ω

ω

I

I

I

I

I

I

I

R

+

=

(6)

Aby wyznaczy

ć

pr

ę

dko

ś

ci k

ą

towe nale

ż

y przyrówna

ć

energi

ę

kinetyczn

ą

T do pracy

L sił ci

ęż

ko

ś

ci.

)

cos

1

(

2

1

0

1

1

2

1

1

α

ω

=

gh

m

I

(7)

gdzie: m

1

masa pierwszego wahadła.

background image

Powy

ż

sze równanie prowadzi do:

2

sin

2

2

sin

2

2

)

cos

1

(

2

)

cos

1

(

2

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

α

α

α

α

ω

I

gh

m

I

gh

m

I

gh

m

I

gh

m

=

=

=

=

(8a)

Analogicznie mo

ż

na wyznaczy

ć

ω

2

co daje:

(8b)

2

sin

2

max

2

2

2

2

α

ω

I

gh

m

=

Wracaj

ą

c do wyra

ż

enia na R i podstawiaj

ą

c wyznaczone pr

ę

dko

ś

ci

ω

1

i

ω

2

otrzymamy:

1

2

sin

2

sin

0

max

2

2

1

1

1

1

2

2

2

+

=

α

α

I

I

I

h

m

I

h

m

I

R

(9)

Momenty bezwładno

ś

ci wahadeł mo

ż

na wyznaczy

ć

do

ś

wiadczalnie za pomoc

ą

wzoru:

2

4

π

i

i

i

i

T

gh

m

I

=

(10)

gdzie: T

i

ś

redni okres waha

ń

i – tego wahadła fizycznego, h

i

– odległo

ść

ś

rodka

masy od osi obrotu wahadła (wyznaczona na podstawie oblicze

ń

).


Przebieg

ć

wiczenia

Ć

wiczenie nale

ż

y wykona

ć

zgodnie z przebiegiem podanym w arkuszu

sprawozdania.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Cw4 odp id 123443 Nieznany
cw4 korozja 2 id 123441 Nieznany
cw4 korozja id 123440 Nieznany
cw4 OS id 123444 Nieznany
Cw4 odp id 123443 Nieznany
cw4 korozja 2 id 123441 Nieznany
cw4 korozja id 123440 Nieznany
OS gr03 cw4 id 340946 Nieznany
cw4 telex cz1 id 123468 Nieznany
opracowanie et cw4 id 338175 Nieznany
OI CW4 Freud oryginal id 492438 Nieznany
AKO lab2012 cw4 id 53975 Nieznany (2)
4 multimetr cyfrowy cw4 id 608 Nieznany
GRI cw4 id 195769 Nieznany
OS gr03 cw4 id 340946 Nieznany
cw4 telex cz1 id 123468 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany

więcej podobnych podstron