1

Zastosowania całki krzywoliniowej w mechanice

Niech % = %(x, y) będzie daną ciągłą gęstością liniową masy łuku gładkiego L ⊂ R

2

.

• Masa łuku L :

M

def

=

Z

L

%(x, y) dl

• Momenty statyczne łuku L względem osi układu:

M

X

def

=

Z

L

y %(x, y) dl,

M

Y

def

=

Z

L

x %(x, y) dl,

• Współrzędne środka ciężkości:

x

c

def

=

M

Y

M

=

1

M

Z

L

x %(x, y) dl,

y

c

def

=

M

X

M

=

1

M

Z

L

y %(x, y) dl,

• Momenty bezwładności łuku L względem osi układu:

I

X

def

=

Z

L

%(x, y, z) y

2

dl,

I

Y

def

=

Z

L

%(x, y, z) x

2

dl,

• Moment bezwładności łuku L względem początku układu:

I

O

def

=

Z

L

%(x, y, z) ( x

2

+ y

2

) dl,

Niech % = %(x, y, z) będzie daną ciągłą gęstością liniową masy łuku gładkiego L ⊂ R

3

.

• Masa łuku L :

M

def

=

Z

L

%(x, y, z) dl

2

• Momenty statyczne łuku L względem płaszczyzn układu:

M

XY

def

=

Z

L

z %(x, y, z) dl,

M

XZ

def

=

Z

L

y %(x, y, z) dl,

M

Y Z

def

=

Z

L

x %(x, y, z) dl,

• Współrzędne środka ciężkości:

x

c

def

=

M

Y Z

M

=

1

M

Z

L

x %(x, y, z) dl,

y

c

def

=

M

XZ

M

=

1

M

Z

L

y %(x, y, z) dl,

z

c

def

=

M

XY

M

=

1

M

Z

L

z %(x, y, z) dl,

• Momenty bezwładności łuku L względem osi układu:

I

X

def

=

Z

L

%(x, y, z) ( y

2

+ z

2

) dl,

I

Y

def

=

Z

L

%(x, y, z) ( x

2

+ z

2

) dl,

I

Z

def

=

Z

L

%(x, y, z) ( x

2

+ y

2

) dl,

• Moment bezwładności łuku L względem początku układu:

I

O

def

=

Z

L

%(x, y, z) ( x

2

+ y

2

+ z

2

) dl,