K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

IV.

TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913)

Bohr zastanawiał się, jak wyjaśnić strukturę widm liniowych.

Elektron musi krążyć, aby zrównoważyć siłę Coulomba (przyciągającą). Skoro krąży to
doznaje przyspieszenia i promieniuje, a wówczas traci energię.

IV.1. WIDMA PROMIENIOWANIA ATOMÓW

Rys. IV.1. Schemat spektrometru optycznego. Wiązka światła pada na pryzmat i zostaje rozszczepiona.

Rys.IV.2. Z Rys.IV.1. – na kliszy uzyskamy taki obraz padającej wiązki. Jest to widmo liniowe.

Rodzaje widm – podział:

I. według (ze względu na) długość fali λ
a) widma optyczne

– powstają w wyniku zmiany energii elektronów zewnętrznych

– 1 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

(100Å ≤ λ ≤ daleka podczerwień)
– widma widzialne (VIS):

4000Å ≤ λ ≤ 8000Å

– widma podczerwone (IR):

λ ≥ 8000Å

– widma nadfioletowe (UV):

λ ≤ 4000Å

b) widma rtg (rentgenowskie)

– powstają w wyniku zmiany energii elektronów wewnętrznych (najbliższych jądra
atomowego)

II. według struktury linii

a) widma liniowe | | | || | || | : atomy (jony) swobodne
b) widma pasmowe ||| |||| ||| |||| – gdy linie są zgrupowane bardzo gęsto obok

siebie: drobiny (jony drobin) np. CO

2

, NH

3

, CH

4

,...

c) widma ciągłe – są charakterystyczne dla materii skondensowanej: ciała stałe

(metale), ciecze i gazy w wysokich ciśnieniach. Nie da się jednoznacznie
przypisać konkretnej substancji.

a) i b) są charakterystyczne dla danej substancji – określają ją w sposób jednoznaczny

Dwie linie blisko siebie w widmie – dublet (np. widmo sodu).

III. ze względu na sposób obserwacji

a) widma emisyjne – obserwujemy promieniowanie wysyłane
b) widma absorbcyjne – powstają gdy widmo ciągłe przepuścimy przez daną

substancję (np. gaz), różnica widma ciągłego i liniowego. Na podstawie
analizy linii widmowych możemy stwierdzić przez jakie pierwiastki widmo
zostało przepuszczone

– 2 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

Rys.IV.3. Przykłady widm.

IV.2. WIDMO ATOMU WODORU (DOŚWIADCZENIE)

Rys.IV.4. Widmo atomu wodoru – przedstawienie graficzne ilustrujące serię Balmera.

– 3 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

Balmer zaproponował wzór dzięki któremu możemy znaleźć położenie każdej z linii
widmowych atomu wodoru.



n

=

B

⋅n

2

n

2

−4

,

n = 3,4,5,....

(IV.2.1)

λ

3

=

λ

α

= 6563 [Å]

H

∞

– granica serii Balmera ( λ =3646Å)

Każda seria kończy się pewną linią graniczną.
W serii Balmera wykryto 10 linii.

Rydberg wprowadził pewną modyfikację z której wynika, że wygodniej położenie linii
opisywać przez tzw. liczbę falową k, którą wyrażają zależności (IV.2.2a) lub (IV.2.2b):

k

=

1



(IV.2.2a)

lub

k

=

2





(IV.2.2b)

k

n

=R

H



1

2

2

−

1

n

2



,

n = 3,4,5,...

(IV.2.3)

gdzie:
stała Rydberga – R

H

= 109677,58 cm

-1

Znanych jest 6 serii linii widmowych, których linie opisuje uogólniony wzór Rydberga:

k

= R

∞

Z

2



1

n

1

2

−

1

n

2

2



(IV.2.4)

n

2

= n

1

+1, n

1

= const dla danej serii i 1 ≤ n

1

≤ 6

– 4 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

SERIA

ROK

n

1

ZAKRES

Lymana

Balmera

Paschena

1906
1885
1908

1
2
3

UV

VIS+UV

IR

przed teorią

Bohra

Bracketta

Pfunda

Humpkreysa

1922
1924
1952

4
5
6

po teorii Bohra

IR
IR
IR

Tabela IV.2. Serie widmowe atomu wodoru.

Model Bohra przewidział istnienie dalszych serii w podczerwieni zanim zostały praktycznie
wykryte.
Teoria Bohra wyprowadzona dla atomu z jednym elektronem – atomy wodoropodobne.

IV.3. TERMY I ZASADA KOMBINACJI RYDBERGA – RITZA (1908)

k

=



R

H

n

1

2

−

R

H

n

2

2



k

=T

1

−T

1

, T

1

=

R

H

n

1

2

, T

2

=

R

H

n

2

2

T

n

=

df

R

H

n

2

(IV.3.1)

Wzór (IV.3.1) – pojęcie termu, którego matematyczna postać jest inna dla każdego
pierwiastka.

Położenie dla dowolnego widma (linii) możemy przedstawić jako różnicę dwóch termów:

k

n

=T

n

'

−T

n1

'

Wzory termów dla atomów innych niż wodór, mają inną postać.

Zasada kombinacji Rydberga – Ritza

Liczby falowe dowolnych linii spektralnych mogą być wyrażone jako różnice odpowiednich
termów. Termy te poprzez kombinacje z innymi termami mogą służyć do obliczania liczb

– 5 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

falowych innych linii tego samego widma.

Podsumowanie:

Widma atomowe nie są ciągłe – są liniowe, a więc skwantowane!

IV.4. POSTULATY BOHRA

Teoria Bohra oparta jest na następujących postulatach:

I. Elektron porusza się po orbicie kołowej i podlega prawom fizyki klasycznej

(równowaga zapewniona przez prawo Coulomba i II zasadę dynamiki Newtona).
Siła przyciągająca między ładunkiem a jądrem jest równoważona przez siłę
odśrodkową.

II. Zamiast nieskończonej liczby orbit , które dozwolone są z punktu widzenia

mechaniki klasycznej, elektron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla
których orbitalny moment pędu L spełnia warunek:

L

= n⋅ħ

, n = 1,2,3,...

ħ

=

df

h

2



(IV.4.1)

L

=∣L∣

– kręt orbitalny

L = r×p ,

p = m⋅v

Jest to tzw. postulat kwantowy.

III. Całkowita energia na danej orbicie stacjonarnej jest stała:

E=const

A zatem Bohr przyjął, że elektron nie traci energii!

IV. Przy przejsciu elektronu z jednej orbity na drugą atom wysyła promieniowanie.

E

2

→ E

1

< E

2

– 6 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

f

21

=

E

2

− E

1



h

– częstość wyemitowanego

promieniowania

Rys.IV.5. Promieniowanie emitowane przy przejściu elektronu z orbity wyższej na niższą.

Postulat analogiczny do postulatu Einsteina!
Bazując na tych postulatach można wyprowadzić wzór Rydberga.

IV.5. WYPROWADZENIE WZORU RYDBERGA.

F

e

=F

o

F

c

=k

'

Ze

2

r

2

F

o

=

mv

2

r

Rys. IV.6. Elektron krążący po orbicie wokół jądra atomu.

1

4



0

układ (SI)

k'=

1

układ (Gaussa)

założenie: k'=1

Ze

2

r

2

=

mv

2

r

, z czego i ze wzoru (IV.5.3) wynika, że

– 7 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

r

=

Ze

2

mv

2

(IV.5.4)

L

=nħ

(IV.5.1)

v

=

nħ

mr

(IV.5.3)

L

=mvr

(IV.5.2)

A zatem:

r

n

=

ħ

2

Ze

2

⋅m

⋅n

2

n = 1,2,3,

(IV.5.5)

r

1

:r

2

: r

3

:...

=1: 4 :9:...

z wzoru (IV.5.5) możemy wyliczyć promień wodoru na pierwszej orbicie (w stanie
podstawowym) – promień Bohra:

r

1

=5,3 ⋅10

−9

cm

Z (IV.5.3) i (IV.5.5) wynika, że prędkość na n-tej orbicie wynosi:

v

n

=

Ze

2

ħ

⋅

1

n

(IV.5.6)

Z wzoru (IV.5.6) możemy wyliczyć, że:

v

1

=2 ⋅10

8

cm

s

< 1% c

A zatem jak widać, nie ma efektu relatywistycznego.

v

k

~

1
n

, czyli

v

1

:v

2

: v

3

=1 :

1
2

:

1

3

Jak wynika z powyższych obliczeń, największą prędkość uzyskuje elektron na 1 orbicie.

Całkowita energia elektronu jest sumą energii kinetycznej E

k

i potencjalnej E

p

:

E

=E

k

E

p

(IV.5.7)

– 8 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

E

k

=

mv

2

2

=

Ze

2

2r

(IV.5.8)

E

p

=

∫

Ze

2

r

2

dr

=−

Ze

2

r

(IV.5.9)

E

=−

Ze

2

2r

(IV.5.10)

Z zależności (IV.5.7) – (IV.5.10) wynika, że:

E

=−E

k

Czyli, że energia całkowita elektronu jest ujemna, a więc elektron jest związany.

E

n

=−

Z

2

e

4

2ħ

2

⋅



1

n

2



(IV.5.11)

E

n

– całkowita energia elektronu na n–tej orbicie.

Z zależności (IV.5.11) można obliczyć

E

1

=−13,6 eV

, stąd wynika, że najsilniej

związany jest elektron na pierwszej powłoce.

E

1

=−13,6 eV

– taką energię trzeba dostarczyć ,aby oderwać elektron z 1 orbity

(zjonizować atom wodoru w stanie podstawowym).

E

n

=−

me

4

Z

2

2ħ

2

⋅



1

n

2



(IV.5.12)

Rys.IV.7. Przejście między stanami E

2

– E

1

.

– 9 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

Rys.IV.8. Drabina poziomów energetycznych.

Znając energię dowolnego poziomu energetycznego, możemy wyznaczyć częstość f:

f

21

=

E

2

−E

1

h

=

me

4

Z

2

4

 ħ

3



1

n

1

2

−

1

n

2

2



(IV.5.13)

Wprowadzamy liczbę falową k daną wzorem (IV.2.2a):

k

=

1

λ

=

f

c

(IV.5.14)

Po podstawieniu częstości danej wzorem (IV.5.13) do wzoru (IV.5.14) otrzymujemy:

k

= R

∞

Z

2



1

n

1

2

−

1

n

2

2



(IV.5.15)

R

∞

=

df

me

4

4

 ℏ

3

c

Po wstawieniu wartości liczbowych można wyliczyć, że:

R

∞

=109737,3128 cm

−1

Wzór (IV.5.15) określa położenie dowolnej linii. Dla Z=1 jest on zgodny ze wzorem
Rytberga.

– 10 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

R

H

=109677,58 cm

−1

R

∞

≃R

H

± 0,05%

Teoria Bohra jest w stanie wyjaśnić położenie linii w tych wszystkich 6 seriach widmowych
wodoru. Potwierdziła bardzo dokładnie położenie linii widmowych w znanych 3 seriach
oraz przewidziała istnienie 3 kolejnych. Każda seria odpowiada przejściu elektronu z
dowolnej powłoki n

2

= (n

1

+ n) na powłokę n

1

.

IV.6. POPRAWKA NA SKOŃCZONĄ MASĘ JĄDRA, M≠ ∞

W rzeczywistości, w atomie wodoropodobnym, oba ciała jądro i elektron poruszają się
wokół środka masy CM.

Rys.IV.9. Schematyczne przedstawienie środka masy w układzie jądro – elektron (nie w skali). Masa jądra
atomowego M jest skończona i wynosi niecałe 200 m

e

, im lżejsze jądro atomowe tym większe przesunięcie

środka ciężkości CM w stronę elektronu. M – masa elektronu, r – odległość elektronu od jądra atomowego, x
– odległość środka ciężkości atomu od środka jądra atomowego.

Można pokazać, że kręt elektronu w takim przypadku (tzn. gdy masa elektronu jest
skończona) wynosi:

L

= mM

m

M

⋅r

2

⋅=



mr

2



1

1



m

M



mr

2



(IV.6.1)

A zatem możemy stosować wszystkie wyprowadzone wcześniej wzory, tyle ze za masę
wstawiamy tzw. masę zredukowaną μ.

– 11 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

=

df

mM

m

M

(IV.6.2)

Uwzględniając to, że jądro ma skończoną masę, wzór Rydberga ma poniższą postać:

k

= R

M

Z

2



1

n

1

2

−

1

n

2

2



(IV.6.3)

R

M

=

e

4

4

e ℏ

3

(IV.6.4)

R

M

– stała Rytberga dla atomów ze skończoną wartością masy jądra.

IV.7. DOŚWIADCZENIE FRANCKA- HERTZA (1914)

Eksperymentalne potwierdzenie punktu IV.6.

Doświadczenie Francka – Hertza dotyczy zderzania się elektronów z dowolnymi atomami
metali (np. rtęci).
Jeżeli poszczególne poziomy energetyczne w atomie są skwantowane, to poziomy całego
atomu powinny być skwantowane (suma).

Rys.IV.10. Ilustracja doświadczenia Francka – Hertza. Bańka została wypełniona atomami Hg. S – siatka
(aby elektrony z katody K mogły przelecieć do anody A) służąca jako dodatkowa elektroda. Pomiędzy siatką

– 12 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

S a anodą A – potencjał hamujący V'.

Rys.IV.11. Wykres niebieski – jeżeli stany atomów są skwantowane możliwe jest tylko pokazanie
odpowiedniej dawki energii (ukazuje jak zmieniałoby się natężenie gdyby w bańce była próżnia i elektrony
nie zderzały się z atomami Hg, lub też gdyby te zderzenia były sprężyste). Wykres czerwony – ilustruje
rzeczywisty przebieg zależności (przy zderzeniach niesprężystych część energii jest przekazywana przez
elektrony atomom rtęci.)

E

k

≠ ∆ E

10

E

k

=eV

∆ E

k

= ∆ E

10

eV

1

=∆ E

10

eV

2

=∆ E

20

V

1

=4,9 eV

Rys.IV.12. Schemat poziomów energetycznych układu skwantowanego.

–

W charakterystyce i – V obserwujemy skoki (piki) związane ze wzbudzeniem atomów
Hg do coraz wyższych potencjałów energetycznych

–

doświadczenie pokazuje w sposób jakościowy oraz ilościowy (można wyliczyć), że
atom jest układem skwantowanym

Przy napięciu V

1

wzbudzenie do E

1

, przy V

2

wzbudzenie do E

2.

– 13 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

Jeżeli znamy napięcie pierwszego piku

V

1

=4,9 eV  ,

to możemy obliczyć częstość f

1

:

eV

1

=hf

1

→ f

1

=

eV

1

h

A ponieważ f

1

=

c



1

, to możemy obliczyć długość fali

λ

1

:



1

=

hc

eV

1

Z teorii dostajemy



1

=2530 Å UV 

Z doświadczenia Francka – Hertza



1

FH

=2537 Å

A zatem

∆





≈0,3%

Doświadczenie to potwierdza słuszność teorii Bohra.

– 14 –