Funkcje i równania

..........................

powrót :

gimnazjum

;

średnia

–

pojęcia podstawowe

–

określanie dziedziny

–

liniowe

1.

dziedzina

2.

wykres

3.

równanie

4.własności

a)

miejsce zerowe

b)

monotoniczność

c)

równoległość prostych

d)

prostopadłość prostych

5.

szukanie równania prostej

a)

,,punkt–punkt ”

b)

,,równoległość–punkt ”

c)

,,prostopadłość–punkt ”

6.

wyznaczanie punktu przecięcia prostych

7.

zadania dodatkowe

kontakt

Pojęcia podstawowe

Funkcja (oficjalnie): Dane są dwa zbiory X i Y . Jeśli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy

dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie jest funkcją.

...............................................................................

Zbiór X otrzymuje nazwy :

d

ziedzina, zbiór

a

rgumentów (nazwy te zaczynają się na początkowe litery alfabetu, bo x jest w alfabecie przed y).

Zbiór Y otrzymuje nazwy :

p

rzeciwdziedzina, zbiór

w

artości (nazwy te zaczynają się na końcowe litery alfabetu, bo y jest w alfabecie po x).

Element x to : element dziedziny, argument.

•

zaproś na swoją stronę

•

zgłoś naruszenie regulaminu

•

ranking stron

•

katalog stron

•

zaloguj się na swoje konto

funkcjeirównania

http://matmapoludzku.webpark.pl/tekst/s/frliniowe.htm

1 z 12

2009-09-21 14:05

Element y to : element przeciwdziedziny, wartość.

...................................................................

cofnij

...................................................................................

Równanie (mniej oficjalnie, ale prawidłowo): to taki zapis z matmy w którym jest jeden znak = i ,,coś ” po jego obu stronach.

Przykłady : równania 2+3=5 ; 2(x + y) = 0 ; 0 = 0 ; 2= 0 ;

...........

nie są równaniami zapisy 2+3= ; y =2x +1= 0 .

Uwaga : 1.podczas przekształcania równania zawsze mamy mieć jeden znak = w jednej linijce i ,,coś ” po jego obu stronach.

2.można rozwiązać równanie gdy jest w nim jedna niewiadoma (umiemy rozwiązać tylko równanie liniowe lub kwadratowe – inne równania nauczymy się
przekształcać tak aby otrzymać jeden z dwóch wymienionych rodzajów).

Równanie funkcji : to takie równanie w którym jest y tylko w potędze pierwszej (po wykonaniu w tym równaniu całej matmy).

Przykłady : równania funkcji y = 2 ; y =2x+1 ; (x+1)

2

= 2y –8 (w ostatnim nie zrobiono całej matmy, ale po jej zrobieniu y w potędze pierwszej zostanie);

..........

nie są równaniami funkcji x = 2 ; x

2

+ 3x –2 = 0 ; y = (x + 1)

2

– (2–y) (w ostatnim nie zrobiono całej matmy, po jej zrobieniu y ,,zniknie ”).

Miejsce zerowe funkcji : to taka liczba którą ,,zobaczysz ” tam gdzie wykres funkcji trafia w oś x.

(oficjalnie : to argument dla którego funkcja przyjmuje wartość zero)

Uwaga : miejsce zerowe nie jest punktem, jest liczbą.

..................................................................................

Określanie dziedziny – przyjęto na matmie, że gdy dziedziną w zadaniu jest zbór R (liczb rzeczywistych) to nie musimy tego podawać (chyba tylko na
polecenie nauczyciela).

Kiedy istnieje podejrzenie, że

dziedzina jest inna

niż R to należy ją wyznaczać

.

.........................................

cofnij

Jak wykryć podejrzenia ?

Są dwie główne sytuacje kiedy trzeba wyznaczać dziedzinę (niestety są też inne).

1

– gdy w zapisie z matmy wykryjesz

dzielenie

, ale nie znasz tego przez co dzielą (to co jest po dwukropku lub pod kreską ułamkową nie jest znane).

funkcjeirównania

http://matmapoludzku.webpark.pl/tekst/s/frliniowe.htm

2 z 12

2009-09-21 14:05

Przykłady 1: a) 2 : x (nie wiemy ile to x) ; (x+8) : (x–1) = 0 (nie wiemy ile to x–1).

2

– gdy w zapisie z matmy wykryjesz

pierwiastkowanie

(parzystego stopnia), ale nie znasz tego co siedzi pod daszkiem pierwiastka.

Przykłady 2: a)

(nie wiemy ile to x) ; b)

= 2 (nie wiemy ile to x–1).

Jak wyznaczać dziedzinę ?

Gdy wykryjesz sytuację

1

to musisz napisać, że to po dwukropku lub pod kreską ułamkową musi być

różne

od zera

(

wyniki odejmiemy od R i już jest nasza

dziedzina

).

np : 2 : x ; zakładamy, że x ≠ 0 więc dziedzina to D= R\ {0} (innych przykładów na razie nie będzie, bo ,,nie umiemy” jeszcze rozwiązywać równań).

Gdy wykryjesz sytuację

2

to musisz napisać, że to co pod daszkiem

jest większe lub równe zero

(

co otrzymasz jest dziedziną

).

np :

; zakładamy, że x ≥0 więc dziedzina to D= x≥0 (innych przykładów na razie nie będzie, bo ,,nie umiemy” jeszcze rozwiązywać nierówności).

Uwaga : jeśli nie wykryjesz żadnej z opisanych sytuacji to dziedziną jest R (z małymi wyjątkami).

............................

cofnij

Funkcje i równania liniowe

Funkcja liniowa – ma równanie postaci y =

a

x +

b

( gdzie

a

i

b

są dowolnymi liczbami ).

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta (stąd jej nazwa).

Uwaga : pionowa linia prosta nie jest funkcją, wynika to z def. funkcji i z tego, że równanie pionowej linii nie ma y (a równanie funkcji musi mieć).

1. Dziedzina tej funkcji to zbiór R. (nie ma w niej dzieleń ani pierwiastkowań)

2. Wykres

Problem 1

: Narysuj wykres funkcji : a ) y = 2x –1 ; b) y = –3x + 2 ; c) y = 3x ; d) y = –2.

Jak rysować wykres liniowej ?

Ponieważ wiemy, że będzie to linia prosta znajdziemy dwa punkty przez jakie ją poprowadzić. Metoda wyszukiwania tych

punktów jest moja, w szkole jest trochę gorzej (ale nauczymy się ,,oszukiwać” tak aby wyglądało, że robiliśmy po szkolnemu).

Opis przedstawię na przykładach.

funkcjeirównania

http://matmapoludzku.webpark.pl/tekst/s/frliniowe.htm

3 z 12

2009-09-21 14:05

Ad. a) y = 2x –1 . Aby wyznaczyć pierwszy punkt ,,zajrzyj ” do równania

od końca

.

Liczba którą tam widzisz (ta bez x, będzie zaznaczana na osi y (mamy

już jeden punkt).

W przykładzie to –1 (a punkt na wykresie zielony).

Aby wyznaczyć drugi punkt ,,spójrz ”

na drugą liczbę od końca

.

Liczba którą tam widzisz (ta przy x), wskazuje nam gdzie zaznaczać drugi punkt w stosunku

do pierwszego. Gdy jest to liczba z + to wyżej, a gdy z – to niżej od pierwszego punktu. O tyle ile wskazuje ta liczba. Drugi punkt zaznaczamy na pionowej
linii idącej przez x = 1.

W przykładzie widzimy liczbę 2 (czyli +2), a więc drugi punkt będzie wyżej od pierwszego o 2 (oczywiście na pionowej linii

poprowadzonej przez x = 1; a punkt na wykresie czerwony).

Następnie rysujemy linię prostą przez wyznaczone punkty.

Wszystko zrobione bez obliczeń.

Opis oszustwa do szkoły jest obok wykresu.

.....................................................................................................

cofnij

Tabelka pojawia się po narysowaniu wykresu. W górnym rzędzie zawsze wpisujemy

0

i

1

(w mojej metodzie). W dolnym wpisujemy

współrzędne igrekowe punktów – pod zerem pierwszego rysowanego (zielonego) to

-1

;

– pod jedynką drugiego rysowanego (czerwonego) to

1

.

Tabelka nie jest obowiązkowa, mieliśmy narysować wykres.

.

.

Ad. b) y= –3x+2

..

Na końcu (bez x) jest +2 ; tę liczbę zaznaczamy na osi y (na zielono). Przy x jest liczba –3,

więc drugi punkt będzie o trzy niżej od pierwszego (zawsze na pionowej idącej przez x=1; na czerwono). Dodatkowo tabelka (ale zrobiona po narysowaniu
wykresu).

...........................................

funkcjeirównania

http://matmapoludzku.webpark.pl/tekst/s/frliniowe.htm

4 z 12

2009-09-21 14:05

Ad. c) y =3x Ta funkcja wygląda trochę dziwnie, jest jakaś ,,za krótka ”; brak w niej liczby bez iksa.

.....................

cofnij

Możemy zauważyć, że było y =3x

+0

(ale ktoś wykonał dodawanie i zero ,,znikło ”).

Teraz patrzymy od końca na równanie; widzimy 0 i zaznaczamy go na osi y (zielony). Przy x jest +3, więc drugi punkt jest o 3 wyżej od pierwszego (zawsze
na pionowej przez x = 1; czerwony ).

funkcjeirównania

http://matmapoludzku.webpark.pl/tekst/s/frliniowe.htm

5 z 12

2009-09-21 14:05

Ad. d) y = –2

..

Ta funkcja też jest ,,za krótka ”; tym razem brakuje iksów.

Możemy zauważyć, że było y =

0

x –2 (ale ktoś wykonał mnożenie 0·x i ono ,,znikło ”).

Teraz patrzymy od końca na równanie; widzimy –2 i zaznaczamy go na osi y (zielony). Przy x jest 0, więc drugi punkt jest na tym samym poziomie co
pierwszy (zawsze na pionowej przez x = 1; czerwony ).

....................................

cofnij

funkcjeirównania

http://matmapoludzku.webpark.pl/tekst/s/frliniowe.htm

6 z 12

2009-09-21 14:05

Z1.

Narysuj wykresy funkcji : a) y = –2x ; b) y = x – 1 ; c) y = 3 ; d) y = –x + 4 .

zajrzyj

3. Równanie (liniowe) – ma postać

a

x +

b

= 0 (po lewej stronie ma postać części równania funkcji liniowej – stąd jego nazwa).

Problem 2

: Jak rozwiązać takie równanie ? Cały problem to doprowadzić równanie do takiej postaci jak ta powyżej (to było omówione w

gimnazjum

). A

potem : – wyraz z iksem pozostaw na lewej stronie, a wyraz bez x przenieś na lewą stronę równania. – podziel obie strony równania przez liczbę ,,stojącą ”
przy x. Prawie skończone (zobaczysz niżej).

Rozwiąż równanie : a) 2x + 4 = 0 ; b) – 3x + 24 = 0 ; c) –x – 8 = 0 .

(w zadaniach na końcu działu znajdziesz ,,gorsze ”)

....................................................................................

cofnij

Ad. a)

...................................

b)

..........................................................

c)

.........................

Problem 3

:

Ile rozwiązań może mieć równanie liniowe ?

Odp : Tyle ile punktów wspólnych może mieć wykres funkcji liniowej z osią x (podobnie będzie z innymi równaniami). A więc : a)

jedno

(najczęściej

spotykany przypadek) np. wszystkie rozwiązane wyżej.

b)

ani jednego

(prosta równoległa do osi x).

c)

nieskończenie wiele

(prosta leży na osi x).

Dwa ostatnie przypadki nazywam ,,głupimi ” zobacz :

rozwiąż a) x + 3 = x +1 ; b) 2(x –1) = 2x –2 .

Ad. a)

.............................................

Ad. b)

funkcjeirównania

http://matmapoludzku.webpark.pl/tekst/s/frliniowe.htm

7 z 12

2009-09-21 14:05

Szczególnie ostatnie równanie sprawia uczniom kłopot, same zera a rozwiązań dużo.

Z2.

Rozwiąż równania : a) 3(2 –x) – (2x +2) = 0 ; b) (– x +2)

2

= (x –2)(x +2) ; c) –(–5+ x) + 4 = –x +9 .

zajrzyj

4.Własności :

.......................................................................................................................................

cofnij

a)

miejsce zerowe (

zobacz co to

)

Problem 4

:

Wyznacz miejsce zerowe

funkcji : a) y = x – 3 ; b) y = –2x –8 .

Ad. a) Aby to zrobić należy

zamiast y w równaniu funkcji wpisać 0

. Mamy

0 = x – 3 po rozwiązaniu x = 3 ; miejsce zerowe tej funkcji to 3 (bo przecież musi być liczbą).

Ad. b) 0 = –2x –8 po rozwiązaniu x = – 4 ; miejsce zerowe tej funkcji to – 4.

Z3.

Oblicz miejsce zerowe funkcji : a) y = – 4x + 12 ; b) y = 3 + 2x ; c) y = 6x ; d) y = 4 .

zajrzyj

b)

monotoniczność (czy funkcja rośnie, czy maleje, czy jest stała)

Problem 5

: Ustal monotoniczność funkcji : a) y = 2x –1 ; b) y = –3x + 2 ; c) y = –2 .

Ad. a) Są dwie metody rozwikłania tego problemu :

1.narysować wykres (patrz

problem 1

przykład a) i ustalić

monotoniczność. Jak?

,,

Wejść na wykres zawsze z lewej strony rysunku i iść w prawo po

wykresie. Gdy okaże się, że idziemy do góry to funkcja jest rosnąca; gdy idziemy w dół to malejąca; gdy idziemy po równym to stała

” (ten sposób

określania monotoniczności jest dobry dla każdej funkcji, oczywiście gdy znamy jej wykres). Trzeba jeszcze wyznaczyć iksy dla których funkcja rosła, malała
lub była stała.

2.mając równanie funkcji liniowej ustalić jaka liczba stoi przy x (ta liczba nazywana jest współczynnikiem kierunkowym, podobno pokazuje kierunek
prostej i coś w tym jest – przypomnij sobie jak rysowaliśmy wykresy). Gdy liczba przy x jest dodatnia to funkcja jest rosnąca; gdy liczba ta jest ujemna to
funkcja jest malejąca; gdy liczba ta jest zerem to funkcja jest stała (niestety sposób ten jest dobry tylko dla liniowej).

Wracając do przykładu (mamy wykres –

problem 1

i liczbę przy x to +2). Więc widzimy, że funkcja jest rosnąca.

funkcjeirównania

http://matmapoludzku.webpark.pl/tekst/s/frliniowe.htm

8 z 12

2009-09-21 14:05

Ad. b) y = –3x +2 jest malejąca (możesz obejrzeć wykres –

problem 1

i liczbę przy x to –3).

Ad. c) y = –2 jest stała (patrz wykres –

problem 1

; przy x jest 0).

Z4.

Ustal monotoniczność funkcji : a) y = – x ; b) y = –2+ 5x ; c) y = 3 ; d) y = –7x +4.

.........................................

cofnij

zajrzyj

c)

proste równoległe

Problem 6

: Dane są równania prostych : y = 2x –1 ; y = –x +1 ; y = –2x +5 ; y = 2x +5.

Które z nich są równoległe ?

Jak to zrobić? Można narysować wszystkie proste (ich wykresy), zobaczyć te równoległe.

Można też przypomnieć sobie jak wyznaczaliśmy dwa punkty aby narysować jedną prostą. Wiemy, że liczba bez x decyduje czy pierwszy punkt jest wysoko
czy nisko (wysokość nie ma nic wspólnego z równoległością);

natomiast liczba przy x decyduje o wzajemnym położeniu obu rysowanych punktów – to decyduje o tym jak prosta ,,idzie ”.

Proste są równoległe gdy mają

identyczne liczby przy x (czyli identyczne współczynniki kierunkowe).

Odp : Równoległe są proste y = 2x –1 i y = 2x +5.

d)

proste prostopadłe

Problem 7

: Podaj równania dwóch prostych które są prostopadłe.

Jak to zrobić? Można narysować wykresy które są prostopadłe i znaleźć ich równania (ale jeszcze nie szukaliśmy równań). Można też zapamiętać, że z
prostopadłością jest podobnie jak z równoległością – ale liczby przy iksach trzeba ,,popaprać ” jak tylko się da. To znaczy druga z nich ma mieć inny znak
niż pierwsza i dodatkowo ma być jeszcze odwrotnością tej pierwszej.

Odp : Proste prostopadłe to y = –2x +7 i y = 0,5x – 2 (oczywiście liczby bez x mogą być dowolne).

Z5.

Z podanych równań y = 3 ; y = 3x – 2 ; y = –2 ; y = 3x + 3 ; y =

x – 1 wypisz wszystkie należące do :

a)prostych równoległych,

b)prostych prostopadłych.

funkcjeirównania

http://matmapoludzku.webpark.pl/tekst/s/frliniowe.htm

9 z 12

2009-09-21 14:05

zajrzyj

5.Szukanie równania prostej

.......................................................................................................................

cofnij

Zasadą na matmie jest to, że można wyznaczyć równanie funkcji gdy mamy tyle danych ile jest nieznanych liczb w równaniu ,,każdej funkcji ” danego
rodzaju. W przypadku prostej takie równanie to : y =

a

x+

b

.

Nieznane liczby to

a

i

b

; jest ich dwie. Musimy więc w danych dostać zawsze dwie informacje.

a)

przechodzącej przez dwa dane punkty (nazywam to : punkt–punkt),

Problem 8

: Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A=(–2;–6) i B=(3; 4).

Jak to zrobić? Zaczynamy od napisania równania ,,każdej ” prostej czyli y = ax + b. Mamy dane dwa punkty, czyli równanie jakoś musi dać się wyznaczyć.
W szkole lubią aby równanie ,,wyliczyć ”. Jak?

Współrzędne punktu to x i y ; więc do równania ,,każdej ” prostej możemy wstawić liczby –2 i –6 (za x i y),

otrzymujemy –6 = a·(–2) + b ; niestety w tym równaniu są dwie niewiadome i nikt go nie rozwiąże.

Dlatego dali dwa punkty. Teraz wstawimy liczby z drugiego punktu, mamy 4 = a·3 + b. Są dwa równania z tymi samymi niewiadomymi, rozwiązujemy

układ

równań

(jest on liniowy).

Odp : Równanie szukanej prostej to y = 2x – 2.

................................................................................................

cofnij

Z6.

Podaj równanie prostej do której należą punkty : a) K=(1; 3) ; L=(3; 1) b) M=(2;–1) ; N=(–2;–5).

zajrzyj

b)

przechodzącej przez dany punkt i równoległej do danej (równoległość–punkt),

Problem 9

: Podaj równanie prostej przechodzącej przez punkt A=(1; 5) i równoległej do prostej y= 2x–5

funkcjeirównania

http://matmapoludzku.webpark.pl/tekst/s/frliniowe.htm

10 z 12

2009-09-21 14:05

Jak to zrobić? Zaczynamy od napisania równania ,,każdej ” prostej czyli y = ax + b. Mamy dwie informacje, punkt i równoległość (zawsze jako pierwszą
wybieramy

równoległość

). Stąd mamy a= 2 (muszą być jednakowe liczby przy iksach – proste równoległe); szukana prosta ma już postać y = 2x +b. Teraz

bierzemy pod uwagę dany punkt (punkt ,,wstawiamy ” do równania szukanej) i otrzymujemy 5 = 2·1+b stąd b = 3.

Odp : Równanie szukanej prostej to y = 2x + 3.

Z7.

Wyznacz równanie prostej równoległej do y = –x– 4 i przechodzącej przez punkt Z=(–1; 2).

zajrzyj

c)

przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danej (prostopadłość–punkt).

Problem 10

: Podaj równanie prostej przechodzącej przez punkt A=(–4; 2) i prostopadłej do prostej y = –2x+1

Jak to zrobić? Zaczynamy od napisania równania ,,każdej ” prostej czyli y = ax + b. Mamy dwie informacje, punkt i prostopadłość (zawsze jako pierwszą
wybieramy

prostopadłość

). Stąd mamy a= 0,5 (liczby przy iksach muszą być ,,popaprane ”); szukana prosta ma już postać y = 0,5x +b. Teraz bierzemy pod

uwagę dany punkt (punkt ,,wstawiamy ” do równania szukanej) i otrzymujemy 2 = 0,5·(– 4)+b stąd b = 4.

Odp : Równanie szukanej prostej to y = 0,5x + 4.

Z8.

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do y = 4x– 4 i przechodzącej przez punkt Z=(–4;–1).

zajrzyj

6. Szukanie punktu przecięcia prostych

..................................................................................................

cofnij

Kiedykolwiek dostaniemy polecenie dotyczące wyznaczenia punktów wspólnych jakichś funkcji (lub sami zechcemy znaleźć punkty przecięcia różnych
funkcji), to równania tych funkcji powinniśmy wziąć w układ ;

a następnie układ równań trzeba rozwiązać. Oznacza to, że równania muszą być znane.

Problem 11

: Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostych y = 3x + 4 i y = x –2 .

Zgodnie z zieloną podpowiedzią, mamy :

funkcjeirównania

http://matmapoludzku.webpark.pl/tekst/s/frliniowe.htm

11 z 12

2009-09-21 14:05

Odp : Punkt przecięcia prostych to (–3; –5).

Z9.

Wyznacz współrzędne punktu przecięcia prostych o równaniach :

a) y = 2x+ 4 i y = –x–2 ,

b) y = –3x+1 i y = –3x–3 .

zajrzyj

7. Zadania dodatkowe

Z1.

(to zadanie 4 z próbnej matury 2005; poziom podstawowy; za 6pkt.)

W układzie współrzędnych są dane punkty : A= (–2, 2) i B= (4, 4)

a) Wyznacz równanie prostej AB.

b) Prosta AB oraz prosta o równaniu 9x – 6y – 26 = 0 przecinają się w punkcie C.

Oblicz współrzędne punktu C.

c) Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.

zajrzyj

Z2.

funkcjeirównania

http://matmapoludzku.webpark.pl/tekst/s/frliniowe.htm

12 z 12

2009-09-21 14:05