1

13. Dynamika ruchu złożonego punktu

materialnego

Przyspieszenie punktu materialnego
jest proporcjonalne do przyłożonej siły
i ma kierunek tej siły.

m

F

a

r

r

=

m

F

a

Obowiązuje w tzw. bezwładnościowym
(galileuszowskim) układzie odniesienia:

- środek związany jest ze środkiem Słońca,
- osie związane są z gwiazdami stałymi.

II zasada dynamiki Newtona

O

x

z

y

Oxyz – nieruchomy
(bezwładnościowy)
układ współrzędnych

O’

x’

z’

y’

O’x’y’z’ – ruchomy
układ współrzędnych

υ

O’

a

O’

ω

ε

A

υ

w

a

w

ρ

(

)

w

w

O

a

a

a

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

+

×

+

×

+

×

×

+

=

υ

ω

ρ

ε

ρ

ω

ω

2

'

u

a

r

przyspieszenie

unoszenia

C

a

r

przyspieszenie

Coriolisa

przyspieszenie

bezwzględne

względem osi

układu nieruchomego

przyspieszenie

względne

względem osi

układu ruchomego

2

Zadanie 1/13
Gładki klin o kącie nachylenia α porusza się w górę ze stałym
przyspieszeniem a

0

. Wzdłuż klina może przesuwać się klocek o

masie m. Obliczyć przyspieszenie a

w

klocka względem klina oraz

nacisk N klina na klocek

α

a

0

a

w

m

(

)

(

)

α

α

cos

sin

0

0

g

a

m

N

g

a

a

w

+

=

+

=

Odp.:

Zadanie 2/13
Poziomo ustawiona gładka rurka AB o długości l obraca się
wokół pionowej osi przechodzącej przez jej koniec ze stałą
prędkością kątową

ω

0

. Wewnątrz rurki znajduje się kulka o

masie m. Po jakim czasie t

B

i z jaką bezwzględną prędkością υ

B

kulka wypadnie z rurki, jeśli w chwili początkowej znajdowała
się w odległości c od osi obrotu i była nieruchoma względem
rurki?

ω

0

m

c

l

A

B

1

0

1

2

1

0

ln

1

2

2

1

0

1

1

0

1

1

2

0

1

0

−

+

=

−

=

=













−

=













−

−

=

=

=

=

c

l

c

l

k

l

k

k

c

k

k

c

m

R

mg

R

R

k

t

Bz

By

Bx

z

y

x

B

ω

υ

υ

ω

υ

ω

ω

Obliczyć nacisk R rurki na kulkę
w chwili wylotu z rurki.

x

y

Odp.:

3

Zadanie 3/13
Tarcza o promieniu r ustawiona
w płaszczyźnie poziomej obraca
się wokół pionowej osi
przechodzącej przez jej środek
ze stałą prędkością kątową ω

0

.

W tarczy wyżłobiono prosty
rowek, odległy o r/2 od osi
obrotu, w którym przemieszczać
się może gładka kulka o masie
m. W chwili początkowej kulka
znajdowała się w punkcie A i
była nieruchoma względem
tarczy. Po jakim czasie t

B

kulka

opuści tarczę? Wyznaczyć
nacisk tarczy na kulkę w funkcji
czasu.

r

r/2

A

m

ω

0

O

r/4

B

(

)

mg

R

R

t

r

m

R

t

z

y

x

B

=

=

+

−

=

≅

+

=

0

sinh

1

2

914

.

1

11

3

2

ln

1

0

2

0

0

0

ω

ω

ω

ω

Odp.:

x

y

ω

b

r

m

A

B

C

D

Zadanie 4/13

Walec o masie m może przesuwać się wewnątrz rurki
CD sztywno związanej z obracającą się płytą
ABCD. Wyznaczyć równanie ruchu walca względem
rurki oraz wyznaczyć reakcję walca na rurkę wiedząc,

ż

e płyta obraca się ze stałą prędkością kątową ω, zaś

współczynnik tarcia walca o rurkę wynosi µ. W chwili
początkowej walec znajdował się w punkcie C.

Zadanie 5/13

Mała kulka o masie m może ślizgać się bez tarcia po
wycinku kołowym o promieniu r. Podać równanie
różniczkowe ruchu względnego kulki wiedząc, że wycinek
kołowy obraca się ze stałą prędkością kątową ω wokół
nieruchomej osi AB. W chwili początkowej kulka
znajdowała się na osi obrotu i miała prędkość względną υ

w

.

r

ω

m

B

A

4

ω

r

m

A

B

Zadanie 6/13

Mała kulka o masie m może przesuwać się po okręgu o promieniu r. Podać
równanie różniczkowe ruchu względnego kulki wiedząc, że okrąg obraca się ze
stałą prędkością kątową ω wokół nieruchomej osi AB. W chwili początkowej
kulka znajdowała się na osi obrotu i miała prędkość υ

w

względem okręgu.

Współczynnik tarcia kulki o okrąg wynosi µ.