RYNEK NIERUCHOMOŚCI

dr inż. Radosław Cellmer

Wykład 5
Analiza statystyczna cen nieruchomości

Treść wykładu:

1. Pojęcie zmiennej

2. Opis statystyczny danych rynkowych

3. Analiza zależności między zmiennymi

POJĘCIE ZMIENNEJ

Zmienne są to wielkości, które mierzymy, kontrolujemy lub którymi manipulujemy w
jakiś sposób w trakcie badań.

Przykłady zmiennych wykorzystywanych do analiz rynkowych):

-

cena (np. wyrażona w zł/m

2

)

-

lokalizacja (np. wyrażona w skali atrakcyjności od 1 do 5)

-

powierzchnia (np. wyrażona w m

2

)

-

powierzchnia (np. wyrażona w m

2

)

-

stan techniczny budynku (np. mierzony % stopniem zużycia)

-

stopa kapitalizacji (mierzona %)

ZMIENNE OBJAŚNIANE I ZMIENNE OBJAŚNIAJĄCE

Zmiennymi objaśniającymi (niezależnymi) nazywamy te spośród zmiennych, które wg
założeń są przyczyną występowania określonego poziomu zjawiska (np. cechy fizyczne
nieruchomości, jako czynniki kształtujące ceny)

Zmiennymi objaśnianymi (zależnymi) nazywamy te spośród zmiennych, których
wartości są zdeterminowane przez zmienne objaśniające (np. cena jest uzależniona od
cech fizycznych nieruchomości)

Przykład
Jeżeli przyjmiemy hipotezę, że na ceny lokali wpływa lokalizacja i położenie na piętrze
to cena będzie stanowiła zmienną objaśnianą a lokalizacja i piętro będą stanowiły
zmienne objaśniające

WYBRANE METODY OPISU STATYSTYCZNEGO

•

prezentacja graficzna rozkładu empirycznego

•

miary położenia

•

miary (rozproszenia) dyspersji

•

miary asymetrii

Histogram Cena skorygowana

lokale 12v*100c

Cena skorygowana = 100*500*normal(x; 4481,8; 690,7521)

30

35

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

7000

Cena skorygowana

0

5

10

15

20

25

L

ic

z

b

a

o

b

s

.

Technologia; Oczekiwane

ś

rednie brzegowe

Bie

żą

cy efekt: F(1, 98)=9,5692, p=,00258

Dekompozycja efektywnych hipotez

Pionowe słupki oznaczaj

ą

0,95 przedziały ufno

ś

ci

0

1

Technologia

4100

4200

4300

4400

4500

4600

4700

4800

4900

5000

5100

5200

5300

5400

C

e

n

a

s

k

o

ry

g

o

w

a

n

a

ROZKŁAD EMPIRYCZNY CEN NIERUCHOMOŚCI

Empiryczny rozkład cechy, to przyporządkowanie uszeregowanym rosnąco wartościom
cechy (np. cenom transakcyjnym) odpowiednio zdefiniowanych częstości (lub
prawdopodobieństw) ich występowania.

10

12

4800

4900

5000

5100

5200

5300

5400

5500

5600

5700

5800

Cena

0

2

4

6

8

L

ic

z

b

a

o

b

s

.

ROZKŁAD NORMALNY (GAUSSA)

f(x)

X

m-

σσσσ

m

m+

σσσσ

ROZKŁAD EMPIRYCZNY CEN NIERUCHOMOŚCI

Histogram Cena

8

10

12

4800

4900

5000

5100

5200

5300

5400

5500

5600

5700

5800

Cena

0

2

4

6

L

ic

z

b

a

o

b

s

.

OPIS STATYSTYCZNY DANYCH – MIARY POŁOŻENIA

Miary położenia
Służą do wyznaczenia takiej realizacji zmiennej opisanej przez rozkład, wokół której
skupiają się wszystkie pozostałe realizacje

Miary klasyczne
Określane są przy pomocy wszystkich obserwacji
Przykłady:

• średnia arytmetyczna

• średnia arytmetyczna
• średnia geometryczna
• średnia harmoniczna

Miary pozycyjne
Określane są przy pomocy pewnych charakterystycznych obserwacji
Przykłady:

• mediana
• dominanta (moda)

WYBRANIE KLASYCZNE MIARY POŁOŻENIA

Średnia arytmetyczna

Średnia geometryczna

n

x

x

x

x

n

+

+

+

=

...

2

1

n

n

g

x

x

x

x

⋅

⋅

⋅

=

...

2

1

Średnia harmoniczna

n

g

2

1

n

h

x

x

x

n

x

1

...

1

1

2

1

+

+

+

=

POZYCYJNE MIARY POŁOŻENIA - MEDIANA

Mediana - Jest to taka wartość cechy, że co najmniej połowa jednostek populacji ma wartość
cechy nie większą od niej i równocześnie co najmniej połowa jednostek ma wartość cechy nie
mniejszą od tej wartości

5600

5800

4400

4600

4800

5000

5200

5400

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

m

e

m

e

= 5255,67 zł/m

2

POZYCYJNE MIARY POŁOŻENIA - DOMINANTA

Dominanta - wartość cechy występująca statystycznie najczęściej w danym rozkładzie

5

6

7

4800

4900

5000

5100

5200

5300

5400

5500

5600

5700

5800

Cena

0

1

2

3

4

L

ic

z

b

a

o

b

s

.

d

o

= 5100 zł/m

2

OPIS STATYSTYCZNY DANYCH – MIARY DYSPERSJI

Miary rozproszenia (miary dyspersji)
Służą do badania stopnia zróżnicowania jednostek zbiorowości pod względem badanej
zmiennej

Miary klasyczne
Określane są przy pomocy wszystkich obserwacji
Przykłady:

• wariancja

• wariancja
• odchylenie standardowe
• współczynnik zmienności

Miary pozycyjne
Określane są przy pomocy pewnych charakterystycznych obserwacji
Przykłady:

• kwartyle
• rozstęp ćwiartkowy

WYBRANE KLASYCZNE MIARY DYSPERSJI

Wariancja

Odchylenie standardowe

(

)

1

1

2

2

−

−

=

∑

=

n

x

x

s

n

i

i

(

)

1

2

−

=

∑

=

x

x

s

n

i

i

Odchylenie standardowe

Współczynnik zmienności

1

1

−

=

=

n

s

i

x

s

V

=

POZYCYJNE MIARY DYSPERSJI - KWARTYLE

5400

5600

5800

Q

3

= 5356,47 zł/m

2

Q = 5255,67 zł/m

2

4400

4600

4800

5000

5200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Q

1

= 5109,60 zł/m

2

Q

2

= 5255,67 zł/m

2

RELACJE MIĘDZY ZMIENNYMI

Dwie lub więcej zmiennych pozostaje w relacji, jeśli wartości tych zmiennych w
mierzonej próbie rozłożone są w określony, systematyczny sposób.

Każdą relację (zależność) między zmiennymi można scharakteryzować dwiema
własnościami: siłą (lub "wielkością") i istotnością (lub "wiarygodnością") tej relacji

a) siła zależności oznacza możliwość określenia wartości jednej zmiennej na podstawie

a) siła zależności oznacza możliwość określenia wartości jednej zmiennej na podstawie
pomiaru drugiej (w obrębie badanej próbki).

b) istotność zależności dotyczy reprezentatywności wyniku uzyskanego na podstawie
pobranej próbki w odniesieniu do całej badanej populacji.

Nie każda relacja na rynku nieruchomości oznacza związek przyczynowo-skutkowy

ANALIZA RELACJI MIĘDZY CECHAMI NIERUCHOMOŚCI I
CENAMI

Wybrane metody analizy:

•

analiza porównywania parami

•

analiza korelacji

•

analiza regresji

Analiza porównywania parami polega na pogrupowaniu nieruchomości w pary różniące się
jedynie jedną cechą. Średnia różnica cen w każdej parze oznacza wpływ danego czynnika na cenę.
Analiza ta pozwala zmierzyć siłę związku.

Analiza ta pozwala zmierzyć siłę związku.

Analiza korelacji polega na wyznaczeniu współczynnika korelacji i ocenie jego istotności. Analiza
ta pozwala zmierzyć zarówno siłę jak i istotność związku.

Analiza regresji polega na wyznaczeniu zależności funkcyjnej, gdzie cena jako zmienna
objaśniana jest funkcją wybranego czynnika jako zmiennej objaśniającej. Analiza ta pozwala
zmierzyć zarówno siłę, istotność związku, oraz pozwala na podanie jego matematycznej postaci.

KORELACJA

Korelacja jest miarą relacji pomiędzy dwiema lub większą liczbą zmiennych.
Współczynniki korelacji przyjmują wartości z przedziału od -1,00 do +1,00.

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona
Określa on stopień wzajemnej proporcjonalności wartości dwóch zmiennych.
Korelacja jest silna, jeśli może być opisana przy pomocy linii prostej (nachylonej
dodatnio lub ujemnie). Linia, o której mowa, nazywa się linią regresji

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ PEARSONA

(

)(

)

)

,

cov(

1

−

−

=

∑

=

y

y

x

x

y

x

n

i

i

i

cov (x,y) – kowariancja zmiennych X i Y

S(y)

S(x)

(x,y)

r

⋅

cov

=

S(y) – odchylenie standardowe zmiennej Y

1

)

,

cov(

1

−

=

=

n

y

x

i

( )

(

)

1

1

2

−

−

=

∑

=

n

x

x

x

S

n

i

i

( )

(

)

1

1

2

−

−

=

∑

=

n

y

y

y

S

n

i

i

cov (x,y) – kowariancja zmiennych X i Y

S(x) – odchylenie standardowe zmiennej X

x

i

– x

śr

>

0

y

i

– y

śr

>

0

KORELACJA DODATNIA

x

i

– x

śr

<

0

y

i

– y

śr

<

0

cov (x, y)

>>>>

0

x

y

x

i

– x

śr

<

0

y

i

– y

śr

>

0

cov (x, y)

<<<<

0

KORELACJA UJEMNA

y

x

i

– x

śr

>

0

y

i

– y

śr

<

0

cov (x, y)

<<<<

0

x

y

cov (x, y) = 0

BRAK KORELACJI

cov (x, y) = 0

y

x

MACIERZ KORELACJI (PRZYKŁAD)

Hipoteza zerowa i hipoteza alternatywna:
H

0

: r

=

0 (wartość współczynnika korelacji jest statystycznie nieistotna)

H

1

: r

≠

0 (wartość współczynnika korelacji jest statystycznie istotna)

2

−

=

n

r

t

Statystyka testu (rozkład t-Studenta):

ISTOTNOŚĆ WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI

2

1

2

−

−

=

n

r

t

Jeżeli | t | < t

kryt

oznacza to, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Jeżeli | t | > t

kryt

oznacza to, że odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej

Na podstawie danych o 50 cenach transakcyjnych lokali mieszkalnych i ich powierzchni zbadano,
czy położenie lokalu na kondygnacji jest istotnym czynnikiem wpływającym na ceny
transakcyjne. W tym celu obliczono wartość współczynnika korelacji, który wyniósł r = 0,24, a
następnie przeprowadzono test istotności współczynnika korelacji.
Przyjmujemy założenie, że błąd, który możemy popełnić wynosi 5% (poziom istotności

α

= 0,05)

Obliczenie empirycznej wartości statystyki t:

ISTOTNOŚĆ WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI (PRZYKŁAD)

(

)

71

,

1

2

50

24

,

0

1

24

,

0

2

1

2

2

=

−

−

=

−

−

=

n

r

r

t

Obliczenie krytycznej wartości statystyki t:

(

)

01

,

2

48

;

05

,

0

=

t

(wielkość tę odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta)

Wartość bezwzględna obliczonej (empirycznej) wartości statystyki t-Studenta nie przekracza
wartości krytycznej. Stąd wniosek, że należy przyjąć hipotezę o nieistotności współczynnika
korelacji. Zależność między ceną i powierzchnia lokalu jest więc statystycznie nieistotna.

y

30

Równanie prostej:

b

ax

y

+

=

Model regresji:

b

ax

y

+

=

ˆ

REGRESJA LINIOWA

x

1

2

3

4

5

10

20

b

ax

y

+

=

ˆ

)

(

)

,

cov(

2

x

S

y

x

a

=

a

y

b

−

=

gdzie:

ANALAIZA REGRESJI – PRZYGOTOWANIE DANYCH

ANALIZA REGRESJI – OPIS DANYCH NA SKALACH LICZBOWYCH

Histogram Cena

Arkusz1 10v*31c

Cena = 31*500*normal(x; 3302,3305; 562,8171)

10

12

14

ANALIZA REGRESJI – HISTOGRAM ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

Cena

0

2

4

6

8

L

ic

z

b

a

o

b

s

.

4000,00

5000,00

6000,00

ANALIZA REGRESJI – USUNIĘCIE OBSERWACJI ODSTAJĄCYCH

0,00

1000,00

2000,00

3000,00

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

100,0

ANALIZA REGRESJI – USUNIĘCIE OBSERWACJI ODSTAJĄCYCH

ANALIZA REGRESJI – KORELACJA MIĘDZY ZMIENNYMI

Wykres rozrzutu Cena wzgl

ę

dem Powierzchnia

Arkusz1 10v*29c

Cena = 3491,2353-3,5165*x

3600

3800

4000

4200

ANALIZA REGRESJI – POWIERZCHNIA I CENA

30

40

50

60

70

80

90

Powierzchnia

2400

2600

2800

3000

3200

3400

3600

C

e

n

a

Wykres rozrzutu Cena wzgl

ę

dem Poło

ż

enie

Arkusz1 10v*29c

Cena = 2931,7038+212,8007*x

3600

3800

4000

4200

ANALIZA REGRESJI – POŁOŻENIE I CENA

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

Poło

ż

enie

2400

2600

2800

3000

3200

3400

C

e

n

a

Wykres rozrzutu Cena wzgl

ę

dem Kondygnacja

Arkusz1 10v*29c

Cena = 3033,777+133,7748*x

3600

3800

4000

4200

ANALIZA REGRESJI – KONDYGNACJA I CENA

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

Kondygnacja

2400

2600

2800

3000

3200

3400

3600

C

e

n

a

Wykres rozrzutu Cena wzgl

ę

dem Technologia

Arkusz1 10v*29c

Cena = 2734,4154+360,3087*x

3600

3800

4000

4200

ANALIZA REGRESJI – TECHNOLOGIA I CENA

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

Technologia

2400

2600

2800

3000

3200

3400

3600

C

e

n

a

Wykres rozrzutu Cena wzgl

ę

dem Standard

Arkusz1 10v*29c

Cena = 2837,8973+377,034*x

3600

3800

4000

4200

ANALIZA REGRESJI – STANDARD I CENA

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

Standard

2400

2600

2800

3000

3200

3400

3600

C

e

n

a

Równania regresji:

Cena = 3491,24 – 3,52 · Powierzchnia

Cena = 2831,70 + 212,80 · Położenie

Cena = 3033,78 + 133,77 · Kondygnacja

Cena = 2734,41 + 360,31 · Technologia

ANALIZA REGRESJI - PROGNOZOWANIE

Cena = 2734,41 + 360,31 · Technologia

Cena = 2837,90 + 377,03 · Standard

Prognoza ceny jednostkowej dla lokalu o następujących cechach:

Powierzchnia: 50 m2 (50)

Cena (Pow) = 3491,24 – 3,52· 50

= 3315,24 zł

Położenie: przeciętne (2)

Cena (Poł)) = 2831,70 + 212,80 · 2

= 3257,30 zł

Kondygnacja: IV

(2)

Cena (Kon) = 3033,78 + 133,77 · 2

= 3301,32 zł

Technologia: wielka płyta (1)

Cena (Tec) = 2734,41 + 360,31 · 1

= 3094,72 zł

ANALIZA REGRESJI - PROGNOZOWANIE

Technologia: wielka płyta (1)

Cena (Tec) = 2734,41 + 360,31 · 1

= 3094,72 zł

Standard: przeciętny (1)

Cena (Std) = 2837,90 + 377,03 · 1

= 3214,93 zł

Średnia arytmetyczna = 3236,70 zł

Odchylenie std. = 88,60 zł

Wartość lokalu (prognoza ceny) = 3236,70 · 50 = 161 835 zł

Im mniejsza jest wariancja (zmienność, rozproszenie) wartości resztowych
wokół linii regresji w stosunku do zmienności ogólnej, tym lepsza jest jakość
predykcji (prognozy). Jeśli na przykład nie byłoby w ogóle żadnej zależności
pomiędzy zmiennymi X i Y, wówczas stosunek zmienności resztowej Y do
zmienności całkowitej wyniósłby 1,0. Gdyby zaś X i Y były ściśle (w sensie
zależności funkcyjnej) zależne od siebie wtedy zmienność resztowa równałaby
się zero i taki stosunek wyniósłby 0,0.

WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI

się zero i taki stosunek wyniósłby 0,0.

Współczynnik determinacji (R

2

) posiada następującą interpretację: gdyby, np.

wartość R-kwadrat wynosiła 0,4 wówczas 40% pierwotnej zmienności Y zostało
wytłumaczone przez regresję, a 60% pozostało w zmienności resztowej.

y

odchylenie
całkowite

odchylenie nie wyjaśnione
regresją (reszta)

odchylenie wyjaśnione regresją

i

y

y

i

yˆ

DOKŁADNOŚĆ DOPASOWANIA LINI REGRESJI

x

i

x

(

) (

)

i

i

i

i

y

y

y

y

y

y

ˆ

ˆ

−

+

−

=

−

(

)

(

)

(

)

∑

∑

∑

=

=

=

−

+

−

=

−

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

y

y

y

y

y

y

1

2

1

2

1

2

ˆ

ˆ

(

)

(

)

(

)

(

)

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

−

−

−

=

−

−

=

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

y

y

y

y

y

y

y

y

R

1

2

1

2

1

2

1

2

2

ˆ

1

ˆ

Model liniowy regresji prostej można opisać następującym wzorem:

gdzie „e” oznacza składnik losowy (resztę) modelu.

Pojedynczą resztę oblicza się następująco:

e

b

aX

Y

+

+

=

BŁĄD STANDARDOWY ESTYMACJI

Błąd standardowy estymacji stanowi przeciętne odchylenie reszt obliczone
według wzoru:

Błąd standardowy estymacji stanowi podstawę do określania błędów
predykcji z wykorzystaniem modelu regresji

(

)

2

ˆ

2

−

−

=

∑

n

y

y

S

i

e

i

i

y

y

e

−

=

ˆ

e

b

aX

Y

+

+

=

=

S

S

e

Błędy standardowe parametrów modelu wyznacza się następująco:

BŁĘDY STANDARDOWE PARAMETRÓW „a” I „b”

∑

−

=

2

2

x

n

x

S

S

e

a

(

)

∑

∑

−

=

2

2

2

x

n

x

n

x

S

S

e

b

W celu zbadania istotności statystycznej parametru „a” modelu przyjmujemy następujące
hipotezy:
H0: a = 0 (brak jest zależności między badanymi zmiennymi)
H1: a ≠ 0 (istnieje statystyczna zależność)

Test istotności opisany jest następującym wzorem (statystyka t-Studenta):

a

t

=

WERYFIKACJA HIPOTEZY O NIEISTOTNOŚCI PARAMETRÓW

Następnie odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta wartość krytyczną dla poziomu istotności
„alfa” i stopni swobody „n – 2”.
Jeżeli zachodzi nierówność:

to odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej (zależność opisana modelem
jest istotna statystycznie)

a

S

a

t

=

kryt

t

t

>

Prognoza jest tym mniej dokładna im mniej obserwacji przyjęto do obliczeń oraz im
dłuższy horyzont prognozy

Wykres rozrzutu (Arkusz2 10v*19c)

Zmn4 = -2,3778+2,3148*x

100

102

104

BŁĄD STANDARDOWY PREDYKCJI

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

Zmn1

80

82

84

86

88

90

92

94

96

98

Z

m

n

4

Błąd standardowy prognozy określony jest następującym wzorem:

( )

(

)

(

)

∑

=

−

−

+

+

=

n

i

i

p

e

Xp

x

x

x

x

n

S

Y

S

1

2

2

1

1

BŁĄD STANDARDOWY PREDYKCJI

=

i 1

gdzie:
Se – błąd standardowy estymacji
n - liczba obserwacji
Xp – wartość zmiennej objaśniającej, dla której dokonywana jest prognoza.

Granice przedziału ufności dla prognozowanej wartości:

( )

Xp

n

Xp

Y

S

t

Y

⋅

−

−

2

,

ˆ

α

granica dolna:

( )

Xp

n

Xp

Y

S

t

Y

⋅

+

−

2

,

ˆ

α

granica górna:

X

a

b

Y

⋅

=

a

X

b

Y

log

log

log

+

=

Nie zawsze zależności rynkowe mają charakter liniowy. W przypadku modeli nieliniowych przed
zastosowaniem metody najmniejszych kwadratów dokonujemy transformacji liniowej.

Funkcja wykładnicza:

Funkcja potęgowa:

ESTYMACJA MODELI NIELINIOWYCH

a

X

b

Y

⋅

=

Funkcja potęgowa:

X

a

b

Y

log

log

log

+

=

Funkcja hiperboliczna:

1

−

+

=

aX

b

Y

'

aX

b

Y

+

=