Podróże po Imperium Liczb

Część 05.

Funkcje Arytmetyczne

Rozdział 7

7. Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne

Andrzej Nowicki 10 maja 2012, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow

Spis treści

7

Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne

105

7.1

Liczby doskonałe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

7.2

Liczby nadmierne i deficytowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

7.3

Równość σ(n) = sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

7.4

Równość σ(n) = sn±r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

7.5

Równości postaci aσ(n) = bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

7.6

Liczby zaprzyjaźnione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

7.7

Liczby praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

Wszystkie książki z serii ”Podróże po Imperium Liczb” napisano w edytorze L

A

TEX.

Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie
autora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow.

7

Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

7.1

Liczby doskonałe

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

Mówimy, że liczba naturalna n jest doskonała, jeśli jest równa sumie wszystkich swo-

ich naturalnych dzielników mniejszych od n tzn. jeśli σ(n) = 2n. Trzy początkowe liczby
doskonałe:

6

=

1 + 2 + 3,

28

=

1 + 2 + 4 + 7 + 14,

496

=

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Następne cztery liczby doskonałe: 8128, 130816, 2096128, 33550336.

Z liczbami doskonałymi stowarzyszone są dwa następujące stare problemy, o których

można przeczytać w prawie każdej książce z elementarnej teorii liczb (patrz np.: [S50], [Sil1]
92-101, [Gy04], [Shan]).

7.1.1. Nie wiadomo czy liczb doskonałych istnieje nieskończenie wiele.

7.1.2. Nie wiadomo czy istnieje nieparzysta liczba doskonała.

7.1.3. Liczba naturalna n jest doskonała wtedy i tylko wtedy, gdy

X

d|n

1

d

= 2.

([Kisa] 116)

.

D.

Ponieważ

X

d|n

1

d

=

X

d|n

1

n/d

=

1

n

X

d|n

d =

σ(n)

n

, więc

X

d|n

1

d

= 2 ⇐⇒

σ(n)

n

= 2 ⇐⇒ σ(n) = 2n.



7.1.4. Jeśli p i q są nieparzystymi liczbami pierwszymi, to liczba p

n

q

m

nie jest doskonała.

([Dave] 217)

.

7.1.5. Niech n = p

i

q

j

, gdzie p, q ∈ P, p 6= q, i > 1, j > 1. Następujące trzy własności są

równoważne:

(1) n jest parzystą liczbą doskonałą;

(2)

nτ (n)

σ(n)

∈ Z;

(3) σ(n) ma dokładnie te same dzielniki pierwsze co n.

([Mon] 99(8)(1992) 783-789 z.6616)

.

105

106Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne.

7. Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne

Przez M

n

oznaczamy n-tą liczbę Mersenne’a, tzn. M

n

= 2

n

− 1.

7.1.6 (Descartes 1638). Liczba parzysta jest doskonała wtedy i tylko wtedy, gdy jest postaci

2

p−1

M

p

,

gdzie p oraz M

p

są liczbami pierwszymi.

([S50] 117, [Sil1] 92-101)

.

7.1.7. Każda parzysta liczba doskonała większa od 6 jest postaci

1 + 9t

8k+2

,

gdzie t

n

oznacza liczbę trójkątną n(n + 1)/2.

([MM] 69(4)(1996) 308)

.

7.1.8. Każda parzysta liczba doskonała większa od 6 jest sumą sześcianów kolejnych liczb

nieparzystych. Przykłady:

28 = 1

3

+ 3

3

,

496 = 1

3

+ 3

3

+ 5

3

+ 7

3

.

([Miss] 1994(2) z.70)

.

D (

[Miss]

).

Wiadomo (patrz 7.1.6), że taka liczba doskonała jest postaci 2

p−1

(2

p

− 1). Łatwo

sprawdzić, że

m

X

j=1

(2j − 1)

3

= m

2

(2m

2

− 1). Zatem:

2

(p−1)/2

X

j=1

(2j − 1)

3

=



2

(p−1)/2



2



2



2

(p−1)/2



2

− 1



= 2

p−1

(2

p

− 1).



7.1.9. Ostatnią cyfrą liczby doskonałej parzystej jest 6 lub 8.

([S64] 158)

.

7.1.10. Jeśli ostatnią cyfrą liczby doskonałej jest 8, to przedostatnią jej cyfrą jest 2.

([S64] 115)

.

7.1.11. Liczba doskonała nie jest kwadratowa.

([Kw] 6/74 20)

.

7.1.12. Jeśli n jest parzystą liczbą doskonałą, to 8n + 1 jest liczbą kwadratową.

([Moll] 153)

.

7.1.13. Liczba 6 jest jedyną liczbą doskonałą bezkwadratową.

([Mon] 72(10)(1965) E1747)

.

7.1.14. Liczba postaci 4k + 3 nie jest doskonała.

([Kw] 9/78 39)

.

7.1.15. Liczba postaci 6k + 5 nie jest doskonała.

([Kw] 9/78 39, [Mon] 109(2003) 661-663.)

.

7.1.16 (Touchard). Nieparzysta liczba doskonała jest postaci 12m + 1 lub 36m + 9.

([Mon] 109(2003), 661-663.)

.

7.1.17. Jeśli liczba doskonała większa od 6 dzieli się przez 3, to dzieli się przez 9. Jeśli liczba

doskonała większa od 28 dzieli się przez 7, to dzieli się przez 49.

Uwaga. Istnienia takich liczb

doskonałych nie wykazano.

([OM] Rosja 2000)

.

Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne.

7. Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne

107

7.1.18. Jeśli p jest najmniejszym dzielnikiem pierwszym doskonałej liczby n, to n ma co

najmniej p różnych dzielników pierwszych.

([Mon] 72(1)(1965) 77-78 E1662)

.

7.1.19. Jeśli a i b są parzystymi liczbami doskonałymi takimi, że 6 < a < b, to 16a < b.

([Dave] 217)

.

F I. J. Depman, Liczby doskonałe, [Kw] 8/71 1-6.

L. E. Dickson, Perfect, multiply perfect and amicable numbers, [Dic1] 3-50.
J. Flowers, Some characterizations of perfect numbers, [Miss].
R. K. Guy, Perfect numbers, [Gy04] 71-74.
R. K. Guy, Superperfect numbers, [Gy04], 99-100 (o liczbach spełniających równość σ

2

(n) = 2n).

J. A. Holdener, A theorem of Touchard on the form of odd perfect numbers, [Mon] 109(2002)

661-663.

S. Jeleński, Liczby doskonałe, [Je88] 103-104.
W. Narkiewicz, Perfect numbers, [Nar86] 9-23.
T. M. Putnam, Perfect numbers, [Mon] 17(8/9)(1910) 165-168.
P. Pollack, On Dickson’s theorem concerning odd perfect numbers, [Mon] 2(118)(2011) 161-164.
H. Rademacher, O. Toeplitz, Liczby doskonałe, [RaT] 158-166.
A. S. Warpachowskij, Tajemnice liczb doskonałych, [Kw] 10/73 71-74.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

7.2

Liczby nadmierne i deficytowe

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

Mówimy, że liczba naturalna n jest nadmierna (ang. abundant) jeśli σ(n) > 2n. Mówimy,

że liczba naturalna n jest deficytowa (ang. deficient) jeśli σ(n) < 2n.

7.2.1. Każda wielokrotność liczby nadmiernej jest liczbą nadmierną.

([BaS] 93)

.

7.2.2. Istnieje nieskończenie wiele liczb nadmiernych.

([Mat] 4-6/58 74, [S59] 249, [Kw] 6/83 47)

.

R. σ(6k) > 12k dla k > 1.



7.2.3. Wśród 12 kolejnych liczb naturalnych istnieje liczba nadmierna.

([GaT] 22/72)

.

7.2.4. Najmniejszą nieparzystą liczbą nadmierną jest 945. Jest to jedyna nieparzysta liczba

nadmierna mniejsza od 1000. Mamy tu: σ(945) = 975 + 945.

([Dic1] s.14)

.

7.2.5. Liczba 1575 jest nadmierną liczbą nieparzystą. Jeśli m jest liczbą naturalną niepo-

dzielną przez 2, 3, 5, 7, to 1575m jest nadmierną liczbą nieparzystą.

([Ssm] 1999(7) z.4722)

.

7.2.6. Każda parzysta liczba naturalna większa od 46 jest sumą dwóch liczb nadmiernych.

([Mon] 57(8)(1950) 561-562, [MaS] 1/1999 z.4383, [Ko02])

.

7.2.7. Każda liczba naturalna większa od 100 000 jest sumą dwóch liczb nadmiernych.

([Mon] 56(7)(1949) 478, [Ko02])

.

7.2.8. Każda liczba naturalna większa od 20 161 jest sumą dwóch liczb nadmiernych.

([BaS] 94)

.

108Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne.

7. Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne

7.2.9. Istnieje nieskończenie wiele liczb deficytowych.

([Mat] 4-6/58 74)

.

R. Każda liczba pierwsza ma tę własność. 

7.2.10. Każda potęga liczby pierwszej jest liczbą deficytową.

([Ko02])

.

7.2.11. Jeśli p i q są różnymi nieparzystymi liczbami pierwszymi, to każda liczba postaci

p

n

q

m

, gdzie n, m ∈ N, nie jest liczbą nadmierną.

([Ko02])

.

7.2.12. Iloczyn czterech parami różnych nieparzystych liczb pierwszych nie jest liczbą nad-

mierną.

([Ko02])

.

7.2.13. Niech a, b ∈ N.

(1) Istnieje nieskończenie wiele liczb nadmiernych postaci kb + a.

(2) Jeśli nwd(a, b) jest liczbą deficytową, to istnieje nieskończenie wiele liczb deficytowych

postaci kb + a.

([Mon] 93(10)(1986) 813-814 E3002)

.

F L. E. Dickson, Perfect, abundant and deficient numbers, [Dic1] 3-33.

J. Sandor, On multiplicatively deficient and abundant numbers, [Sand] 179-181.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

7.3

Równość σ(n) = sn

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

Równość σ(n) = 1 · n zachodzi tylko dla n = 1. Liczby doskonałe spełniają równość

σ(n) = 2n. Tutaj zajmujemy się takimi liczbami naturalnymi n, dla których zachodzi równość
σ(n) = sn dla s > 3.

7.3.1 ([Dic1] 33-38). Przykłady liczb n spełniających równość σ(n) = 3n:

120

=

2

3

· 3 · 5,

672

=

2

5

· 3 · 7,

523776

=

2

9

· 3 · 11 · 31,

459818240

=

2

8

· 5 · 7 · 19 · 37 · 73,

1476304896

=

2

13

· 3 · 11 · 43 · 127,

51001180160

=

2

14

· 5 · 7 · 19 · 31 · 151.

7.3.2 (Descartes 1638, [Dic1] 35, [S50] 123).

(1) Jeśli 3 - n i σ(n) = 3n, to σ(m) = 4m dla m = 3n.
(2) Jeśli 3 | n, 5 - n, 9 - n oraz σ(n) = 3n, to σ(m) = 4m dla m = 45n.
(3) Jeśli 3 | n, σ(3n) = 4kn, to σ(n) = 3kn.

7.3.3. Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że σ(n) > 3n.

([Kw] 6/83 47)

.

7.3.4 (Descartes 1638, [Dic1] 33-38). Przykłady liczb n spełniających równość σ(n) = 4n:

30240

=

2

5

· 3

3

· 5 · 7,

32760

=

2

3

· 3

2

· 5 · 7 · 13,

23569920

=

2

9

· 3

3

· 5 · 11 · 31,

142990848

=

2

9

· 3

2

· 7 · 11 · 13 · 31,

66433720320

=

2

13

· 3

3

· 5 · 11 · 43 · 127,

403031236608

=

2

13

· 3

2

· 7 · 11 · 13 · 43 · 127.

Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne.

7. Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne

109

7.3.5 (Descartes 1638, [Dic1] 33-38). Przykłady liczb n spełniających równość σ(n) = 5n:

14182439040

=

2

7

· 3

4

· 5 · 7 · 11

2

· 17 · 19,

31998395520

=

2

7

· 3

5

· 5 · 7

2

· 13 · 17 · 19,

30823866178560

=

2

10

· 3

5

· 5 · 7

2

· 13 · 19 · 23 · 89,

7.3.6 ([Dic1] 36). Istnieją liczby naturalne n takie, że σ(n) = 6n. Jedną z nich jest znalezio-

na w 1643 roku przez Fermata liczba 2

23

· 3

7

· 5

3

· 7

4

· 11

3

· 13

3

· 17

2

· 31 · 41 · 61 · 241 · 307 · 467 · 2801.

7.3.7. Przez długi czas znane były liczby naturalne n spełniające równość σ(n) = sn dla

s 6 8. W 1992 roku F. Helenius znalazł przykład takiej liczby dla s = 9. W 1997 roku R. Sorli
znalazł przykład takiej liczby dla s = 10 i w 2002 roku G. Woltman dla s = 11. Wszystkie
znalezione liczby są ogromne. Nie wiadomo czy s może być większe od 11.

([Gy04] 78)

.

7.3.8 (G. F. Cramer 1941). Niech n > 3 będzie nieparzystą liczbą naturalną i niech a =

σ(n)

n

. Niech n = p

α

1

1

· · · p

α

s

s

będzie rozkładem kanonicznym, gdzie p

1

< p

2

< · · · < p

s

. Wtedy

p

1

<

a + s − 1

a − 1

.

([Mon] 1/2003 49-52)

.

F J. T. Betcher, J. H. Jaroma, An extension of the results of Servais and Cramer on odd perfect

numbers and odd multiply perfect numbers, [Mon] 1/2003 49-52.

L. E. Dickson, Multiply perfect numbers, [Dic1] 33-38.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

7.4

Równość σ(n) = sn±r

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

7.4.1. Mówimy, że liczba naturalna n jest prawie doskonała (ang. almost perfect) jeśli

σ(n) = 2n − 1.

([Gy04] 74)

.

(1) Istnieje nieskończenie wiele liczb prawie doskonałych. Takimi są na przykład wszyst-

kie potęgi dwójki.

([S59] 241, [S59a] s.20)

.

(2) Czy istnieje prawie doskonała liczba nie będąca potęgą dwójki?

([Mon] 4/1977 E2571)

.

(3) Niech r

s

(m) oznacza resztę z dzielenia liczby m przez s i niech

v(n) = r

1

(n) + r

2

(n) + · · · + r

n

(n).

Liczba n jest prawie doskonała wtedy i tylko wtedy, gdy v(n) = v(n − 1).

7.4.2. Mówimy, że liczba naturalna n jest quasi doskonała (ang. quasi perfect) jeśli σ(n) =

2n + 1. Nie wiadomo czy istnieje chociaż jedna taka liczba. Wiadomo, że jeśli istnieje, to musi
być większa od 10

35

.

([Gy04] 74)

.

7.4.3.

(1) Jeśli n = 2

k−1

(2

k

+ 1), gdzie 2

k

+ 1 jest liczbą pierwszą, to σ(n) = 2n − 2. Nie są

znane żadne inne liczby n o tej własności.

(2) Jeśli liczba naturalna n ma co najwyżej dwa dzielniki pierwsze oraz σ(n) = 2n − 2,

to n jest postaci n = 2

k−1

(2

k

+ 1), gdzie 2

k

+ 1 jest liczbą pierwszą.

([Mon] 4/1977)

.

110Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne.

7. Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne

7.4.4 (Maple). Wszystkie liczby naturalne n 6 2 000 000 spełniające równość σ(n) = 2n+2.

20

=

2

2

· 5

104

=

2

3

· 13

464

=

2

4

· 29

4650

=

2 · 5

2

· 13

1952

=

2

5

· 61

130304

=

2

8

· 509

522752

=

2

9

· 1021.

7.4.5. Jedyną liczbą naturalną n mniejszą od 2 000 000 i spełniającą równość σ(n) = 2n + 3

jest n = 18.

(Maple)

.

7.4.6 (Maple). Wszystkie liczby naturalne n 6 2 000 000 spełniające równość σ(n) = 2n−4.

14

=

2 · 7

44

=

2

2

· 11

110

=

2 · 5 · 11

152

=

2

3

· 19

884

=

2

2

· 13 · 17

2144

=

2

5

· 67

8384

=

2

6

· 131

18632

=

2

3

· 17 · 137

116624

=

2

4

· 37 · 197.

7.4.7 (Maple). Wszystkie liczby naturalne n 6 2 000 000 spełniające równość σ(n) = 2n+4.

12

=

2

2

· 3

70

=

2 · 5 · 7

88

=

2

3

· 11

1888

=

2

5

· 59

4030

=

2 · 5 · 13 · 31

5830

=

2 · 5 · 11 · 53

32128

=

2

7

· 251

521728

=

2

9

· 1019

1848964

=

2

2

· 13 · 31

2

· 37.

7.4.8 (Maple). Wszystkie liczby naturalne n 6 2 000 000 spełniające równość σ(n) = 2n−6.

15

=

3 · 5

52

=

2

2

· 13

315

=

3

2

· 5 · 7

592

=

2

4

· 37

1155

=

3 · 5 · 7 · 11.

7.4.9 (Maple). Wszystkie liczby naturalne n 6 2 000 000 spełniające równość σ(n) = 2n+6.

8925

=

3 · 5

2

· 7 · 17

32445

=

3

2

· 5 · 7 · 103

442365

=

3 · 5 · 7 · 11 · 383.

7.4.10. Jedyną liczbą naturalną n mniejszą od 2 000 000 i spełniającą równość σ(n) = 3n + 3

jest n = 180.

(Maple)

.

F G. F. Cramer, On almost perfect numbers, [Mon] 48(1)(1941) 17-20.

J. T. Cross, A note no almost perfect numbers, [MM] 47(4)(1974) 230-231.
R. K. Guy, Almost perfect, quasi-perfect, pseudoperfect, harmonic, weird, multiperfect and hyper-

perfect numbers, [Gy04] 74-84.

R. P. Jerrard, N. Temperley, Almost perfect numbers, [MM] 46(2)(1973) 84-87.

Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne.

7. Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne

111

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

7.5

Równości postaci aσ(n) = bn

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

7.5.1 (Maple). Przykłady liczb naturalnych n, mniejszych od 2 000 000 i spełniających rów-

ność postaci aσ(n) = bn, dla pewnych a, b ∈ N.

(a, b) = (2, 3) :

2,

(a, b) = (2, 5) :

24,

(a, b) = (2, 7) :

4320, 4680, 26208.

(a, b) = (3, 4) :

3,

(a, b) = (3, 7) :

12, 234,

(a, b) = (3, 8) :

84, 270, 1488, 1638, 24384,

(a, b) = (3, 10) :

1080, 6048, 6552, 435708,

(a, b) = (3, 11) :

35640, 199584.

(a, b) = (4, 7) :

4,

(a, b) = (4, 9) :

40, 224, 174592,

(a, b) = (4, 11) :

47616,

(a, b) = (4, 13) :

360, 2016, 1571328,

(a, b) = (4, 15) :

293760, 1782144,

(a, b) = (4, 17) :

524160,

(a, b) = (5, 6) :

5,

(a, b) = (5, 8) :

15,

(a, b) = (5, 9) :

10,

(a, b) = (5, 12) :

30, 140, 2480, 6200, 40640,

(a, b) = (5, 13) :

90,

(a, b) = (5, 14) :

60, 1170,

(a, b) = (5, 16) :

420, 7440, 8190, 18600, 121920,

(a, b) = (5, 17) :

297600,

(a, b) = (5, 18) :

3360,

(a, b) = (5, 19) :

114660,

(a, b) = (5, 21) :

131040,

(a, b) = (5, 22) :

997920,

(a, b) = (6, 13) :

18,

(a, b) = (6, 19) :

22932,

(a, b) = (7, 8) :

7,

(a, b) = (7, 12) :

14,

(a, b) = (7, 15) :

56, 3724,

(a, b) = (7, 16) :

42, 3472, 56896, 544635,

(a, b) = (7, 18) :

280, 18620, 1222144,

(a, b) = (7, 19) :

588, 11466,

(a, b) = (7, 20) :

168, 11172, 217854.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

7.6

Liczby zaprzyjaźnione

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

Mówimy, że para liczb naturalnych (n, m) jest zaprzyjaźniona, jeśli n 6= m oraz

σ(n) = n + m = σ(m),

to znaczy, jeśli suma wszystkich dzielników liczby n mniejszych od n jest równa m i suma
wszystkich dzielników liczby m mniejszych od m jest równa n. Angielska nazwa: amicable
numbers. Nie wiemy czy par zaprzyjaźninych jest nieskończenie wiele ([S50] 125, [S59a] s.21).

7.6.1 ([Dic1] 44, [S59a] s.21). Przykłady par zaprzyjaźnionych:

(220, 284)

=

(2

2

· 5 · 11, 2

2

· 71),

(12285, 14595)

=

(3

3

· 5 · 7 · 13, 3 · 5 · 7 · 139),

(17296, 18416)

=

(2

4

· 23 · 47, 2

4

· 1151),

(9363584, 9437056)

=

(2

7

· 191 · 383, 2

7

· 73727),

7.6.2 (Maple). Wszystkie pary zaprzyjaźnione (n, m) dla n < m i n < 1 000 000:

(220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368),
(10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416),
(63020, 76084), (66928, 66992), (67095, 71145), (69615, 87633), (79750, 88730),
(100485, 124155), (122265, 139815), (122368, 123152), (141664, 153176), (142310, 168730),
(171856, 176336), (176272, 180848), (185368, 203432), (196724, 202444),
(280540, 365084), (308620, 389924), (319550, 430402), (356408, 399592),
(437456, 455344), (469028, 486178), (503056, 514736), (522405, 525915).
(667964, 783556), (726104, 796696), (802725, 863835), (879712, 901424), (898216, 980984),
(947835, 1125765), (998104, 1043096).

112Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne.

7. Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne

Liczby zaprzyjaźnione spełniają równości σ(n) = n + m = σ(m). Istnieją pary liczb

naturalnych (n, m) spełniające równości podobnego typu.

7.6.3. Jeśli (m, n) = (48, 75), (140, 195), (1050, 1925), (1575, 1648), (2024, 2295), to

σ(n) = n + m + 1 = σ(m).

7.6.4. Jeśli (m, n) = (6160, 11697), (12220, 16005), (23500, 28917), to

σ(n) = n + m − 1 = σ(m).

7.6.5. Najmniejsze pary liczb naturalnych (m, n), dla których zachodzą równości

σ(m) = m + n + k = σ(n),

dla 0 < |k|

6 9 :

k = −1 :

(m, n) = (6160, 11697),

k = 1 :

(m, n) = (48, 75),

k = −2 :

(m, n) = (24, 38),

k = 2 :

(m, n) = (174, 184),

k = −3 :

(m, n) = (180, 369),

k = 3 :

(m, n) = (390, 615),

k = −4 :

(m, n) = (20, 26),

k = 4 :

(m, n) = (102, 110),

k = −5 :

(m, n) = (6, 11),

k = 5 :

(m, n) = (280, 435),

k = −6 :

(m, n) = (224, 286),

k = 6 :

(m, n) = (160, 212),

k = −7 :

(m, n) = (2632, 3135),

k = 7 :

(m, n) = (500, 585),

k = −8 :

(m, n) = (40, 58),

k = 8 :

(m, n) = (66, 70),

k = −9 :

(m, n) = (10, 17),

k = 9 :

(m, n) = (132, 195).

7.6.6. Czy dla każdej liczby całkowitej k istnieje taka para liczb naturalnych (m, n), że

σ(m) = m + n + k = σ(n) ?

7.6.7. Załóżmy, że dla danej liczby całkowitej k istnieje taka para liczb naturalnych (m, n),

że σ(m) = m + n + k = σ(n). Czy wtedy takich par jest nieskończenie wiele ?

Nie znam odpowiedzi na te pytania.

F A. Cieślak, Z. Matuszewicz, Wybrane zagadnienia liczb zaprzyjaźnionych, [Wmm] 41-45.

L. E. Dickson, Amicable numbers, [Dic1] 38-50.
L. E. Dickson, Amicable number triples, [Mon] 20(3)(1913) 84-92.
R. K. Guy, Amicable numbers, [Gy04] 86-91.
E. Hódi, O liczbach zaprzyjaźnionych, [Hodi] 161.
J. J. Tattersall, Perfect and amicable numbers, [Tatt] 136-160.
S. Y. Yan, Liczby doskonałe, liczby zaprzyjaźnione i liczby towarzyskie, [Yan] 63-70.

Andrzej Nowicki, Funkcje arytmetyczne.

7. Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne

113

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

7.7

Liczby praktyczne

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

Mówimy, że liczba naturalna n jest praktyczna (ang. practical number) jeśli każda liczba

naturalna k mniejsza od n jest sumą parami różnych dzielników naturalnych liczby n. Taką
nazwę wprowadził w 1948 roku A. K. Srinvasan (patrz [Melf], [Gy04] 77).

Liczba 12 jest praktyczna. Jej wszystkimi dzielnikami naturalnymi mniejszymi od 12 są

liczby 1, 2, 3, 4, 6 i mamy: 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 4, 5 = 1 + 4, 6 = 6, 7 = 1 + 6,
8 = 2 + 6, 9 = 3 + 6, 10 = 4 + 6, 11 = 1 + 4 + 6. Natomiast liczba 9 nie jest praktyczna.
Tutaj wszystkimi dzielnikami mniejszymi od 9 są tylko dwie liczby 1 i 3. Liczba 2 nie jest
sumą różnych dzielników.

7.7.1. Każda liczba praktyczna większa od 1 jest parzysta.

D.

Jeśli n > 1 jest nieparzyste, to 2 nie jest sumą parami różnych dzielników liczby n.



7.7.2. Każda potęga dwójki jest liczbą praktyczną.

([OM] Polska 1987)

.

7.7.3. Każda liczba postaci 4

a

5

b

, gdzie a, b ∈ N, jest liczbą praktyczną.

([OM] Polska 1988)

.

7.7.4. Liczba naturalna n jest praktyczna wtedy i tylko wtedy, gdy każda liczba naturalna k

taka, że 1

6 k 6 σ(n), jest sumą parami różnych dzielników liczby n.

([Melf] 14)

.

7.7.5. Niech n będzie liczbą praktyczną i niech p < n będzie liczbą pierwszą taką, że p - n.

Wtedy każda liczba postaci np

k

, gdzie k ∈ N, jest praktyczna.

([Melf] 15)

.

7.7.6. Iloczyn liczb praktycznych jest liczbą praktyczną.

([OM] Kanada 2002)

.

D.

Niech p i q będą liczbami praktycznymi i niech 1

6 k 6 pq. Istnieją wówczas liczby a i b takie,

że 0

6 a 6 p, 0 6 b < q oraz k = aq + b. Niech a = c

1

+ · · · + c

m

, b = d

1

+ · · · + d

n

, gdzie c

1

, . . . , c

m

są parami różnymi dzielnikami naturalnymi liczby p oraz d

1

, . . . , d

n

są parami różnymi dzielnikami

naturalnymi liczby q. Wtedy k = c

1

q + c

2

q + · · · + c

m

q + d

1

+ d

2

+ · · · + d

n

jest sumą parami różnych

dzielników naturalnych liczby pq.



7.7.7. Jeśli n jest liczbą praktyczną i 1 6 m 6 σ(n) + 1, to liczba mn jest praktyczna.

([Melf] 18)

.

7.7.8. Każda liczba parzysta jest sumą dwóch liczb praktycznych.

([Melf] 20)

.

7.7.9. Istnieje nieskończenie wiele liczb praktycznych n takich, że liczby n − 2 i n + 2 również

są praktyczne. Takimi liczbami n są na przykład wszystkie liczby postaci 2 · 3

70·3

k

, k ∈ N.

([Melf] 34)

.

7.7.10. Jeśli p

1

= 2, p

2

= 3, . . . , p

s

, są początkowymi liczbami pierwszymi i u

s

= p

1

p

2

· · · p

s

,

to liczba 2(3

u

s

− 1) jest praktyczna.

([Melf] 37)

.

114

Funkcje arytmetyczne.

7. Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne

7.7.11 (Maple). Tabela przedstawiająca 500 początkowych liczb praktycznych.

1

204

456

726

1020

1316

1620

1944

2262

2600

2

208

460

728

1024

1320

1624

1950

2268

2604

4

210

462

736

1026

1326

1632

1952

2280

2610

6

216

464

740

1032

1332

1638

1960

2288

2624

8

220

468

744

1036

1344

1640

1968

2296

2628

12

224

476

750

1040

1350

1650

1974

2300

2632

16

228

480

756

1044

1352

1656

1976

2304

2640

18

234

486

760

1050

1360

1664

1980

2310

2646

20

240

496

768

1056

1368

1672

1984

2320

2652

24

252

500

780

1064

1372

1674

1998

2322

2660

28

256

504

784

1080

1376

1680

2000

2340

2664

30

260

510

792

1088

1380

1692

2010

2352

2680

32

264

512

798

1092

1386

1696

2016

2360

2688

36

270

520

800

1100

1392

1700

2024

2368

2700

40

272

522

810

1104

1400

1710

2028

2376

2704

42

276

528

812

1110

1404

1716

2040

2380

2706

48

280

532

816

1116

1408

1720

2046

2392

2720

54

288

540

820

1120

1410

1722

2048

2394

2728

56

294

544

828

1122

1416

1728

2052

2400

2730

60

300

546

832

1128

1428

1736

2058

2408

2736

64

304

552

840

1134

1440

1740

2064

2412

2744

66

306

558

858

1140

1452

1760

2070

2418

2752

72

308

560

860

1144

1456

1764

2072

2420

2754

78

312

570

864

1148

1458

1768

2080

2430

2760

80

320

576

868

1152

1464

1770

2088

2432

2772

84

324

580

870

1160

1470

1776

2100

2436

2784

88

330

588

880

1170

1472

1782

2106

2440

2790

90

336

594

882

1176

1476

1792

2112

2442

2800

96

340

600

888

1184

1480

1794

2120

2448

2808

100

342

608

896

1188

1482

1800

2124

2460

2814

104

348

612

900

1200

1484

1806

2128

2464

2816

108

352

616

912

1204

1488

1820

2130

2478

2820

112

360

620

918

1216

1496

1824

2142

2480

2832

120

364

624

920

1218

1500

1830

2156

2484

2838

126

368

630

924

1224

1504

1836

2160

2496

2840

128

378

640

928

1230

1512

1840

2176

2500

2844

132

380

644

930

1232

1518

1848

2178

2508

2850

140

384

648

936

1240

1520

1856

2184

2520

2856

144

390

660

952

1242

1530

1860

2190

2538

2860

150

392

666

960

1248

1536

1872

2196

2544

2862

156

396

672

966

1254

1540

1880

2200

2548

2880

160

400

680

968

1260

1548

1888

2208

2550

2886

162

408

684

972

1272

1554

1890

2214

2552

2898

168

414

690

980

1280

1560

1900

2220

2556

2900

176

416

696

984

1288

1566

1904

2226

2560

2904

180

420

700

990

1290

1568

1908

2232

2562

2912

192

432

702

992

1296

1584

1914

2240

2574

2916

196

440

704

1000

1300

1590

1920

2244

2576

2920

198

448

714

1008

1302

1596

1932

2250

2580

2928

200

450

720

1014

1312

1600

1936

2256

2592

2940

Funkcje arytmetyczne.

7. Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne

115

Literatura

[BaS] E. Bach, J. Shallit, Algorithmic Number Theory, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts,

London, 1997.

[Dave] H. Davenport, The Higher Arithmetic, Seventh edition, Cambirdge University Press, 1999.

[Dic1] L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. I. Divisibility and primality, Carnegie

Institute of Washington, 1919. Reprinted by AMS Chelsea Publishing, New York, 1992.

[GaT] G. A. Galpierin, A. K. Tołpygo, Moskiewskie Olimpiady Matematyczne (po rosyjsku), 1935-

1985, Moskwa, 1986.

[Gy04] R. K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, Third edition, Springer-Verlag, New York,

2004.

[Hodi] E. Hódi, Mozaika Matematyczna, Wiedza Powszechna, Warszawa, 1987.

[Je88] S. Jeleński, Śladami Pitagorasa, wydanie 8, PSiP, Warszawa, 1988.

[Kisa] B. Kisacanin, Mathematical Problems and Proofs. Combinatorics, Number Theory and Geo-

metry, Kluwer Acad. Publ., New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow, 2002.

[Ko02] L. Kourliandtchik, Impresje Liczbowe, Oficyna Wydawnicza Tutor, Toruń, 2001.

[Kw]

Kwant, popularne czasopismo rosyjskie.

[MaS] Matematyka w Szkole, popularne czasopismo rosyjskie.

[Mat] Matematyka, polskie czasopismo dla nauczycieli.

[Melf] G. Melfi, Some Problems in Elementary Number Theory and Modular Forms, Preprint, 1998.

[Miss] Missouri Journal of Mathematical Sciences.

[MM] Mathematics Magazine, popularne czasopismo matematyczne.

[Moll] R. A. Mollin, Fundamental Number Theory with Applications, CRC Press, Boca Raton, London,

New York, 2000.

[Mon] The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America.

[Nar86] W. Narkiewicz, Classical Problems in Number Theory, Monografie Matematyczne 62, War-

szawa, 1986.

[OM]

Olimpiada Matematyczna.

[RaT] H. Rademacher, O. Toeplitz, O Liczbach i Figurach, PWN, Warszawa, 1956.

[S50]

W. Sierpiński, Teoria Liczb, Warszawa - Wrocław, 1950.

[S59]

W. Sierpiński, Teoria Liczb II, PWN, Warszawa, 1959.

[S59a] W. Sierpiński, O Stu Prostych, ale Trudnych Zagadnieniach Arytmetyki. Z Pogranicza Geo-

metrii i Arytmetyki, Biblioteczka Matematyczna 6, PZWS, Warszawa, 1959.

[S64]

W. Sierpiński, 200 Zadań z Elementarnej Teorii Liczb, Biblioteczka Matematyczna 17, PZWS,
Warszawa, 1964.

[Sand] J. S´

andor, Geometric Theorems, Diophantine Equations, and Arithmetic Functions, American

Research Press, Rehoboth, 2002.

[Shan] D. Shanks, Solved and Unsolved Problems in Number Theory, Chelsea, New York, 1978.

[Sil1]

J. H. Silverman, A Friendly Introduction to Number Theory, Prentice Hall, 2001.

116

Funkcje arytmetyczne.

7. Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne

[Ssm] School Science and Mathematics Journal, School Science and Mathematics Association.

[Tatt] J. J. Tattersall, Elementary Number Theory in Nine Chapters, Second Edition, Cambridge

University Press, 2005.

[Wmm] XI Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków, Teoria Liczb, Uniwersytet Ja-

gielloński, Kraków 2009.

[Yan] S. Y. Yan, Teoria Liczb w Informatyce, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2006.