Prawdopodobieństwo i statystyka

5.10.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 1.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu gamma o

gęstości

1

2

,

, ,

,

n

X X

X

K

K

4

16

gdy

0

( )

0

gdy

0.

x

xe

x

p x

x

−

⎧

>

= ⎨

≤

⎩

Niech N będzie zmienną losową niezależna od zmiennych

spełniającą

1

2

,

, ,

,

n

X X

X

K

K

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

0

i

1

2

3

2

6

P N

P N

P N

P N

=

=

= =

=

=

=

= .

Niech

1

0

gdy

0

gdy

0.

N

i

i

N

S

X

N

=

=

⎧

⎪

= ⎨

>

⎪⎩

∑

Wtedy

jest równe

(

3

E S

ES

−

)

(A)

1

16

(B)

7

16

(C)

3

16

(D)

6

16

(E)

9

16

1

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.10.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 2.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi każda z rozkładu wykładniczego
o wartości oczekiwanej 1.
Niech

i

.

2

U

X

Y

=

+

Y

X

V

−

=

Wtedy prawdopodobieństwo

jest równe

(

)

(0,6)

(0,6)

P U

V

∈

∧ ∈

(A)

1

1 2e

−

−

(B)

(

)

3

4

1

4

3

2

e

e

−

−

−

(C)

(

)

3

4

1

1 4

3

2

e

e

−

−

−

+

(D)

3

1 e

−

−

(E)

1

1 2e

−

−

2

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.10.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 3.

Niech

1

2

,

, ,

n

X X

X

K

, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie gamma z

gęstością

2

0

( )

0

x

xe

gdy x

f x

gdy x

θ

θ

θ

−

⎧

>

= ⎨

≤

⎩

0

Budujemy estymator wariancji czyli funkcji

2

2

( )

v

θ

θ

=

postaci ˆ

ENW( ( ))

v

c

v

θ

= ⋅

,

gdzie ENW( ( ))

v

θ

oznacza estymator największej wiarogodności funkcji v. Jeśli

wiadomo, że jest nieobciążony, to stała c jest równa

ˆv

(A)

1 2

n

n

+

(B)

2n

(C)

1 2n

n

+

(D)

2

1 2

n

n

+

(E)

1 2

2

n

n

+

3

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.10.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 4.

Rozpatrzmy następujący model regresji liniowej bez wyrazu wolnego:

i

i

i

x

Y

ε

β

+

⋅

=

(

1,....,16

i

=

),

gdzie są znanymi liczbami,

0

i

x

>

β

jest nieznanym parametrem, zaś

i

ε

są błędami

losowymi. Zakładamy, że

i

ε

są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach

normalnych i

0

]

[

=

i

E

ε

i

2

[ ]

i

Var

x

ε

i

=

(

1,....,16

i

=

).

Niech będzie estymatorem parametru

β

ˆ

β

o następujących własnościach:

β

ˆ jest liniową funkcją obserwacji, tzn. jest postaci

16

1

ˆ

i i

i

c Y

β

=

=

∑

,

β

ˆ jest nieobciążony,

β

ˆ

ma najmniejszą wariancję spośród estymatorów liniowych i nieobciążonych.

Wyznaczyć stałą c taką, że spełniony jest warunek

(

)

ˆ

0,95

P

c

β β

−

<

=

.

(A)

0, 49

c

=

(B)

16

1

7,84

i

i

c

x

=

=

∑

(C)

1,64

c

=

(D)

16

1

0, 49

i

i

c

=

=

∑

x

(E)

16

1

1,96

i

i

c

x

=

=

∑

4

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.10.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 5.

Niech

1

,...,

n

X

X , będzie próbką z rozkładu jednostajnego o gęstości danej

wzorem:

1,

n

>

1/

dla 0

;

( )

0 w przeciwnym przypadku,

x

f x

θ

θ

θ

≤ ≤

⎧

= ⎨

⎩

gdzie

0

θ

>

jest nieznanym parametrem.

Zmienne losowe

1

,...,

n

X

X nie są w pełni obserwowalne. Obserwujemy zmienne

losowe

, gdzie M jest ustaloną liczbą dodatnią. Oblicz estymator

największej wiarogodności parametru

min( ,

)

i

i

Y

X

=

M

θ

ˆ

θ

jeśli wiadomo, że w próbce

, jest

K obserwacji o wartościach mniejszych niż M i

1

,...,

n

Y

Y

{

}

1, 2, ,

1

K

n

∈

−

K

.

(A) ˆ

n

M

K

θ

=

+

(B)

ˆ Mn

K

θ

=

(C)

ˆ

Mn

n

K

θ

=

−

(D) ˆ

n

K

M

n

θ

−

=

+

(E) nie

można zastosować metody największej wiarogodności w tym modelu

5

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.10.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 6.

Rozważmy następujące zagadnienie testowania hipotez statystycznych. Dysponujemy
próbką

z rozkładu normalnego o nieznanej średniej

n

X

X ,...,

1

μ

i znanej wariancji

równej 4. Przeprowadzamy najmocniejszy test hipotezy

0

:

0

=

μ

H

przeciwko

alternatywie

1

:

H

1

μ

= − na poziomie istotności

2

/

1

=

α

. Niech

n

β

oznacza

prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju, dla rozmiaru próbki .

n

Wybierz poprawne stwierdzenie:

(A)

lim

1

n

n

n

β

→∞

=

(B) lim

1

n

n

n

β

→∞

=

(C)

8

lim

1

n

n

n

e

β

→∞

=

(D)

8

lim

1

2

n

n

n

e

n

π

β

→∞

=

(E)

8

lim

1

4 2

n

n

n

e

π

β

→∞

=

6

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.10.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

7.

W urnie znajduje się 20 kul białych, 20 kul czarnych i 20 kul niebieskich. Losujemy
bez zwracania 24 kule. Niech

• X oznacza liczbę wylosowanych kul białych,

• Y oznacza liczbę wylosowanych kul czarnych,
• Z oznacza liczbę wylosowanych kul niebieskich.

Współczynnik korelacji zmiennych losowych

2

X

Y

+

i Z ,

,

(

2 ,

corr X

Y Z

+

)

jest równy

(A)

1

−

(B)

3

2

−

(C)

3
4

−

(D) 0

(E)

1
2

−

7

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.10.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

8.

Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie Pareto o gęstości

,...

,...,

1

n

X

X

(

)

1

gdy

0

1

( )

0

w przeciwnym przypadku,

x

x

f x

θ

θ

+

⎧

>

⎪ +

= ⎨

⎪

⎩

gdzie

1

θ

>

jest ustalone.

Niech

będzie zmienną losową niezależną od

, o rozkładzie

geometrycznym

N

,...

,...,

1

n

X

X

(

)

(1

) gdy

0,1, 2, ,

n

P N

n

q q

n

=

= −

=

K

gdzie

jest ustaloną liczbą.

(

0,1

q

∈

)

Niech

{

}

1

min

,...,

,

0;

0

0.

N

X

X

gdy

N

Z

gdy

N

⎧

>

= ⎨

=

⎩

Oblicz

przy założeniu, że

.

( |

)

E N Z

z

=

0

z

>

(A)

(

)

(

)

2 1

1

z

z

q

θ

θ

+

+

+

(B)

(

)

(

)

2 1

1

z

z

q

θ

θ

+

+

−

(C)

(

)

(

)

1

3

1

z

q

z

q

θ

θ

+

+

+

+

(D)

(

)

(

)

1
1

z

q

z

q

θ

θ

+

+

+

−

(E)

(

)

(

)

1

1

z

z

q

θ

θ

+

+

−

8

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.10.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

9.

Rozważamy łańcuch Markowa

na przestrzeni stanów

,...

,

2

1

X

X

{

}

0,1, 2

o macierzy

przejścia

1 1

0

2 2
1

3

0

,

4

4

1 1 1
3 3 3

P

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

(gdzie

dla

(

)

1

P

|

ij

n

n

P

X

j X

i

+

=

=

=

,

0,1, 2

i j

=

).

Niech będzie ciągiem zmiennych losowych o wartościach w zbiorze

, niezależnych od siebie nawzajem i od zmiennych

, o

jednakowym rozkładzie prawdopodobieństwa:

,...

,...,

,

2

1

n

Z

Z

Z

{ }

1

,

0

,...

,...,

,

2

1

n

X

X

X

3

P(

1)

4

i

Z

= = i

1

P(

0)

4

i

Z

=

= .

Niech

. Wtedy

jest równy

i

i

i

X

Z

Y

⋅

=

1

lim P(

)

n

n

n

Y

Y

+

→∞

>

A)

32

144

(B)

57

144

(C)

35

144

(D)

26

144

(E)

41

144

9

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.10.2009 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

10.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

1

2

,

, ,

n

X X

X

K

(

)

( )

0

x

e

gdy x

f x

gdy x

θ

θ

θ
θ

− −

⎧

≥

= ⎨

<

⎩

gdzie

R

θ

∈

jest nieznanym parametrem. Zbudowano test jednostajnie najmocniejszy

dla weryfikacji hipotezy

0

: 0

H

θ

= przy alternatywie

1

: 0

H

θ

≠ na poziomie

istotności (0,1)

α

∈

.

Obszar krytyczny tego testu jest równy

(A)

{

} (

)

1

2

ln

min

,

, ,

,0

,

n

X X

X

n

α

⎧

−

⎛

⎞

∈ −∞

∪

+∞

⎨

⎬

⎜

⎟

⎝

⎠

⎩

⎭

K

⎫

(B)

{

}

1

2

ln

ln

min

,

, ,

,

,

n

X X

X

n

n

α

α

⎧

−

⎛

⎞ ⎛

∈ −∞

∪

+∞

⎨

⎬

⎜

⎟ ⎜

⎝

⎠ ⎝

⎩

⎭

K

⎫

⎞

⎟

⎠

(C)

{

}

1

2

ln(1

)

min

,

, ,

0,

n

X X

X

n

α

⎧

−

⎛

⎞

∈

⎨

⎬

⎜

⎟

⎝

⎠

⎩

⎭

K

−

⎫

(D)

{

}

1

2

1

ln 2 ln

min

,

, ,

,

ln 1

,

2

n

X X

X

n

n

α

α

⎧

⎫

⎛

−

⎞

−

⎛

⎞

⎛

⎞

∈ −∞

−

∪

+∞

⎨

⎬

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎩

⎭

K

(E)

{

}

1

2

ln(1

)

min

,

, ,

,

n

X X

X

n

α

⎧

−

⎛

⎞

∈ −∞ −

⎨

⎬

⎜

⎟

⎝

⎠

⎩

⎭

K

⎫

10

Prawdopodobieństwo i statystyka

5.10.2009 r.

___________________________________________________________________________

Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Arkusz odpowiedzi

*

Imię i nazwisko : ................. K L U C Z O D P O W I E D Z I ..........................
Pesel ...........................................

Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

♦

1 B

2 C

3 D

4 A

5 B

6 D

7 B

8 D

9 E

10 A

*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

♦

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.

11