Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
1
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Mirosław Tomera
1. TRANSFORMATA LAPLACE'A
Transformata Laplace'a jest jednym z narzędzi matematycznych służących do rozwiązywania
liniowych równań różniczkowych zwyczajnych. W porównaniu z metodą klasyczną, metoda
transformaty operatorowej przekształca równanie różniczkowe zwyczajne w równanie algebraiczne,
którego zmienną jest operator Laplace'a s. Wówczas, w celu uzyskania rozwiązania w dziedzinie
operatora s przekształca się równanie algebraiczne przy użyciu prostych reguł matematycznych.
Ostateczne rozwiązanie równania różniczkowego uzyskiwane jest poprzez zastosowanie odwrotnej
transformaty Laplace'a.
1.1. DEFINICJA TRANSFORMATY LAPLACE'A
Mając funkcję czasową f(t) spełniającą następujący warunek
∫
∞
−
∞
<
0
)
(
dt
e
t
f
t
σ
(1)
dla pewnej skończonej liczby rzeczywistej
σ
, transformatę Laplace'a tej funkcji wyznacza się
następującej całki
£
{ }
)
(t
f
=
)
(s
F
=
∫
∞
−
0
)
(
dt
e
t
f
st
(2)
Zmienna s określana tutaj jako operator Laplace'a i jest zmienną zespoloną określoną wzorem
ω
σ
j
s
+
=
. Równanie (2) znane jest również pod nazwą jednostronnej transformaty Laplace'a
w której wykonywane jest całkowanie w zakresie czasu od t = 0 do
∞
. Oznacza to, że wszystkie
informacje zawarte w funkcji f(t) przed czasem t = 0 są pomijane lub przyjmowane jako równe zero.
Założenie to nie nakłada żadnych ograniczeń na stosowanie transformaty Laplace'a do rozwiązywania
problemów w liniowych układach sterowania. W zwykłych problemach w dziedzinie czasu, czas
odniesienia jest przyjmowany jako t = 0. W układach fizycznych w których sygnał wejściowy jest
przyłożony w chwili t = 0, odpowiedź na to pobudzenie nie może pojawić się wcześniej, aniżeli
w t = 0; tzn. odpowiedź nie może wyprzedzać pobudzenia.
Transformata Laplace'a powinna zostać zdefiniowana dla przedziału czasu od t =
−
0 do
∞
.
Symbol
−
=
0
t
oznacza, że granica dla czasu
0
→
t
brana jest z lewej strony t = 0. Takie ograniczenie
brane jest pod uwagę w tych przypadkach, gdy funkcja f(t) ma postać funkcji skokowej lub
impulsowej w których to funkcjach zmiana następuje w chwili t = 0. Jednak równanie definiujące
transformatę Laplace'a bardzo rzadko jest używane, rozwiązując zadania korzysta się z wyrażeń
zawartych w tabeli transformat Laplace'a (tabela 2), dlatego też w dalszej części tego opracowania
pominięto ten problem i wszystkie warunki początkowe rozpatrywane są dla czasu t = 0.
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
2
Poniżej wyznaczone zostały transformaty kilku typowych funkcji czasowych.
Przykład 1
Funkcja ekspotencjalna zdefiniowana jest następująco
≥
⋅
<
=
−
0
0
0
)
(
t
e
A
t
t
f
t
σ
(1.1)
gdzie A oraz
σ
są stałymi. Transformata Laplace'a funkcji ekspotencjalnej (1.1) może być
wyznaczona następująco
F(s) =
£
{ }
t
Ae
σ
−
=
(
)
(
)
σ
σ
σ
σ
σ
+
=
+
−
=
=
∞
−
+
−
∞
+
−
∞
−
−
∫
∫
s
A
e
s
e
A
dt
e
A
dt
e
Ae
st
t
s
t
s
st
t
0
0
0
(1.2)
Jak widać funkcja ekspotencjalna tworzy biegun na płaszczyźnie zmiennej zespolonej.
Przykład 2
Funkcja skokowa
≥
<
=
0
0
0
)
(
t
A
t
t
f
(2.1)
gdzie A jest stałą. Łatwo zauważyć, że funkcja (2.1) jest specjalnym przypadkiem funkcji
ekspotencjalnej gdy
0
=
σ
. Transformata Laplace'a funkcji skokowej
F(s) =
£
{ }
A
=
s
A
e
s
A
dt
Ae
st
st
=
−
=
∞
−
∞
−
∫
0
0
(2.2)
Funkcja skokowa, której wysokość jest jednostkowa (A = 1) nazywana jest jednostkową funkcją
skokową. Fizycznie funkcja skokowa pojawia się w czasie t = 0 i odpowiada stałej wartości
sygnału przyłożonej do układu w chwili t równej zero.
Przykład 3
Funkcja liniowo narastająca
≥
<
=
0
0
0
)
(
t
At
t
t
f
(3.1)
gdzie A jest stałą. Transformatę Laplace'a funkcji liniowo narastającej uzyskiwana jest
następująco:
F(s) =
£
{ }
At
=
=
−
−
−
=
∫
∫
∞
−
∞
−
∞
−
0
0
0
dt
s
Ae
s
Ate
dt
Ate
st
st
st
2
s
A
(3.2)
Przy wyznaczaniu zależności (3.2) zastosowana została metoda całkowania przez części
∫
∫
−
=
vdu
uv
udv
gdzie u = At oraz
dt
e
dv
st
−
=
Przykład 4
Funkcja sinusoidalna
≥
<
=
0
sin
0
0
)
(
t
t
A
t
t
f
ω
(4.1)
gdzie A oraz
ω
są stałymi. Funkcja
t
ω
sin
może zostać zapisana następująco:
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
3
(
)
t
j
t
j
e
e
j
t
ω
ω
ω
−
−
=
2
1
sin
(4.2)
Stąd
F(s) =
£
{
}
t
A
ω
sin
=
(
)
=
+
−
−
=
−
∫
∞
−
−
ω
ω
ω
ω
j
s
j
A
j
s
j
A
dt
e
e
e
j
A
st
t
j
t
j
1
2
1
2
2
0
2
2
ω
ω
+
s
A
(4.3)
W bardzo podobny sposób wyznacza się transformatę funkcji
t
A
ω
cos
F(s) =
£
{
}
t
A
ω
cos
=
2
2
ω
+
s
As
(4.4)
Przykład 5
Funkcja impulsowa jednostkowa (funkcja delta Diraca)
>
=
∞
<
=
0
0
0
0
0
)
(
t
t
t
t
f
(5.1)
Transformatę Laplace'a tej funkcji impulsowej
F(s) =
£
{ }
)
(t
δ
=
( )
( )
1
0
0
0
=
=
∫
∫
+
−
−
∞
−
dt
t
dt
e
t
st
δ
δ
(5.2)
Przykład 6
Wyznacz transformatę Laplace'a F(s) funkcji pokazanej na rysunku 1, gdzie f(t) = 0, dla t < 0
oraz dla t > 2a.
A
f(t)
−
A
0
2a
a
t
Rys.1. Funkcja f(t)
Funkcja f(t) może zostać zapisana następująco:
>
≤
<
−
≤
<
<
=
a
t
a
t
a
A
a
t
A
t
t
f
0
2
0
0
0
)
(
(6.1)
lub w inny sposób
)
2
(
1
)
(
1
2
)
(
1
)
(
a
t
A
a
t
A
t
A
t
f
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
=
dla
a
t 2
0
<
≤
(6.2)
Transformata Laplace'a funkcji (6.1)
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
4
F(s) =
£
{ }
)
(t
f
=
∫
∫
∫
−
−
−
−
+
=
a
a
st
a
st
a
st
dt
Ae
dt
Ae
dt
e
t
f
2
0
2
0
)
(
(6.3)
Dalszy ciąg obliczeń zależności (6.3)
F(s) =
−
+
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
s
e
e
s
e
A
s
Ae
s
Ae
as
as
as
a
a
st
a
st
2
2
0
1
(6.4)
Ostatecznie
F(s) =
(
) (
)
2
2
1
1
2
as
as
as
e
s
A
e
e
s
A
−
−
−
−
=
+
−
(6.5)
Rozwiązanie (6.5) można uzyskać wychodząc z równania (6.2)
F(s) =
£
{ }
)
(t
f
=
£
{
}
)
(
1 t
A
⋅
+
£
{
}
)
(
1
2
a
t
A
−
⋅
−
+
£
{
}
)
2
(
1
a
t
A
−
⋅
(6.6)
Dalej przekształcając równanie (6.6)
F(s) =
(
) (
)
2
2
2
1
2
1
1
1
2
1
as
as
as
as
as
e
s
A
e
e
s
A
e
s
A
e
s
A
s
A
−
−
−
−
−
−
=
+
−
=
+
−
(6.7)
Ostatecznie wynik uzyskany w równaniu (6.7) pokrywa się z wynikiem (6.5).
Jeśli funkcja f(t) jest funkcją okresową o okresie T, wówczas
F(s) =
£
{ }
)
(t
f
=
sT
T
st
e
dt
e
t
f
−
−
−
∫
1
)
(
0
(3)
1.2. ODWROTNA TRANSFORMATA LAPLACE'A
Operację wyznaczania funkcji f(t) z danej transformaty operatorowej Laplace'a F(s) wykonuje się przy
użyciu odwrotnej transformaty Laplace’a, a którą wyznacza się z następującego wzoru
£
−
1
{ }
)
(s
F
=
∫
∞
+
∞
−
j
c
j
c
st
ds
e
s
F
j
)
(
2
1
π
=
<
≥
0
,
0
0
),
(
t
t
t
f
(4)
gdzie c jest stałą, która jest większa od części rzeczywistych wszystkich punktów funkcji na
płaszczyźnie s, w których funkcja F(s) nie istnieje. Równanie (3) opisuje całkowanie wzdłuż linii
znajdującej się na płaszczyźnie s. Dla prostych funkcji, operacja znajdowania odwrotnej transformaty
operatorowej polega na wyszukaniu odpowiedniej funkcji z tabeli transformat Laplace'a (tabela 2).
Dla funkcji złożonych, odwrotna transformata Laplace'a znajdowana jest przez rozkład na ułamki
proste i następnie przez zastosowanie tabeli transformat.
Do rozkładu funkcji operatorowej F(s) na ułamki proste mogą być używane również programy
komputerowe takie jak np. residue z pakietu M
ATLABA
.
1.3. WAŻNE TWIERDZENIA Z TRANSFORMATY LAPLACE'A
Korzystanie z transformaty Laplace'a w wielu wypadkach upraszcza się przez wykorzystanie
odpowiedniej własności transformaty. Własności te zebrane zostały w tabeli 1.
Mnożenie przez stałą
Niech k będzie stałą, a F(s) transformatą Laplace'a funkcji f(t). Wtedy
£
{ kf (t)} =
( )
s
kF
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
5
Tabela 1. Podstawowe własności transformaty Laplace’a
1.
Liniowość
£
{
1
af
(t) +
2
bf
(t)} =
1
aF
(s) +
2
bF
(s), a, b – stałe
2. Całkowanie w dziedzinie rzeczywistej
£
∫
∞
−
t
dt
t
f )
(
=
s
s
F )
(
+
∫
−
∞
−
0
)
(
1
dt
t
f
s
3. Różniczkowanie w dziedzinie rzeczywistej
£
∑
−
=
−
−
−
=
1
0
)
(
1
)
0
(
)
(
)
(
n
k
k
k
n
n
n
n
f
s
s
F
s
dt
t
f
d
3.a. pierwsza pochodna
£
)
0
(
)
(
)
(
f
s
sF
dt
t
df
−
=
3.b. druga pochodna
£
)
0
(
)
0
(
)
(
)
(
)
1
(
2
2
2
f
sf
s
F
s
dt
t
f
d
−
−
=
4. Całkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)
£
s
d
s
F
t
t
f
s
∫
∞
=
)
(
)
(
5. Różniczkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)
£
{
}
)
(t
f
t
n
=
( )
n
1
−
n
n
ds
s
F
d
)
(
6. Przesunięcie w dziedzinie rzeczywistej
£
{f(t
−
T)}=
)
(s
F
e
sT
−
, T jest stałą
7. Twierdzenie o wartości początkowej
)
(
lim
)
(
lim
0
s
sF
t
f
s
t
∞
→
→
=
8. Twierdzenie o wartości końcowej
)
(
lim
)
(
lim
0
s
sF
t
f
s
t
→
∞
→
=
9. Przesunięcie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)
£
{
}
)
(t
f
e
at
= F(s
−
a)
10. Zmiana skali
£
{f(at)} =
a
s
F
a
1
, a jest stałą dodatnią
11. Splot funkcji (twierdzenie Borela)
£
{
}
)
(
)
(
2
1
t
f
t
f
∗
=
)
(
)
(
2
1
s
F
s
F
, gdzie
)
(
)
(
2
1
t
f
t
f
∗
=
∫
−
−
t
d
t
f
f
0
2
1
)
(
)
(
τ
τ
τ
Twierdzenie o wartości końcowej (tabela 1, pkt. 8) jest bardzo pomocne w analizie i projektowaniu
układów sterowania. Wartość końcowa funkcji czasowej wyznaczana jest poprzez znajomość
zachowania jej transformaty operatorowej w punkcie s = 0. Twierdzenie o wartości końcowej jest
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
6
Tabela 2. Wybrane transformaty Laplace’a
f(t)
F(s)
1.
)
(t
δ
(impuls jednostkowy)
1
2.
)
(
1 t (skok jednostkowy)
s
1
3.
( )
(
) ( )
t
kT
t
t
k
T
1
0
⋅
−
=
∑
∞
=
δ
δ
Ts
e
−
−
1
1
4.
( )
t
t 1
⋅
2
1
s
5.
( )
t
t 1
2
1
2
⋅
3
1
s
6.
( )
t
t
n
n
1
!
1
⋅
1
1
+
n
s
7.
( )
t
e
t
1
⋅
σ
σ
−
s
1
8.
( )
t
te
t
1
⋅
σ
(
)
2
1
σ
−
s
9.
( )
t
e
t
n
t
n
1
!
1
⋅
σ
(
)
1
1
+
−
n
s
σ
10.
( )
t
t 1
sin
⋅
ω
2
2
ω
ω
+
s
11.
( )
t
t 1
cos
⋅
ω
2
2
ω
+
s
s
12.
( )
t
t
t
1
sin
⋅
ω
(
)
2
2
2
2
ω
ω
+
s
s
13.
( )
t
t
t
1
cos
⋅
ω
(
)
2
2
2
2
2
ω
ω
+
−
s
s
14.
( )
t
t
e
t
1
sin
⋅
ω
σ
(
)
2
2
ω
σ
ω
+
−
s
15.
( )
t
t
e
t
1
cos
⋅
ω
σ
(
)
(
)
2
2
ω
σ
σ
+
−
−
s
s
16.
(
) ( )
t
t
Ae
t
1
cos
⋅
+
φ
ω
σ
ω
σ
φ
j
s
Ae
j
+
−
2
1
+
ω
σ
φ
j
s
Ae
j
−
−
−
2
1
nieprawdziwe jeśli sF(s) zawiera pewne bieguny, których część rzeczywista jest równa zero lub
dodatnia. Poniższy przykład ilustruje z jaką ostrożnością musi być stosowane twierdzenie o wartości
końcowej.
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
7
Przykład 7
Rozważ funkcję operatorową postaci
(
)
2
5
)
(
2
+
+
=
s
s
s
s
F
(7.1)
Ponieważ funkcja sF(s) nie posiada biegunów na osi urojonych i w prawej półpłaszczyźnie,
dlatego też może być zastosowane twierdzenie o wartości końcowej.
2
5
2
5
lim
)
(
lim
)
(
lim
2
0
0
=
+
+
=
=
→
→
∞
→
s
s
s
sF
t
f
s
s
t
(7.2)
Rozważmy jeszcze jedną funkcję
2
2
)
(
ω
ω
+
=
s
s
F
(7.3)
która jest transformatą funkcji f(t) = sin
ω
t. Z tego powodu, że funkcja ta ma dwa bieguny sF(s)
na osi urojonej płaszczyzny s, w tym przypadku nie może być zastosowane twierdzenie
o wartości końcowej. Chociaż dla funkcji operatorowej (7.3) twierdzenie o wartości końcowej
daje wartość równą zero, jako wartość końcową funkcji f(t), to wynik ten jest nieprawdziwy.
2.
WYZNACZANIE ODWROTNEJ TRANSFORMATY LAPLACE'A PRZEZ
ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE
W układach sterowania, dla większości problemów, wyznaczanie odwrotnej transformaty Laplace'a
nie odbywa się poprzez zastosowanie całki (4), ale na rozłożeniu funkcji na ułamki proste
i zastosowaniu wzorów z tabeli transformat Laplace'a (tabela 2).
2.1. ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE
Transformata Laplace'a rozwiązująca równanie różniczkowe jest funkcją operatorową względem s,
i może to zostać zapisane następująco:
)
(
)
(
)
(
s
M
s
L
s
G
=
(5)
gdzie L(s) i M(s) są wielomianami względem s. Równanie (5) zostało zapisane przy założeniu, że rząd
wielomianu M(s) jest większy od rzędu wielomianu L(s). Wielomian mianownika M(s) może być
zapisany następująco:
0
1
2
2
1
1
...
)
(
a
s
a
s
a
s
a
s
a
s
M
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
+
=
−
−
−
−
(6)
gdzie
0
a
,
1
a
,...,
n
a
są współczynnikami rzeczywistymi. Metoda rozkładu na ułamki proste zostanie
przedstawiona dla następujących przypadków: gdy bieguny funkcji G(s) są jednokrotne, wielokrotne
i zespolone.
2.1.1. Funkcja G(s) ma bieguny jednokrotne
Jeśli wszystkie bieguny funkcji operatorowej G(s) są jednokrotne (pojedyncze) i rzeczywiste,
wówczas równanie (4) może zostać zapisane następująco:
)
(s
G
=
)
(
)
(
s
M
s
L
=
(
)(
) (
)
n
s
s
s
s
s
s
L(s)
−
−
−
...
2
1
(7)
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
8
gdzie
n
s
s
s
≠
≠
≠
Λ
2
1
. Jeśli rząd licznika jest mniejszy od rzędu mianownika, wówczas rozkład
funkcji (6) na ułamki zwykłe jest następujący:
)
(s
G
=
)
(
)
(
s
M
s
L
=
1
1
s
s
K
−
+
2
2
s
s
K
−
+
…
+
n
n
s
s
K
−
(8)
Są dwa sposoby wyznaczania współczynników
i
K
(i = 1, 2, ..., n). Pierwszy polega na sprowadzeniu
sumy ułamków zwykłych do wspólnego mianownika i porównaniu ze sobą odpowiadających sobie
współczynników liczników. Drugi znacznie szybszy, tzw. metodą residuuów, polega na obustronnym
pomnożeniu równania (7) przez
(
)
i
s
s
−
, podstawieniu za
i
s
s
=
i wyznaczenie współczynnika
i
K
odbywa się następująco:
i
K
=
(
)
i
s
s
i
s
M
s
L
s
s
=
−
)
(
)
(
=
(
)(
) (
)
n
i
i
i
i
s
s
s
s
s
s
)
L(s
−
−
−
...
2
1
(9)
Jeśli stopień wielomianu licznika nie jest niższy aniżeli stopień wielomianu mianownika, wówczas
wielomian licznika musi zostać podzielony przez wielomian mianownika, aż uzyska się stopień
wielomianu resztkowego niższy od stopnia mianownika
)
(s
G
=
(
)(
) (
)
n
s
s
s
s
s
s
L(s)
−
−
−
...
2
1
=
calkowita
część
+
(
)(
) (
)
n
s
s
s
s
s
s
−
−
−
...
resztowy
wielomian
2
1
(10)
Przykład 8
Rozważmy następującą funkcję operatorową
)
(s
G
=
(
)(
)
3
2
4
3
2
+
+
+
−
s
s
s
s
(8.1)
która może zostać zapisana w postaci następującego rozkładu na ułamki zwykłe
)
(s
G
=
s
K
1
+
2
2
+
s
K
+
3
3
+
s
K
(8.2)
Współczynniki
1
K ,
2
K oraz
3
K mogą zostać wyznaczone dwoma sposobami. Pierwszy polega
na sprowadzeniu równania (8.2) do wspólnego mianownika
)
(s
G
=
(
)
(
)
(
)(
)
3
2
6
2
3
5
1
3
2
1
2
3
2
1
+
+
+
+
+
+
+
+
s
s
s
K
s
K
K
K
s
K
K
K
(8.3)
i porównaniu uzyskanych współczynników równania (8.3) ze współczynnikami licznika funkcji
(8.1)
=
=
+
+
−
=
+
+
4
6
0
2
3
5
3
1
3
2
1
3
2
1
K
K
K
K
K
K
K
(8.4)
Z rozwiązania powstałego układu równań (8.4) uzyskuje się następujące wyniki
−
=
=
=
3
23
4
3
2
3
2
1
K
K
K
(8.5)
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
9
Druga metoda (residuuów) polega na wyznaczaniu współczynników
1
K
,
2
K
i
3
K
z następujących zależności:
1
K
=
(
)(
)
0
2
3
2
4
3
=
+
+
+
−
s
s
s
s
=
3
2
(8.6)
2
K
=
(
)
2
2
3
4
3
−
=
+
+
−
s
s
s
s
= 4
(8.7)
3
K
=
(
)
3
2
2
4
3
−
=
+
+
−
s
s
s
s
=
−
3
23
(8.8)
W rezultacie równanie (8.2) jest następujące
)
(s
G
=
s
1
3
2
+ 4
2
1
+
s
−
3
1
3
23
+
s
(8.9)
Przykład 9
Przykład ilustrujący sposób rozkładu funkcji operatorowej na ułamki zwykłe dl przypadku
w którym stopień wielomianu licznika nie jest niższy od stopnia wielomianu mianownika.
)
(s
G
=
6
5
1
4
3
2
2
+
+
+
−
s
s
s
s
= 3 +
6
5
17
19
2
+
+
−
−
s
s
s
= 3 + 21
2
1
+
s
−
40
3
1
+
s
(9.1)
2.1.2. Funkcja G(s) ma bieguny wielokrotne
Jeśli wszystkie bieguny funkcji operatorowej G(s) są pojedyncze i rzeczywiste wówczas równanie (5)
może to zostać zapisane następująco:
)
(s
G
=
)
(
)
(
s
M
s
L
=
(
)(
) (
)(
)
r
i
r
n
s
s
s
s
s
s
s
s
L(s)
−
−
−
−
−
...
2
1
(11)
gdzie
≠
i 1, 2, ..., n
−
r. W tym przypadku funkcja operatorowa G(s) może być wyrażona w sposób:
)
(s
G
=
1
1
s
s
K
−
+
2
2
s
s
K
−
+
…
+
r
n
r
n
s
s
K
−
−
−
+
i
s
s
A
−
1
+
(
)
2
2
i
s
s
A
−
+
…
+
(
)
r
i
r
s
s
A
−
=
(12)
Współczynniki
1
K
,
2
K
,...,
r
n
K
−
odpowiadają biegunom pojedynczym i mogą zostać wyznaczone
według zależności (9). Określenie współczynników, które odpowiadają biegunom wielokrotnym
wyznacza się następująco:
(
)
[
]
i
s
s
r
i
r
s
G
s
s
A
=
−
=
)
(
(13)
(
)
[
]
i
s
s
r
i
r
s
G
s
s
ds
d
A
=
−
−
=
)
(
1
(14)
(
)
[
]
i
s
s
r
i
r
s
G
s
s
ds
d
A
=
−
−
=
)
(
!
2
1
2
2
2
(15)
Μ
( )
(
)
[
]
i
s
s
r
i
r
r
s
G
s
s
ds
d
r
A
=
−
−
−
−
=
)
(
!
1
1
1
1
1
(16)
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
10
Przykład 10
Rozważ następującą funkcję operatorową
)
(s
G
=
( ) (
)
2
1
1
3
+
+
s
s
s
(10.1)
która ma potrójny biegun w
1
−
=
s
. Rozkład funkcji operatorowej G(s) na ułamki proste
odbywa się według zależności (11)
)
(s
G
=
( ) ( )
3
3
2
2
1
2
1
1
1
1
2
+
+
+
+
+
+
+
+
s
A
s
A
s
A
s
K
s
K
(10.2)
Współczynniki odpowiadające biegunom jednokrotnym
1
K
=
[
]
( ) (
)
0
3
0
2
1
1
)
(
=
=
+
+
=
s
s
s
s
s
sG
=
2
1
(10.3)
2
K
=
(
)
[
]
2
)
(
2
−
=
+
s
s
G
s
=
( )
2
3
1
1
−
=
+
s
s
s
=
2
1
(10.4)
Pozostałe współczynniki bieguna wielokrotnego
( )
[
]
1
)
(
1
1
3
3
−
=
+
=
−
=
s
s
G
s
A
(10.5)
( )
[
]
(
)
0
2
1
)
(
1
1
1
3
2
=
+
=
+
=
−
=
−
=
s
s
s
s
ds
d
s
G
s
ds
d
A
(10.6)
( )
[
]
(
)
1
2
1
!
2
1
)
(
1
!
2
1
1
2
2
1
3
2
2
1
−
=
+
=
+
=
−
=
−
=
s
s
s
s
ds
d
s
G
s
ds
d
A
(10.7)
Uzyskany w ten sposób rozkład funkcji operatorowej (10.1) na ułamki proste
)
(s
G
=
(
)
( )
3
1
1
1
1
2
2
1
2
1
+
−
+
−
+
+
s
s
s
s
(10.8)
2.1.3. Funkcja G(s) ma bieguny zespolone jednokrotne
Rozkład na ułamki proste według zależności (8) jest również poprawny w przypadku, jeśli wśród
biegunów funkcji operatorowej G(s) pojawiają się wartości zespolone jednokrotne.
Przykład 11
Rozważ następującą funkcję ilustrującą rozkład funkcji zawierającej bieguny zespolone
jednokrotne
)
(s
G
=
(
)
10
2
8
2
+
+
+
−
s
s
s
s
=
(
)(
)
3
1
3
1
8
j
s
j
s
s
s
+
+
−
+
+
−
=
s
K
1
+
3
1
2
j
s
K
−
+
+
3
1
*
2
3
j
s
K
K
+
+
=
(11.1)
wówczas współczynnik odpowiadający biegunowi rzeczywistemu jednokrotnemu
1
K
=
[
]
0
2
0
10
2
8
)
(
=
=
+
+
+
−
=
s
s
s
s
s
s
sG
=
5
4
= 0.8
(11.2)
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
11
Współczynniki odpowiadające biegunom zespolonym jednokrotnym są następujące
2
K
=
(
)
[
]
(
)
3
1
3
1
3
1
8
)
(
3
1
j
s
j
s
j
s
s
s
s
G
j
s
+
−
=
+
−
=
+
+
+
−
=
−
+
=
10
3
4
j
+
−
=
o
j
e
143
2
1
(11.3)
przy czym współczynnik odpowiadający drugiej liczbie zespolonej sprzężonej jest sprzężony do
poprzedniego współczynnika i nie ma potrzeby liczenia go
3
K
=
*
2
K =
10
3
4
j
−
−
=
o
j
e
143
2
1
−
(11.4)
podstawiając wartości liczbowe współczynników
2
K ,
3
K w postaci wykładniczej do
zależności (11.1) otrzymuje się
)
(s
G
=
5
4
s
1
+
2
1
3
1
143
j
s
e
o
j
−
+
+
2
1
3
1
143
j
s
e
o
j
+
+
−
(11.5)
korzystając z tabeli 2, odpowiadająca funkcja czasowa jest następująca
)
(t
g
=
5
4
+
(
)
o
t
t
e
143
3
cos
+
−
t
≥
0
(11.6)
Inną postać rozwiązania uzyskuje się po podstawieniu do równania (11.1) wartości liczbowych
współczynników
2
K
,
3
K
w postaci algebraicznej, wówczas otrzymuje się
)
(s
G
=
5
4
s
1
−
10
1
3
1
3
4
j
s
j
−
+
−
−
10
1
3
1
3
4
j
s
j
+
+
+
(11.7)
korzystając z tabeli 2, uzyskana funkcja czasowa jest następująca
)
(t
g
==
5
4
−
10
3
4
j
−
(
)
t
j
e
3
1
−
−
−
10
3
4
j
+
(
)
t
j
e
3
1
+
−
t
≥
0
(11.8)
po wykonaniu odpowiednich działań i zastosowaniu wzorów Eulera otrzymuje się
)
(t
g
=
5
4
−
5
1
(
)
t
t
e
t
3
sin
3
3
cos
4
+
−
...t
≥
0
(11.9)
Inny sposób rozwiązania równania (11.1) zawierającego bieguny zespolone sprzężone
)
(s
G
=
(
)
10
2
8
2
+
+
+
−
s
s
s
s
=
s
K
1
+
10
2
2
3
2
+
+
+
s
s
K
s
K
(11.10)
gdzie
1
K
,
2
K
oraz
3
K
są wyznaczane z porównania współczynników następującej zależności
(
)
(
)
1
3
1
2
2
1
10
2
8
K
s
K
K
s
K
K
s
+
+
+
+
=
+
−
(11.11)
uzyskane w ten sposób wartości współczynników
5
4
1
=
K
,
5
4
2
−
=
K
oraz
5
13
3
−
=
K
(11.12)
Po podstawieniu wyznaczonych współczynników (11.12) do równania (11.10)
)
(s
G
=
5
4
s
1
−
5
1
10
2
13
4
2
+
+
+
s
s
s
=
5
4
s
1
−
5
4
( )
2
2
3
1
1
+
+
+
s
s
−
5
3
( )
2
2
3
1
3
+
+
s
(11.13)
korzystając z tabeli 2, uzyskana funkcja czasowa jest następująca
)
(t
g
=
5
4
−
5
1
(
)
t
t
e
t
3
sin
3
3
cos
4
+
−
...t
≥
0
(11.14)
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
12
2.2. ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE Z ZASTOSOWANIEM FUNKCJI MATLABA
Rozkład na ułamki proste funkcji operatorowej może zostać wykonany przy użyciu programów
komputerowych. Dla przykładu może zostać zastosowana funkcja residue z biblioteki M
ATLABA
.
Rozważmy następującą funkcję operatorową G(s) = L(s)/M(s):
0
1
1
1
0
1
1
1
...
...
)
(
)
(
)
(
a
s
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
b
s
M
s
L
s
G
n
n
n
n
m
m
m
m
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
−
−
−
−
den
num
(17)
w której niektóre współczynniki a
i
oraz b
j
mogą być równe zero. W M
ATLABIE
wektory num i den
określają współczynniki licznika i mianownika transmitancji.
num = [b
m
b
m-1
... b
1
b
0
]
den = [a
n
a
n-1
... a
1
a
0
]
polecenie
[r, p, k] = residue( num, den)
wyznacza residua ( r), bieguny (p) oraz część całkowitą (k) rozkładu na ułamki proste ilorazu dwóch
wielomianów L(s) i M(s).
Przykład 12
Rozważona zostanie następująca funkcja operatorowa
6
11
6
6
3
5
2
)
(
)
(
)
(
2
3
2
3
+
+
+
+
+
+
=
=
=
s
s
s
s
s
s
s
M
s
L
s
G
den
num
(12.1)
Dla tej funkcji operatorowej zapis w M
ATLABIE
jest następujący
>>
num = [2 5 3 6]
>>
den = [1 6 11 6]
zastosowanie polecenia
>>
[r, p, k] = residue( num, den)
daje następujące wyniki
r =
-6.0000
-4.0000
3.0000
p =
-3.0000
-2.0000
-1.0000
k =
4
(Zauważ, że residua zwracane są w wektorze kolumnowym r, położenia biegunów w wektorze
kolumnowym p, a część całkowita w wektorze wierszowym k). Ten powyższy zapis w
M
ATLABIE
odpowiada następującemu rozkładowi na ułamki proste funkcji operatorowej
G(s)= L(s)/M(s):
2
1
3
2
4
3
6
6
11
6
6
3
5
2
)
(
)
(
)
(
2
3
2
3
+
+
+
+
−
+
+
−
=
+
+
+
+
+
+
=
=
=
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
M
s
L
s
G
den
num
(12.2)
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
13
Polecenie residue może być również używane do przekształcenia funkcji operatorowej
rozłożonej na ułamki proste na postać ilorazu dwóch wielomianów (licznika i mianownika).
Polecenie to jest następujące:
>>
[num, den] = residue(r, p, k)
gdzie wektory r, p, k mają wartości uzyskane z powyższego rozkładu. Polecenie
>>
printsys(num, den, ’s’)
wypisuje iloraz wielomianów w zależności od zmiennej s.
num/den =
2 s^3 + 5 s^2 + 3 s + 6
-----------------------
s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6
3.
ZASTOSOWANIE TRANSFORMATY LAPLACE'A DO ROZWIĄZYWANIA
LINIOWYCH RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH
Liniowe równania różniczkowe zwyczajne mogą być rozwiązywane przez zastosowanie metody
transformaty operatorowej Laplace'a przy pomocy twierdzeń zawartych w rozdziale 1, rozkładowi na
ułamki proste i tablicy transformat Laplace'a. Procedura ta może zostać podzielona na następujące
etapy:
1. Transformowanie równania różniczkowego w dziedzinę s przez transformatę Laplace'a przy
użyciu tablicy transformat.
2. Przekształcanie transformowanego równania algebraicznego i rozwiązywanie dla zmiennej
wyjściowej.
3. Wykonywanie rozkładu transformowanego równania algebraicznego na ułamki proste.
4. Uzyskiwanie odwrotnej transformaty Laplace'a z tablicy transformat.
Metoda ta zilustrowana zostanie następującym przykładem.
Przykład 13
Rozważ następujące równanie różniczkowe
2
2
)
(
dt
t
y
d
+ 3
dt
t
dy )
(
+ 2y(t) =
)
(
1
5
t
⋅
(13.1)
gdzie 1(t) jest jednostkową funkcją skokową. Warunki początkowe są następujące:
( )
0
y
=
−
1,
( )
2
)
(
0
0
)
1
(
=
=
=
t
dt
t
dy
y
. Aby rozwiązać równanie różniczkowe, najpierw należy transformować
obustronnie równanie (13.1) przy użyciu transformaty Laplace'a
)
(
2
s
Y
s
−
sy(0)
−
y
(1)
(0) + 3sY(s)
−
3y(0) + 2Y(s)= 5
s
1
(13.2)
Podstawiając wartości liczbowe warunków początkowych do równania (13.2) i wyznaczając
Y(s), otrzymuje się
(
)
( )(
)
2
1
5
2
3
5
)
(
2
2
2
+
+
+
−
−
=
+
+
+
−
−
=
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
Y
(13.3)
Równanie (8.3) jest rozkładane na ułamki proste i uzyskuje się
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
14
2
1
2
3
1
5
1
2
5
)
(
+
+
+
−
=
s
s
s
s
Y
(13.4)
Stosując odwrotną transformatę Laplace'a do równania (13.4) otrzymuje się ostateczne
rozwiązanie
t
t
e
e
t
y
2
2
3
5
2
5
)
(
−
−
+
−
=
(13.5)
W uzyskanym rozwiązaniu (13.5), pierwszy składnik reprezentuje rozwiązanie w stanie
ustalonym, natomiast dwa ostatnie w stanie przejściowym. W przeciwieństwie do metody
klasycznej, w której rozwiązanie uzyskuje się w dwóch krokach, oddzielnie dla rozwiązania
ustalonego i przejściowego, metoda transformaty Laplace'a daje całe rozwiązanie w jednej
operacji.
Jeśli interesuje nas tylko rozwiązanie w stanie ustalonym, wówczas może być
zastosowane twierdzenie o wartości końcowej (2.2), wówczas
2
5
2
3
5
lim
)
(
lim
)
(
lim
2
2
0
0
=
+
+
+
−
−
=
=
→
→
∞
→
s
s
s
s
s
sY
t
y
s
s
t
(13.6)
gdzie najpierw sprawdza się czy funkcja sY(s) ma bieguny tylko w lewej półpłaszczyźnie, tak
aby twierdzenie o wartości końcowej dawało poprawne wyniki.
ZAGADNIENIA KONTROLNE
1. Zapisz równanie definiujące jednostronną transformatę Laplace'a.
2. Zapisz równanie definiujące odwrotną transformatę Laplace'a.
3. Zapisz wyrażenie opisujące twierdzenie o wartości końcowej transformaty Laplace'a. Jakie
warunki muszą być spełnione, aby twierdzenie to było prawdziwe ?
4. Podaj transformatę Laplace'a jednostkowej funkcji skokowej 1(t).
5. Jaka jest transformata Laplace'a funkcji jednostkowej liniowo narastającej w czasie
)
(
1 t
t
?
6. Podaj transformatę Laplace'a funkcji czasowej f(t) przesuniętej w prawo (opóźnionej) o T
o
.
7. Jeśli
£
{ }
)
(
1
t
f
= F
1
(s) oraz
£
{
}
)
(
2
t
f
= F
2
(s), wyznacz
£
{
}
)
(
)
(
2
1
t
f
t
f
w zależności od F
1
(s)
oraz
F
2
(s).
8. Czy wiesz jak rozłożyć na ułamki proste funkcję operatorową zawierającą element
wykładniczy
( )(
)
s
e
s
s
s
F
2
2
1
10
)
(
−
+
+
=
9. Czy wiesz jak rozłożyć
na ułamki proste
funkcję której rząd mianownika nie jest większy od
rzędu licznika, dla przykładu
(
)
( )(
)
2
1
1
5
10
)
(
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
F
10. Próbując
znaleźć odwrotną transformatę Laplace'a następującej funkcji, czy umiałbyś
wykonać rozkład na ułamki proste
(
)
3
5
1
)
(
+
=
s
s
F
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
15
ĆWICZENIA
C1.
Wyznacz transformatę Laplace'a F(s) funkcji pokazanej na rysunku 2
A
0
a
t
2a
3a
4a
−
A
f(t)
Rys.2. Funkcja f(t)
Rozwiązanie: funkcja f(t) może zostać zapisana następująco:
≥
<
≤
−
<
≤
−
<
≤
<
=
a
t
a
t
a
A
t
a
A
a
t
a
t
a
A
A
a
t
t
a
A
t
t
f
4
0
4
3
4
3
2
0
0
0
)
(
(c1.1)
Transformata Laplace'a funkcji (c1.1)
F(s) =
£
{ }
)
(t
f
=
∫
−
a
st
dt
e
t
f
4
0
)
(
(c1.2)
Dalszy ciąg obliczeń zależności (c1.2)
F(s) =
∫
∫
∫
−
−
−
−
+
−
+
a
a
a
a
st
st
a
st
dt
e
A
t
a
A
dt
e
t
a
A
A
dt
te
a
A
3
4
3
0
4
2
(c1.3)
Teraz każda całka zostanie rozwiązana oddzielnie
−
+
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
∫
∫
2
0
0
0
1
1
s
e
a
A
e
s
A
dt
e
s
e
s
t
a
A
dt
te
a
A
as
as
a
st
a
st
a
st
(c1.4)
(
)
−
+
+
=
−
−
−
−
−
−
∫
2
3
3
3
2
s
e
e
a
A
e
e
s
A
dt
e
t
a
A
A
as
as
as
as
a
a
st
(c1.5)
−
+
−
=
−
−
−
−
−
∫
2
4
3
3
4
3
4
s
e
e
a
A
e
s
A
dt
e
A
t
a
A
as
as
as
a
a
st
(c1.6)
Po zsumowaniu wyznaczonych całek składowych (c1.4), (c1.5) oraz (c1.6) otrzymuje się
transformatę funkcji z rysunku 2.
F(s) =
−
+
−
−
−
−
2
4
3
2
2
1
s
e
e
e
a
A
as
as
as
(c1.7)
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
16
C2.
Znajdź zera i bieguny następujących
funkcji operatorowych Zaznacz na
płaszczyźnie s skończone bieguny za
pomocą
×
, a skończone zera za pomocą
Ο
a)
(
)
( )(
)
10
1
2
10
)
(
2
+
+
+
=
s
s
s
s
s
G
b)
( )
(
)
(
)
2
3
2
1
10
)
(
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
G
c)
(
)
2
2
)
2
(
10
)
(
2
+
+
+
=
s
s
s
s
s
G
d)
s
e
s
G
−
−
=
1
1
)
(
e)
( )(
)
2
1
10
)
(
2
+
+
=
−
s
s
s
e
s
G
s
C3.
Znajdź transformaty Laplace'a
następujących funkcji. Zastosuj, jeśli to
możliwe twierdzenia o własnościach
transformaty Laplace'a
a)
)
(
1
5
)
(
5
t
te
t
g
t
⋅
=
−
b)
(
)
)
(
1
2
sin
)
(
2
t
e
t
t
t
g
t
⋅
+
=
−
c)
)
(
1
2
sin
2
)
(
2
t
t
e
t
g
t
⋅
=
−
d)
)
(
1
2
cos
2
sin
)
(
t
t
t
t
g
⋅
=
C4.
Znajdź transformaty Laplace'a
następujących funkcji. Najpierw zapisz
kompletne wyrażenia dla g(t), a następnie
dokonaj transformowania. Wykonaj
transformatę Laplace'a na funkcji g(t), aby
otrzymać G(s).
a)
1
g(t)
−
1
0
2
1
4
3
t
b)
1
g(t)
−
1
0
2
1
4
3
t
c)
1
g(t)
0
2
4
t
1
3
C5.
Znajdź transformatę Laplace'a
następującej funkcji:
≥
<
≤
−
<
≤
<
≤
+
=
3
0
3
2
2
2
1
0
1
0
1
)
(
t
t
t
t
t
t
t
g
C6.
Dla poniższych transformowanych
sygnałów, znajdź y(t) dla t
≥
0
a)
)
(s
Y
=
2
+
s
s
b)
)
(s
Y
=
2
3
1
2
2
+
+
+
s
s
s
c)
)
(s
Y
=
6
5
6
3
2
2
+
+
−
−
s
s
e
s
d)
)
(s
Y
=
( )
(
)(
)
2
3
2
1
4
+
+
+
s
s
s
e)
)
(s
Y
=
s
s
s
5
2
10
2
3
+
+
C7.
Znajdź odwrotne transformaty Laplace'a
następujących funkcji. Najpierw dokonaj
rozkładu na ułamki proste funkcji
operatorowych G(s), a następnie skorzystaj
z tablicy transformat.
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
17
a)
)
(s
Y
=
( )(
)
2
1
1
+
+
s
s
s
b)
)
(s
Y
=
( ) (
)
3
1
10
2
+
+
s
s
c)
)
(s
Y
=
(
)
(
)
( )
s
e
s
s
s
s
−
+
+
+
1
4
2
100
2
d)
)
(s
Y
=
( )
(
)
2
1
2
2
+
+
+
s
s
s
s
e)
)
(s
Y
=
( )
3
1
1
+
s
f)
)
(s
Y
=
(
)
( )
(
)
5
5
1
1
2
2
2
+
+
+
+
+
s
s
s
s
s
s
C8. Korzystając z metod transformaty
Laplace’a, rozwiąż następujące równania
różniczkowe dla t
≥
0, zakładając zerowe
warunki początkowe.
a)
dt
dy
+ 7y = 5cos2t
b)
2
2
dt
y
d
+ 6
dt
dy
+ 8y = 5sin3t
c)
2
2
dt
y
d
+ 8
dt
dy
+ 25y =
)
(
1
10
t
⋅
d)
2
2
dt
y
d
+ 2
dt
dy
+ 10y =
t
e
−
C9. Korzystając z metod transformaty
Laplace’a rozwiąż następujące równania
różniczkowe dla t
≥
0 z uwzględnieniem
warunków początkowych
a)
dt
dy
+ 4y = 6
t
e
2
( )
0
y
= 3
b)
dt
dy
+ y = 3
t
2
cos
( )
0
y
= 0
c)
2
2
dt
y
d
+ 7
dt
dy
+ 12y = 10
( )
0
y
= 3
( )
0
)
1
(
y
= 0
d)
3
3
dt
y
d
+ 5
2
2
dt
y
d
+ 6
dt
dy
= 0
( )
0
y
= 3
( )
0
)
1
(
y
=
−
2
( )
0
)
2
(
y
= 7
e)
3
3
dt
y
d
+ 3
2
2
dt
y
d
+ 3
dt
dy
+ y = 0
( )
0
y
= 1
( )
0
)
1
(
y
=
−
2
( )
0
)
2
(
y
= 5
f)
2
2
dt
y
d
+ 4
dt
dy
+ 20y = 4
( )
0
y
=
−
2
( )
−
0
)
1
(
y
= 0
ĆWICZENIA W MATLABIE
M1.
Korzystając z oprogramowania
narzędziowego M
ATLAB
, dokonaj rozkładu
na ułamki proste następujących funkcji
operatorowych
a)
( )
(
)(
)
6
4
1
10
)
(
2
+
+
+
=
s
s
s
s
s
G
b)
(
)
( )(
)
5
1
2
5
)
(
2
+
+
+
=
s
s
s
s
s
G
c)
(
)
(
)
3
5
3
100
)
(
2
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
G
d)
(
)
(
)
2
2
2
1
)
(
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
G
e)
( )
(
)
1
1
5
)
(
2
2
+
+
+
=
−
s
s
s
e
s
G
s
f)
( )
(
)
2
2
5
.
0
1
1
)
(
+
+
=
s
s
s
s
G
M2.
Znajdź odwrotne transformaty Laplace’a
dla funkcji operatorowych z zadania M1
i narysuj je w M
ATLABIE
.
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
18
ZADANIA
Z.1.
Znajdź transformaty Laplace'a
następujących funkcji
a)
1
g(t)
0
1
t
2
3
b)
1
g(t)
0
1
t
2
3
c)
1
g(t)
0
1
t
d)
1
g(t)
0
1
t
2
e)
1
g(t)
0
1
t
2
3
f)
1
g(t)
0
1
t
2
3
g)
1
g(t)
0
2
4
t
1
3
h)
1
g(t)
0
2
4
t
1
3
Z.2.
Korzystając z metod transformaty
Laplace’a rozwiąż następujące równania
różniczkowe dla t
≥
0 z uwzględnieniem
warunków początkowych:
a)
dt
t
dy )
(
+
)
(t
y
= 2
t
cos
)
0
(
y
=
−
3
b)
3
3
)
(
dt
t
y
d
+ 5
2
2
)
(
dt
t
y
d
+ 6
dt
t
dy )
(
= 3
)
(t
δ
)
0
(
y
= 2
)
0
(
)
1
(
y
=
−
3
)
0
(
)
2
(
−
y
= 3
c)
dt
t
dy )
(
+
)
(t
y
= 2
2
t
)
0
(
y
=
−
3
d)
dt
t
dy )
(
+
)
(t
y
=
t
4
sin
)
0
(
y
=
−
3
e)
2
2
)
(
dt
t
y
d
+ 2
dt
t
dy )
(
+ 17
)
(t
y
= 4
)
(
1 t
⋅
)
0
(
y
= 10
)
0
(
)
1
(
y
=
−
2
f)
2
2
)
(
dt
t
y
d
+ 4
dt
t
dy )
(
+ 3
)
(t
y
=
t
e
5
−
)
0
(
y
= 1
)
0
(
)
1
(
y
=
−
2
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
19
Z.3.
Korzystając z metod transformaty
Laplace’a rozwiąż następujące równania
różniczkowe dla t
≥
0 z uwzględnieniem
warunków początkowych:
a)
2
2
dt
y
d
+ 2
dt
dy
+ 2y = sin2t
( )
0
y
= 2
( )
0
)
1
(
y
=
−
3
b)
2
2
dt
y
d
+ 2
dt
dy
+ y = 5
t
e
2
−
+ t
( )
0
y
= 2
( )
0
)
1
(
y
= 1
c)
2
2
dt
y
d
+ 4y =
2
t
( )
0
y
= 1
( )
0
)
1
(
y
= 2
d)
2
2
dt
y
d
+ 3
dt
dy
+ 6y =
t
e
t
3
sin
2
−
( )
0
y
= 0
( )
0
)
1
(
y
= 3
Uwaga: Do rozwiązywania powyższych zadań może być przydatna znajomość wzorów Eulera:
x
cos =
2
jx
jx
e
e
−
+
x
sin
=
j
e
e
jx
jx
2
−
−
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ
C2.
a) bieguny: s = 0, 0,
−
1,
−
10; zero: s =
−
2.
b) bieguny: s =
−
1,
−
2,
−
2; zera: s = 0,
−
1.
c) bieguny: s = 0,
−
1,
−
1+j;
−
1
−
j; zero: s =
−
2.
d) bieguny: s =
π
k
j2
±
(k = 1, 2,...)
e) bieguny: s = 0,
−
1,
−
2; zera:
∞
C3.
a)
( )
2
5
5
)
(
+
=
s
s
G
b)
( )
2
1
4
4
)
(
2
2
+
+
+
=
s
s
s
s
G
c)
(
)
4
2
2
)
(
2
+
+
=
s
s
G
d)
16
2
)
(
2
+
=
s
s
G
C4.
a)
(
)
s
e
s
e
e
s
G
s
s
s
2
2
1
2
1
)
(
−
−
−
−
=
+
−
=
b)
(
)
(
)
(
)
(
)
s
s
s
s
e
s
e
e
s
e
s
G
−
−
−
−
+
−
=
−
−
=
1
1
1
1
)
(
2
2
c)
(
)
(
) (
)
s
s
s
s
e
s
e
e
s
e
s
G
−
−
−
−
+
−
=
−
−
=
1
1
1
1
)
(
2
2
2
2
C5.
2
3
2
3
1
2
1
)
(
s
e
e
e
s
e
e
s
G
s
s
s
s
s
−
−
−
−
−
+
−
−
+
+
−
=
C6.
a) y(t) =
)
(t
δ
−
2
t
e
2
−
b) y(t) =
t
e
−
−
+ 3
t
e
2
−
c) y(t) = 3
t
e
2
−
−
3
t
e
3
−
−
[6
)
2
(
2
−
−
t
e
−
6
( )
2
3
−
−
t
e
]
( )
2
1
−
⋅
t
d) y(t) =
−
4
t
e
2
−
+ 4
t
e
3
−
+8
t
te
3
−
e) y(t) = 2 +
(
)
o
153
2
cos
5
+
−
t
e
t
= 2
−
(
)
t
t
e
t
2
sin
2
cos
2
+
−
C7.
a) y(t) =
t
t
e
e
2
2
1
2
1
−
−
+
−
b) y(t) =
t
t
t
te
e
e
−
−
−
+
−
5
2
5
2
5
3
c) y(t) =
(
)
o
206
2
cos
5
10
20
+
+
−
t
e
t
( )
[
]
)
1
(
1
40
50
1
−
⋅
−
+
−
−
t
e
t
( )
(
)
[
]
)
1
(
1
206
1
2
cos
5
10
−
⋅
+
−
+
t
t
o
Teoria sterowania
Rachunek operatorowy
Ostatnia aktualizacja: 2007-03-13
M. Tomera
20
d) y(t) =
+
+
−
o
6
.
228
2
7
cos
7
7
4
1
2
1
t
e
t
= 1 +
+
−
t
t
e
t
2
7
sin
7
7
3
2
7
cos
2
1
e) y(t) =
t
e
t
−
2
2
1
f) y(t) =
t
t
t
e
e
e
62
.
3
38
.
1
6
.
2
2
4
.
0
−
−
−
−
+
−
C8.
a) y(t) =
t
e
7
53
35
−
−
+
(
)
o
344
2
cos
53
5
+
t
=
t
e
7
53
35
−
−
+
t
t
2
sin
53
10
2
cos
53
35
+
b) y(t) =
t
e
2
26
15
−
−
t
e
4
10
3
−
+
(
)
o
8
.
176
3
cos
13
13
+
⋅
t
=
t
e
2
26
15
−
−
t
e
4
10
3
−
(
)
35
sin
3
cos
18
65
1
+
−
t
c) y(t) =
5
2
+
(
)
o
7
.
126
3
cos
3
2
4
+
−
t
e
t
=
5
2
−
(
)
t
t
e
t
4
sin
8
4
cos
6
15
1
4
+
−
d) y(t) =
t
e
−
9
1
−
(
)
o
180
3
cos
9
1
+
−
t
e
t
=
t
e
−
9
1
−
(
)
t
e
t
3
cos
9
1
−
C9.
a) y(t) =
t
e
2
+ 2
t
e
4
−
b) y(t) =
t
e
−
−
5
3
+
(
)
o
t 297
2
cos
5
5
3
+
=
t
e
−
−
5
3
+
5
3
t
2
cos
+
5
6
t
2
sin
c) y(t) =
6
5
−
2
13
t
e
4
−
+
3
26
t
e
3
−
d) y(t) =
2
5
+
t
e
3
−
−
t
e
2
2
1
−
e) y(t) =
t
e
−
−
t
t
e
−
+
t
e
t
−
2
f) y(t) =
5
1
+
(
)
o
t
t
e
153
4
cos
5
2
11
2
+
−
=
5
1
−
+
−
t
t
e
t
4
sin
10
11
4
cos
5
11
2
Z1.
a)
(
)
s
s
e
s
s
e
s
G
−
−
−
−
+
=
1
1
)
(
2
b)
(
)
s
s
s
e
s
e
se
s
G
−
−
−
−
−
−
=
1
1
)
(
2
c)
2
1
)
(
s
e
s
G
s
−
−
=
e)
(
)
s
s
s
e
s
e
e
s
s
G
2
2
2
1
)
(
−
−
−
−
−
+
=
f)
(
)
s
s
s
e
s
se
e
s
G
2
2
1
1
)
(
−
−
−
−
−
−
=
Z2.
a)
( )
( )
1
1
3
2
3
)
(
2
2
+
+
−
+
−
=
s
s
s
s
s
Y
y(t) =
(
)
o
315
cos
2
+
t
−
4
t
e
−
b)
(
)
6
5
3
7
2
)
(
2
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
Y
y(t) = 1.5
t
e
2
−
+
)
(
1
5
.
0
t
⋅
e)
(
)
17
2
4
18
10
)
(
2
2
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
s
Y
y(t) =
(
)
)
(
1
2353
.
0
24
.
11
4
cos
9558
.
9
t
t
e
t
⋅
+
−
⋅
−
o
LITERATURA
1. Amborski K., Teoria sterowania. Podręcznik programowany. PWN, Warszawa, 1985.
2. Dorf R.C., R.H. Bishop, Modern Control Systems, Addison
−
Wesley Longman, Inc., 1998.
3. Hostetter G.H., C.J. Savant, R.T. Stefani, Design of Feedback Control Systems, Saunders College
Publishing, 1989.
4. Kaczorek T., Teoria sterowania, PWN, Warszawa, 1974.
5. Nise N. S. Control Systems Engineering, 3
rd
edn, John Wiley & Sons, 2000.
6. Próchnicki W., M. Dzida, Zbiór zadań z podstaw automatyki, Gdańsk, 1993.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
5 Laplace id 40231 Nieznany (2)
laplace 6 id 263391 Nieznany
Laplace theory id 263401 Nieznany
Laplace example id 263400 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
interbase id 92028 Nieznany
Mbaku id 289860 Nieznany
Probiotyki antybiotyki id 66316 Nieznany
miedziowanie cz 2 id 113259 Nieznany
LTC1729 id 273494 Nieznany
D11B7AOver0400 id 130434 Nieznany
analiza ryzyka bio id 61320 Nieznany
więcej podobnych podstron