dr in˙z. Magdalena Topczewska

´

Cwiczenia nr 5

Zmienna losowa dwuwymiarowa

Zakres teorii

• Zmienna losowa dwuwymiarowa dyskretna i ci

,

ag la

– funkcja rozk ladu prawdopodobie´

nstwa

– dystrybuanta

– rozk lady brzegowe

– rozk lady warunkowe

– rozk lady zmiennej losowej dwuwymiarowej

– charakterystyki zmiennej losowej dwuwymiarowej

Zadania

Zad 1.
Niech (X, Y ) b

,

edzie dwuwymiarow

,

a zmienn

,

a losow

,

a typu skokowego o warto´

sciach i prawdopodobie´

nstwach

podanych w tabeli. Znale´

z´

c rozk lady brzegowe i sprawdzi´

c, czy zmienne s

,

a niezale˙zne.

Y \X

x

1

x

2

x

3

y

1

0.25

0.23

0.12

y

2

0.2

0.1

0.1

Zad 2.
Niech (X, Y ) b

,

edzie dwuwymiarow

,

a zmienn

,

a losow

,

a typu skokowego o warto´

sciach i prawdopodobie´

nstwach

podanych w tabeli. Znale´

z´

c rozk lady brzegowe i sprawdzi´

c, czy zmienne s

,

a niezale˙zne.

Y \X

0

1

2

3

−1

1
8

0

1
8

0

0

1
4

1
4

0

1
8

1

0

0

1
8

0

Zad 3.
Dobra´

c sta l

,

a c, by funkcja

f (x, y) =



x + cxy

dla 0 6 x 6 2, 0 6 y 6 1

0

w p.p.

by la funkcj

,

a g

,

esto´

sci.

Zad 4.
Znale´

z´

c sta l

,

a a, by funkcja f (x, y) by la funkcj

,

a g

,

esto´

sci zmiennej losowej (X, Y ), a nast

,

epnie znale´

z´

c rozk lady

brzegowe zmiennych X i Y , znaj

,

ac g

,

esto´

s´

c prawdopodobie´

nstwa dwuwymiarowej zmiennej losowej

f (x, y) =



1
a

dla |x| 6 2, |y| 6 2

0

w p.p.

Zad 5.
G

,

esto´

sci

,

a zmiennej losowej (X, Y ) jest

f (x, y) =



e

−x−y

dla x, y > 0

0

w p.p.

Znale´

z´

c g

,

esto´

sci f

X

(x) i f

Y

(y) rozk lad´

ow brzegowych zmiennych losowych X i Y .

Zad 6.
Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma nast

,

epuj

,

acy rozk lad p

11

=

3
8

, p

12

=

3
8

, p

21

=

1
8

i p

22

=

1
8

. Znale´

z´

c

rozk lady brzegowe zmiennych X i Y . Zbada´

c, czy zmienne losowe X i Y s

,

a niezale˙zne.

1

Zad 7.
Znale´

z´

c dystrybuant

,

e zmiennej losowej (X, Y ), kt´

orej g

,

esto´

sci

,

a jest funkcja

f (x, y) =



x − xy

dla 0 6 x 6 2, 0 6 y 6 1

0

w p.p.

Zad 8.
Dana jest dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) o warto´

sciach i prawdopodobie´

nstwach podanych w tabeli

Y \X

−1

0

1

2

−2

1
5

1

10

0

1

10

0

1

15

0

1
5

1

15

2

1

10

1

10

1

15

0

1. Czy zmienne losowe X i Y s

,

a niezale˙zne?

2. Znale´

z´

c rozk lad zmiennej losowej warunkowej X/Y = 2.

3. Znale´

z´

c rozk lad zmiennej losowej warunkowej Y /X = 1.

Zad 9.
Rzucamy 5 razy monet

,

a. Niech X oznacza liczb

,

e or l´

ow otrzymanych w tych rzutach, Y - liczb

,

e serii or l´

ow,

Z za´

s – d lugo´

s´

c najd lu˙zszej serii or l´

ow. Wypisa´

c wszystkie zdarzenia elementarne w opisanym do´

swiadczeniu.

Wyznaczy´

c:

1. rozk lad dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ),

2. rozk lady brzegowe poszczeg´

olnych zmiennych,

3. rozk lad dwuwymiarowej zmiennej (X, Z) oraz obliczy´

c P (X = 3, Z <= 2),

(w ci

,

agu element´

ow dw´

och rodzaj´

ow ka˙zdy maksymalny podci

,

ag element´

ow jednego rodzaju nazywamy seri

,

a).

Zad 10.
W 10-cio elementowej partii pewnego towaru s

,

a 2 sztuki wadliwe. Wylosowano bez zwrotu 2 sztuki. Niech

zmienna losowa X przyjmuje warto´

sci r´

owne liczbie sztuk wadliwych w´

sr´

od 2 wylosowanych sztuk, Y – przyj-

muje warto´

s´

c 1, je´

sli pierwsza wylosowana sztuka jest wadliwa, 0 – je´

sli nie jest wadliwa. Wyznaczy´

c rozk lad

dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ). Zbada´

c, czy zmienne s

,

a niezale˙zne. Znale´

z´

c rozk lad zmiennej losowej

warunkowej X/Y = 1.

2