Jan Królikowski Fizyka IBC

1

r. akad. 2005/ 2006

IV.4.4 Ruch w polach elektrycznym i magnetycznym.

Siła Lorentza. Spektrometry magnetyczne

Jan Królikowski Fizyka IBC

2

r. akad. 2005/ 2006

Pole elektryczne i magnetyczne

Pole elektryczne 
charakteryzujemy wektorem 
natężenia pola 

E=E(r,t).

[E]=N/C=kg 

.

m/s

3.

A=V/m

Siła działająca na cząstkę 
obdarzoną elektrycznym 
ładunkiem Q wynosi:

Razem oba człony wyrażają siłę 
Lorentza:

Pole magnetyczne 
charakteryzujemy wektorem 
indukcji magnetycznej 

B=B(r, t).

[B]=Ns/Cm=kg/s

2.

A; 1Tesla

Siła działająca na cząstkę o 
ładunku elektrycznym Q wynosi:

( )

el

F

QE r, t

=

G

G G

( )

magn

F

Q v B r, t

=

×

G

G G

G

(

)

magn

elektr

F F

F

Q E v B

=

+

=

+ ×

G

G

G

G

G

G

Jan Królikowski Fizyka IBC

3

r. akad. 2005/ 2006

Ruch w jednorodnym polu elektrycznym

Rozwiązując r. ruchu
dostajemy następujące 
rozwiązanie w obszarze 
jednorodnego pola E:

Ruch z tymi warunkami 
początkowymi jest płaski w 
płaszczyźnie XOY

Działa stała siła:

Warunki początkowe: 

x

y

v

0

E

E

F

QE

=

G

G

2

2

d y

m

QE

dt

=

0

2

x v t

QE t

y

m 2

z 0   

=

=

=

0

0

0

x0

0

y0

z0

x

y

z

0

v

v ; v

v

0

=

=

=

=

=

=

L

Jan Królikowski Fizyka IBC

4

r. akad. 2005/ 2006

Ruch w jednorodnym polu elektrycznym cd. Selektory

prędkości

Widać, że ustawiając kolimator 
poziomy na odpowiedniej 
wysokości za obszarem pola 
elektrycznego możemy wybrać 
cząstki o określonym tg θ, a więc o
określonej prędkości.

Można obliczyć kąt θ pod jakim 
wylatuje cząstka z obszaru pola 
elektrycznego:

2

x L

0

dy

QEL

tg

dx

mv

=

θ =

=

x

y

v

0

E

θ

Jeszcze lepszym selektorem prędkości jest konfiguracja
skrzyżowanych pól E i B prostopadłych do wektora prędkości.
Cząstki o prędkości v=E/B poruszają się w takim urządzeniu po linii prostej.

Jan Królikowski Fizyka IBC

5

r. akad. 2005/ 2006

Ruch w jednorodnym polu magnetycznym B

prosta

prosta

Łuk okręgu

B

G

x

y

Równanie ruchu rozpisane na 
składowe:

Warunki początkowe:

2

2

2

2

2

2

dy

d x

m

QB

dt

dt

d y

dx

m

QB

dt

dt

d z

m

0           

dt

=

= −

=

0

0

0

x0

y0

z0

x

y

z

0

v

0; v

0; v

0

=

=

=

≠

≠

≠

W płaszczyźnie prostopadłej do 
pola B ruch w obszarze pola jest 
ruchem jednostajnym po okręgu.
Częstość kołowa tego ruchu 
wynosi:

QB

m

ω =

Jan Królikowski Fizyka IBC

6

r. akad. 2005/ 2006

Ruch w jednorodnym polu magnetycznym B cd.

R. ruchu możemy raz prosto 
scałkować po czasie bo:

daje

Z 1‐szego rozwiązania 
wyznaczamy

Po wstawieniu do drugiego 
rozwiązania:

Podstawiając do 1‐szego 
rozwiązania:

2

2

d dx

y

0

dt dt

dy

d

x

0

dt dt

d z

0               

dt

⎛

⎞

− ω

=

⎜

⎟

⎝

⎠

⎛

⎞

+ ω

=

⎜

⎟

⎝

⎠

=

0x

0y

0z

dx

y v

dt

dy

x v

dt
dz

v           

dt

= ω +

= −ω +

=

0x

v

1 dx

y

dt

=

−

ω

ω

( )

(

)

2

0 y

2

2

0 y

0 y

2

2

2

2

0x

0

x

0x

0 y

0

0

x

y

y

v

x t

C cos

t

1 d x

x v

dt

v

v

d

x

x

0

dt

v

tg

;   C

v

v

/

v

v

⊥

= −ω +

ω

⎛

⎞

⎛

⎞

−

− ω

−

=

⎜

⎟

⎜

⎟

ω

ω

⎝

⎠

⎝

⎠

=

+

ω +

φ =

= −

+

ω =

φ

−

ω

ω

(

)

0x

0

v

v

y

sin

t

⊥

= −

+

ω + φ

ω

ω

Jan Królikowski Fizyka IBC

7

r. akad. 2005/ 2006

Ruch w jednorodnym polu magnetycznym B cd.

Jednorodne pole magnetyczne jak 
widać nie zmienia wartości prędkości 
cząstki.
Zachodzi ważny związek:

Pomiar promienia krzywizny toru w 
jednorodnym polu magnetycznym 
może więc posłużyć do pomiaru pędu
w płaszczyźnie prostopadłej do pola.
Jest to podstawa działania wszelkich 

spektrometrów magnetycznych

cząstek naładowanych.

Wreszcie znajdujemy z(t):

Podnosząc rozwiązania na x i y do 
kwadratu eliminujemy zależność 
od czasu i dostajemy:

Ruch w płaszczyźnie XOY jest 
ruchem jednostajnym po okręgu o 

promieniu cyklotronowym

r.

Ruch w przestrzeni  jest ruchem 
jednostajnym po spirali (helisie).

0z

0

z(t) v t

v t

=

=

2

2

2

2

0 y

0 x

2

2

0

0

v

v

m

x

r

v

y

QB

⊥

⊥

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

−

+

+

=

=

=

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

ω

ω

ω

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

0

Br

mv / Q

⊥

=

v

Jan Królikowski Fizyka IBC

8

r. akad. 2005/ 2006

Ruch w jednorodnych polach magnetycznym B i

elektrycznym E

Wykorzystywany jest w 
zastosowaniach praktycznych w fizyce 
jądrowej i fizyce cząstek 
elementarnych do:
• separacji izotopów
•spektrometrii masowej
•pomiaru pędu cząstek
naładowanych.
•Selekcji prędkości cząstek 
naładowanych

Różne konfiguracje przestrzenne pól 

E

i 

B wykorzystywane są do różnych 

celów. Kilka przykładów podamy 
poniżej, inne są przeliczone w 
podręczniku Wróblewskiego i 
Zakrzewskiego t.I

Przykład: spektrometr masowy 
Bainbridge’a

Jan Królikowski Fizyka IBC

9

r. akad. 2005/ 2006

Widmo mas izotopów ksenonu

Na górnym rysunku: widmo mas 
izotopów ksenonu ze skał 
(pochodzą z rozpadu uranowców)

Na dolnym rysunku: widmo mas 
izotopów ksenonu w powietrzu

Jan Królikowski Fizyka IBC

10

r. akad. 2005/ 2006

Separator WIGISOL przy warszawskim cyklotronie

Cyklotron i wyprowadzenia 
wiązki

Hala eksperymentalna

Jan Królikowski Fizyka IBC

11

r. akad. 2005/ 2006

Spektrometr beta w Troitsku k/ Moskwy

Pomiar pędów elektronów ~18000 eV/c

Pole E

Pole E

Pole B

B

W tym eksperymencie
próbowano zmierzyć
masę neutrina
elektronowego:
m < 2.5 eV/c

2

.

Jan Królikowski Fizyka IBC

12

r. akad. 2005/ 2006

Magnetyczny spektrometr Compact Muon Solenoid

(CMS) przy Large Hadron Collider (LHC) w CERNie

Pomiar pędów cząstek od 1 GeV/c do 7000 GeV/c

Jan Królikowski Fizyka IBC

13

r. akad. 2005/ 2006

Symulacja torów cząstek w polu magnetycznym CMS

CEWKA

KALORYMETR

Centralny
Detektor
śladowy

Jan Królikowski Fizyka IBC

14

r. akad. 2005/ 2006

Konstrukcja największej na świecie cewki

nadprzewodzącej (dł. 13 m, średn. 6 m, pole B=4T)

Nawijanie cewki 
nadprzewodzącej 4T w „Ansaldo” 
w Genui.

Wkładanie wewnętrznej części 
kriostatu. Cewka jest już włożona

CMS