Wstępna wersja listy zadań z geometrii analitycznej
dla studentów kierunku Robotyka

Rok akademicki 2013/14.
Opracował dr inż. Marek Żabka.

Zad 1. Oblicz (([1, 1, −3]+[1, 6, 3])×[1, 6, 3])·(([1, 3, 0]·[1, 1, −3])·[1, 3, 0]). (odp:12).

Zad 2. Oblicz [1, 1, 0] × (([1, 1, 4] · [1, 1, 0]) · ([1, 1, 0] × [0, 3, 1])) (odp:[6, −6, −4]).

Zad 3. Oblicz ([−4, −4, −3] · [2, −2, 1]) · [−2, −1, 4] (Odp:[6, 3, −12]).

Zad 4. Oblicz iloczyn mieszany: ([1, 2, 3] × [4, 100, −2]) · [1, 2, 3] (Odp. 0).

Zad 5. Niech ((~

u × ~

v) × ~

w) = αu + βv + γw. Która z liczb α, β, γ jest równa zero?

Zad 6. Niech (~

u × (~

v × ~

w)) = αu + βv + γw. Która z liczb α, β, γ jest równa zero?

Zad 7. Oblicz przybliżoną wartość iloczynu skalarnego wektorów ~

u oraz ~

v, gdy ich

długości są równe |~

u| = 7, |~

u| = 3, a kąt <) {~

u, ~

v} ≈ 29

0

(Odp. ~

u · ~

v ≈ 18.367.

Zad 8.

Dane są wektory ~

u oraz ~

v. Jaka jest wartość iloczynu skalarnego, gdy

|~

u| = 12, |~

v| = 15, |~

u × ~

v| = 18, a <) {~

u, ~

v} <

π

2

. W odpowiedzi można użyć

mnożenia, dzielenie i pierwiastkowanie oraz liczb całkowitych. (Odp. 18

√

99 . Czy w

zadaniu można zmienić warunek <) {~

u, ~

v} <

π

2

na trochę inny: <) {~

u, ~

v} >

π

2

? Jak

zmieni się wynik?

Zad 9. Dane są wektory ~

u oraz ~

v w R

3

, o których wiadomo, że ~

u × ~

v = [1, 7, −1]

oraz ~

u · ~

v =

√

17 . Oblicz <) {~

u, ~

v}. (Odp.: π/3)

Zad 10. Niech dane będą punkty: A = (1, −4, 2) oraz B = [5, 6, 0]. Na odcinku
AB, znajdź punkt leżący 3 raz bliżej punktu A niż punktu B. (Odp. (2,

−3

2

,

3
2

)).

Zad 11. Oblicz objętość czworościanu ABCD, gdy A = (5, 4, 1), B = (−4, 3, 2),
C = (8, 3, 8), D = (−4, 3, −3). (Odp. 10)

Zad 12. Dla jakie wartości t wektory [1, 2, 3], [4, t, 5], [2, −1, t] są liniowo zależne?
(Odp. dla t = 1 oraz t = 13).

Zad 13. Oblicz <) {~[1, 4, −2],~[2, −2, 1]}. (Odp.: arc cos(

√

21/7))

Zad 14. Zapisz równanie płaszczyzny 3x + 2y − z + 10 = 0 w postaci

1) normalnej (Odp. ±(

3

√

14

14

x +

√

14

7

y −

√

14

14

z +

5

√

14

7

) = 0)

2) odcinkowej (Odp.

x

−10/3

+

y

−5

+

z

10

= 1)

3) parametrycznej (Odp. jedna z możliwych: x = −1 + t, y = −2 − t + s,

z = 3 + t + 2s

Zad 15. Znajdź prostą przechodzącą przez punkty A = (1, 2, 3) oraz B = (−2, 3, 1).
Zapisz równanie otrzymanej prostej w postaciach: parametryczna, kanoniczna, kra-
wędziowa. (Odp. (nie ma jednonacznie określonej dpowiedzi, ale tylko przykłado-
we: parametryczna: x = 1 − 3t, y = 2 + t, z = 3 − 2t, t ∈ R; kanoniczna

x − 1

−3

=

y − 2

1

=

z − 3

−2

; krawędziowa:

(

x + 3y − 4 = 0

2y + z − 7 = 0

)

Zad 16. Dany jest punkt A = (−4, −5, 2). Znajdź punkt symetryczny A

0

do punktu

A względem płaszczyzny 7x + 6y + 3z + 5 = 0.

Zad 17. Znajdź punkt wspólny płaszczyzny 2x − 5y + 2z − 21 = i prostej x = 4 + 3t,
y = −3 + 3t, z = −2 + 5t. (Odp (10, 3, 8))

Zad 18.

Dane są proste: l

1

, l

2

, l

3

, l

4

. Proste 1

1

, l

2

, l

3

określone równaniami: l

1

:

(

3x + 2y − z + 5 = 0
x − y + 2z − 1 = 0

, l

2

:











x = −3t
z = 7t − 3
z = 5t − 1

, l

3

:

x+3

1

=

y−4

−2

=

z−4

3

, natomiast prosta

l

4

, to prosta przechodząca przez punkty P = (3, −5, 7) oraz Q = (−3, 9, 3).

Uwaga: tu specjalnie są różne sposoby określenia prostych.
Dla każdej pary prostej sprawdź czy są identyczne, równoległe, przecinają się, są

skośne.

Zad 19. Napisz równania płaszczyzn, których odległość od płaszczyzny opisanej
równaniem −2x − y + 3z + 6 = 0 jest równa 4 (Odp: (są dwie takie płaszczyzny)
−2x − y + 3z + D = 0, gdzie D = 6 ± 4

√

14.

Zad 20. Znajdź równanie jekiejkolwiek płaszczyzny na której leżą punkty A = (1, −4, 3),
B = (3, −12, 9) oraz C = (−2, 8, −6).

Zad 21.

Napisz równanie ogólne postaci Ax + By + Cz + D = 0 płaszczyzny

prostopadłej do prostej x = 1 + t, y = −3 − 2t, z = −3 − 2t i przechodzącej przez
punkt (4, −2, 4).

Zad 22. Którą nierówność spełnia kąt α między płaszczyznami: 3x−2y +2z +2 = 0
oraz −2x + y − 2z + 4 = 0 .

.nie α ¬ 0 .tak 0 < α ¬ 30 .nie 30 < α ¬ 45 .nie 45 < α ¬ 60 .nie 60 < α ¬ 90

.nie 90 < α

Zad 23. Oblicz kąt między płaszczyznami: −x+2y−3z+1 = 0 oraz 4x−y+5z+8 =
0 (Odp:.tak 30

o

)

Zad 24. Oblicz Kąt między prostą: x = −2 − t, y = −1 + 2t, z = 1 − 3t, oraz
płaszczyzną 4x − y + 5z + 11 = 0 (Odp. 60

o

).

Zad 25. Co przedstawia równanie x

2

+ 2y

2

− 3z

2

= 1. (będzie węcej podobnych

pytań).

Zad 26. Napisz równanie prostej a równoległej do danej prostej l

1

: x = 2t, y =

2 − t, z = t + 1, odległej o 2, oraz przecinającej inną daną prostą l

2

: x = 1 − t, y =

−t, z = 5t − 3. Jeżeli takiej prostej nie ma, napisz prostą w odległości 20 (lub jeszcze
więcej).