Ćwiczenie 1

Statyczne pole przepływowe – prąd stały w ośrodku

przewodzącym.

Część teoretyczna.

Istnienie napięcia elektrycznego (różnicy potencjałów) między dwoma punktami ośrodka
przewodzącego prąd elektryczny wywołuje ruch nośników ładunku w ośrodku, czyli prąd
elektryczny (prąd przewodzenia). Zjawisko to jest związane z przestrzennym polem
elektrycznym. Pole elektryczne powstające w ośrodku przewodzącym nazywane jest polem
przepływowym. Wielkościami charakteryzującymi takie pole są dwa wektory: wektor
natężenia pola elektrycznego E [V/m] i wektor gęstości prądu przewodzenia J [A/m

2

]. W

środowisku liniowym i izotropowym wektory J i E są do siebie proporcjonalne i powiązane
prawem Ohma:

E

J

σ

=

(1)

gdzie: σ – konduktywność elektryczna ośrodka [S/m].
Jeżeli w dowolnym punkcie rozważanego środowiska energia elektryczna powstaje w wyniku
konwersji z innych postaci energii, np. w wyniku zjawisk termoelektrycznych, wzór (1) musi
zostać zmodyfikowany do postaci:

e

e

J

E

E

E

J

+

=

+

=

σ

σ

)

(

(2)

gdzie: E

e

– wektor natężenia pola elektrycznego powstającego w wyniku zjawisk

zewnętrznych, J

e

– wektor gęstości prądu „zewnętrznego”, tj. wywołanego zjawiskami

zewnętrznymi.

Jeżeli prąd elektryczny jest stały w czasie powstające elektryczne, pole przepływowe jest
polem statycznym. Równania opisujące statyczne pole przepływowe można otrzymać
pomijając w równaniach Maxwella pochodne czasowe. Powstałe równania mają następującą
postać:

0

rot

=

E

,

(3a)

0

div

=

J

,

(3b)

a po przekształceniu do zapisu całkowego:

0

d

=

⋅

∫

C

l

E

,

(4a)

0

d

=

⋅

∫

S

S

J

.

(4b)

Równania (3b) i (4b) stanowią uogólnione pierwsze prawo Kirchhoffa, zaś równania (3a) i
(4a) – uogólnione drugie prawo Kirchhoffa. Z powyższych równań można również
wywnioskować, że statyczne pole przepływowe jest polem bezwirowym i bezźródłowym.
Dla pola bezwirowego można wprowadzić dodatkową wielkość skalarną opisującą pole –
potencjał V. Natężenie pola elektrycznego jest związane z potencjałem następującą ogólną
zależnością:

V

grad

−

=

E

.

(5)

Dla pola przepływowego i środowiska jednorodnego spełnione jest również równanie:

0

div

=

E

(6)

czyli:

0 (7)

0

grad

div

2

=

∇

⇒

=

V

V

Po podstawieniu równań (2) i (5) do równania (3b) otrzymujemy podstawowe równanie
opisujące statyczne pole przepływowe w ośrodku przewodzącym w pakiecie COMSOL
FEMLAB:

0

)

grad

(

div

div

=

−

⋅

−

=

e

J

J

V

σ

. (8)

Po zastosowaniu operatora Nabla

∇ równanie (8) przyjmuje postać:

0

)

(

=

−

∇

⋅

⋅

∇

−

e

J

V

σ

, (9)

a uwzględniając obecność objętościowych źródeł prądu Q

j

[A/m

3

]:

j

Q

V

=

−

∇

⋅

⋅

∇

−

)

(

e

J

σ

. (10)

Znając rozkład potencjału w analizowanym ośrodku, można wyznaczyć rozkład natężenia
pola elektrycznego i gęstości prądu. Modelowanie zjawisk zachodzących w ośrodku
przewodzącym podczas przepływu prądu stałego można zatem sprowadzić do wyznaczenia w
każdym punkcie ośrodka wartości potencjału elektrycznego V. Rozwiązanie tak postawionego
problemu wymaga podania odpowiednich warunków brzegowych. Dla pola przepływowego
na granicy ośrodków musi zachodzić ciągłość składowej normalnej wektora gęstości prądu J:

2

1

J

n

J

n

⋅

=

⋅

(11)

gdzie n – wersor normalny do powierzchni granicznej,
oraz ciągłość składowej stycznej wektora natężenia pola elektrycznego E:

2

1

E

s

E

s

⋅

=

⋅

(12)

gdzie s – wersor styczny do powierzchni granicznej.
W pakiecie COMSOL FEMLAB dla modelu „Conductive Media DC” można określić
następujące warunki brzegowe:

• current flow – wektor gęstości prądu J

0

(należy podać składowe x i y):

;

0

J

n

J

n

⋅

=

⋅

• inward current flow - składowa normalna do granicy J

n

wektora gęstości prądu:

;

n

J

=

⋅

−

J

n

• electric insulation - izolacja elektryczna – granica między ośrodkiem przewodzącym i

idealnym dielektrykiem (prąd nie płynie przez granicę):

;

0

=

⋅ J

n

• electric potential - potencjał elektryczny na granicy:

;

0

V

V

=

• ground - zerowy potencjał (potencjał ziemi):

;

0

=

V

• distibuted resistance – cienka warstwa rezystywna o grubości d na granicy ośrodków

(V

ref

– potencjał odniesienia):

)

(

ref

V

V

d

−

=

⋅

σ

J

n

;

Równania pola przepływowego w układzie planarnym (2D)

Analiza pola przepływowego w układzie 2D odbywa się przy założeniu, że potencjał
elektryczny V zależy tylko od składowych x i y oraz jest stały w kierunku z. Z powyższych
założeń wynika, że wektor natężenia pola elektrycznego E jest styczny do płaszczyzny xy, a
przyjęta symetria pozwala na użycie tych samych równań, co w układzie trójwymiarowym.

Przebieg ćwiczenia.

Dla geometrii płaskiej (2D), stałych materiałowych i warunków brzegowych podanych przez
prowadzącego zajęcia wykonać następujące polecenia:

1. Wyznaczyć rozkład potencjału elektrycznego w postaci wykresu powierzchniowego

(surface plot), wyznaczyć linie ekwipotencjalne (contour plot).

2. Wyznaczyć rozkład składowej normalnej wektora gęstości prądu (surface plot),

wyznaczyć rozkład wektora gęstości prądu (arrow plot) oraz rozkład linii prądowych
(streamline plot).

3. Porównać analogiczne wykresy dla gęstości prądu i natężenia pola elektrycznego.
4. Wyznaczyć wykres przedstawiający zmianę potencjału w ośrodku wzdłuż podanej

przez prowadzącego linii.

5. Wyznaczyć rozkład gęstości objętościowej mocy (surface plot).
6. Ocenić wpływ gęstości siatki na dokładność i szybkość obliczeń.
7. Wyciągnąć wnioski z przeprowadzonych badań symulacyjnych.

Dodatek

Operatory różniczkowe w układzie współrzędnych prostokątnych.

• Dywergencja wektora A

A

A

⋅

∇

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

z

A

y

A

x

A

z

y

x

div

• Gradient skalara b

b

g

∇

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

z

b

y

b

x

b

b

rad

z

y

x

1

1

1

• Rotacja wektora A

A

A

×

∇

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

=

y

A

x

A

x

A

z

A

z

A

y

A

x

y

z

z

x

y

y

z

x

1

1

1

rot