ALGEBRA LINIOWA

WYKŁAD (1 SEMESTR)

Wiadomości wstępne

N = {1, 2, 3 . . . } - zbiór liczb naturalnych.

C = {· · · − 2, − 1, 0, 1, 2 . . . } - zbiór liczb całkowitych.

Q =

 p

q

: p ∈ Z, q ∈ N



-zbiór liczb wymiernych.

R - zbiór liczb rzeczywistych.

IQ = R\Q - zbiór liczb niewymiernych.

Przez Z

∗

, Q

∗

i R

∗

będziemy oznaczać odpowiednio zbiór wszystkich liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywi-

stych bez zera. Q

+

i R

+

będzie oznaczać odpowiednio zbiór wszystkich liczb dodatnich wymiernych i dodatnich

rzeczywistych.

n

X

i=1

a

i

= a

1

+ a

2

+ · · · + a

n

- suma liczb a

i

od 1 do n.

n

Y

i=1

a

i

= a

1

· a

2

· · · · · a

n

- iloczyn liczb a

i

od 1 do n.

n

X

i=1

m

X

j=1

a

ij

=

n

X

i=1





m

X

j=1

a

ij





=

m

X

j=1

n

X

i=1

a

ij

!

.

Przykład 1.

4

X

i=1

i − 1

i + 1

= 1

13

30

,

n

X

i=1

(1 − 2i) = −n

2

,

n

X

i=1

5

i

2

=

5

n+1

− 5

8

,

5

Y

i=3

1

i

=

1

60

,

n

Y

i=1

i

2

= (n!)

2

,

2

X

i=1

3

X

j=1

(i − j) = −3.

Uwaga: n! = 1 · 2 · 3 · · · · · n.

Niech X i Y będą zbiorami. Iloczynem kartezjańskim tych zbiorów nazywamy zbiór

X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }.

Przykład 2. Niech X = {1, 2, 3} i Y = {0, 1}. Wówczas X × Y = {(1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)}.

Dwuargumentowym działaniem na zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie X × X → X oznaczane np

symbolem: ◦, ?, +, ·, ⊕,  itp.

Przykład 3. Zwykłe dodawanie jest działaniem w zbiorze liczb naturalnych N i całkowitych Z. Odejmowanie

nie jest działaniem w zbiorze N ale jest działaniem w zbiorze Z.

Definicja 1. Niech n ∈ N i Z

n

= {0,1, . . . ,n − 1}. Działanie +

n

zwane dodawaniem modulo n określamy w

zbiorze Z

n

wzorem a +

n

b = (a + b)

n

, gdzie (m)

n

oznacza resztę z dzielenia liczby całkowitej m przez n. Podobnie

wzorem a ·

n

b = (ab)

n

określamy w zbiorze Z

n

działanie ·

n

zwane mnożeniem modulo n.

Przykład 4. Tabelki działań +

4

i ·

4

w zbiorze Z

4

.

Grupy i ciała - pojęcia podstawowe

Definicja 2. Mówimy, że działanie ? w zbiorze A jest przemienne, jeśli dla dowolnych a,b ∈ A zachodzi równość

a ? b = b ? a.

Przykład 5. Działanie a ? b =

a+b

2

w zbiorze R jest przemienne. Działanie a ◦ b =

a

a+b

w zbiorze R

+

nie jest

przemienne.

1

Definicja 3. Mówimy, że działanie ? w zbiorze A jest łączne, jeśli dla dowolnych a,b,c ∈ A zachodzi równość

(a ? b) ? c = a ? (b ? c).

Przykład 6. Działanie a ? b =

a+b

2

w zbiorze R nie jest łączne. Działanie a ◦ b =

ab

2

w zbiorze R jest łączne.

Przykład 7. W zbiorze liczb rzeczywistych R działanie określone wzorem:

1. a ? b = a + b jest przemienne i łączne.

2. a ? b = a − b nie jest przemienne i nie jest łączne.

3. a ? b = 2a + 2b jest przemienne ale nie jest łączne.

4. a ? b = b nie jest przemienne ale jest łączne.

Definicja 4. Mówimy, że element e ∈ A jest elementem neutralnym działania ? określonego w A, jeśli dla

dowolnych a ∈ A zachodzi równość a ? e = e ? a = a.

Przykład 8. W zbiorze R elementem neutralnym względem dodawania jest 0, a względem mnożenia 1. W zbiorze

R elementem neutralnym względem działania a ? b = a + b + 2 jest −2. Działanie a ? b =

a+b

2

w zborze R nie ma

elementu neutralnego.

Twierdzenie 1. Dla dowolnego działania ? w zbiorze A istnieje co najwyżej jeden element neutralny tego

działania.

Definicja 5. Niech działanie ? w zbiorze A ma element neutralny e i niech a ∈ A. Każdy element b ∈ A

spełniajacy równość a ? b = b ? a = e nazywamy elementem odwrotnym do a.

Przykład 9. W zbiorze R elementem odwrotnym do a względem dodawania jest −a, a w zbiorze R

∗

elementem

odwrotnym do a względem mnożenia jest

1
a

. W zbiorze R elementem odwrotnym do a względem działania a ? b =

a + b + 2 jest −a − 4.

Twierdzenie 2. Niech działanie ? w zborze A będzie łączne i niech a ∈ A. Wówczas istnieje co najwyżej jeden

element odwrotny do a.

Definicja 6. Niech ? będzie działaniem w niepustym zbiorze G. Parę (G, ?) nazywamy grupą, jeśli działanie ?

ma następujące własności:

1. Dla każdego a,b,c ∈ G mamy (a ? b) ? c = a ? (b ? c),

(łączność)

2. Istnieje e ∈ G t.ż. dla każdego a ∈ G mamy a ? e = e ? a = a,

(istnienie elementu neutralnego)

3. Dla każdego a ∈ G istnieje b ∈ G t.ż. a ? b = b ? a = e.

(istnienie elementu odwrotnego)

Jeżeli ponadto dla każdego a,b ∈ G mamy a ? b = b ? a (przemienność), to G nazywamy grupą abelową (prze-

mienną).

Często grupę (G, ?) oznacza się poprostu przez samo G.

Przykład 10. (R, +), (R

∗

, ·) i (Z

n

, +

n

) są grupami abelowymi. Zbiór R wraz z działaniem ? określonym wzorem

a ? b =

a+b

2

nie jest grupą. (N, ·) nie jest grupą.

Twierdzenie 3. W grupie (G, ?) dla dowolnych elementów a,b ∈ G mamy (a ? b)

−1

= b

−1

? a

−1

.

2

Uwaga: a

−1

oznacza element odwrotny do a.

Definicja 7. Niech (G, ?) będzie grupą. Jeśli zbiór G jest skończony, to liczbę jego elementów nazywamy rzędem

grupy G i oznaczamy rz G. Jeśli natomiast G jest nieskończony, to mówimy, że grupa G ma rząd nieskończony

i piszemy rz G = ∞.

Przykład 11. rz (Z

n

, +

n

) = n, rz (Z, +) = ∞

Definicja 8. Niepusty podzbiór H grupy G, będący grupą względem działania w G nazywamy podgrupą grupy G.

Przykład 12. (Z, +) i (Q, +) są podgrupami grupy (R, +). (N, +) i (IQ, +) nie są podgrupą grupy (R, +).

Definicja 9. Permutacją n-elementową, gdzie n ∈ N, nazywamy każde różnowartościowe odwzorowanie σ zbioru

{1,2, . . . ,n} na siebie. Permutacje taką zapisujemy w postaci





1

2

. . .

i

. . .

n

a

1

a

2

. . .

a

i

. . .

a

n





,

gdzie a

i

oznacza wartość permutacji σ dla argumentu i. Zbiór wszystkich permutacji n-elementowych oznaczamy

przez S

n

.

Twierdzenie 4. (S

n

, ◦), gdzie ◦ oznacza złożenie permutacji jest grupą.

Umowa: złożenie permutacji będziemy nazywali mnożeniem permutacji.

Przykład 13.





1

2

3

4

4

2

1

3









1

2

3

4

1

3

2

4





=





1

2

3

4

4

1

2

3









1

2

3

4

1

3

2

4









1

2

3

4

4

2

1

3





=





1

2

3

4

4

3

1

2





Uwaga 1. (S

4

, ◦) nie jest grupą abelową.

Definicja 10. Niech σ ∈ S

n

. Mówimy, że para uporządkowana (a

k

,a

l

) tworzy inwersję w permutacj σ, jeśli

k < l oraz a

k

> a

l

. Liczbę wszystkich inwersji w permutacji σ oznaczamy przez I(σ). Natomiast liczbę (−1)

I(σ)

nazywamy znakiem permutacji σ i oznaczamy ją symbolem sgn σ. Jeśli sgn σ = 1 to mówimy, że permutacja σ

jest parzysta, a jeśli sgn σ = −1 to mówimy, że permutacja σ jest nieparzysta.

Przykład 14. Niech

σ =





1

2

3

4

5

6

3

1

5

2

6

4





;

τ =





1

2

3

4

5

6

3

5

4

1

6

2





.

Wówczas permutacja σ jest nieparzysta, a permutacja τ jest parzysta.

Definicja 11. Niech w zbiorze A określone będą działania ? oraz ◦. Mówimy, że działanie ? jest rozdzielne

względem działania ◦, jeśli dla dowolnych a,b,c ∈ A zachodzą równości a ? (b ◦ c) = (a ? b) ◦ (a ? c) oraz (a ◦ b) ? c =

(a ? b) ◦ (b ? c).

Przykład 15. W zbiorze R mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, ale dodawanie nie jest rozdzielne

względem mnożenia.

3

Definicja 12. Ciałem nazywamy zbiór K wraz z dwoma dwuargumentowymi działaniami + oraz · takimi, że:

1. (K, +) jest grupą abelową (element neutralny oznaczamy tu przez 0, zaś element przeciwny do elementu x

oznaczamy przez −x),

2. (K\{0}, ·) jest grupą abelową (element neutralny oznaczamy tu przez 1, zaś element odwrotny do elementu

x 6= 0 oznaczamy przez x

−1

),

3. · jest rozdzielne względem +.

Uwaga 2. Z definicji ciała wynika, że działania + i · w ciele muszą spełniać następujące warunki:

1. Dla każdego a, b, c ∈ K (a + b) + c = a + (b + c).

2. Istnieje 0 ∈ K t.ż. dla każdego a ∈ K a + 0 = a.

3. Dla każdego a ∈ K istnieje b ∈ K t.ż. a + b = 0.

4. Dla każdego a, b ∈ K a + b = b + a.

5. Dla każdego a, b, c ∈ K (a · b) · c = a · (b · c).

6. Istnieje 1 ∈ K t.ż. dla każdego a ∈ K a · 1 = a.

7. Dla każdego a ∈ K\{0} istnieje b ∈ K t.ż. a · b = 1.

8. Dla każdego a, b ∈ K a · b = b · a.

9. Dla każdego a, b, c ∈ K a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

Przykład 16. (R, +, ·), (Q, +, ·) i (Z

3

, +, ·) są ciałami. (Z, +, ·) i (Z

6

, +, ·) nie są ciałami.

Liczby zespolone

Wiadomo, że równanie kwadratowe ax

2

+ bx + c = 0, a,b,c ∈ R nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdy b

2

− 4ac < 0.

Można powiedzieć, że zbiór liczb rzeczywistych jest ńiekompletny”bo niezawiera rozwiązań takiego równania.
Był to jeden z powodów, dla których w XV I wieku zbiór liczb rzeczywistych został rozszerzony poprzez dodanie
jednej liczby i majątej tą własność, że i

2

= −1. Tak więc i jest rozwiązaniem równania x

2

+ 1 = 0.

Wyrażenia w postaci a + bi, gdzie a,b ∈ R, nazywano liczbami zespolonymi i wykonywano działania na tych
liczbach analogicznie jak na liczbach rzeczywistych z uwzględnieniem własności i

2

= −1. I tak

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (bc + ad)i.

Przykład 17. (2+3i)+(4−2i) = 6+i,

(2+3i)−(4−2i) = −2+5i,

(2+3i)(4−2i) = 14+8i,

2+3i
4−2i

=

1

10

+

4
5

i.

Logiczne uzasadnienie istnienia tych liczb zespolonych dokonane zostało dopiero na początku XIX wieku

przez Gaussa.
W zbiorze R × R = {z = (a,b) : a,b ∈ R} wprowadzamy działania

(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b)  (c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Twierdzenie 5 (własności działań w zbiorze liczb zespolonych). Niech z

1

, z

2

i z

3

będą dowolnymi liczbami

zespolonymi. Wtedy

1. (z

1

⊕ z

2

) ⊕ z

3

= z

1

⊕ (z

2

⊕ z

3

).

2. Dla każdej liczby zespolonej z liczba 0 = (0, 0) spełna równaność z ⊕ 0 = z.

3. Dla każdej liczby zespolonej z = (a, b) liczba −z = (−a, −b) spełna równość z ⊕ (−z) = 0.

4

4. z

1

⊕ z

2

= z

2

⊕ z

1

.

5. (z

1

 z

2

)  z

3

= z

1

 (z

2

 z

3

).

6. Dla każdej liczby zespolonej z liczba 1 = (1, 0) spełna równaność z  1 = z.

7. Dla każdej liczby zespolonej z = (a, b) 6= 0 liczba

1

z

=



a

a

2

+ b

2

, −

b

a

2

+ b

2



spełnia równość z 

1
z

= 1.

8. z

1

 z

2

= z

2

 z

1

.

9. z

1

 (z

2

⊕ z

3

) = (z

1

 z

2

) ⊕ (z

1

· z

3

).

Twierdzenie 6. (R × R, ⊕ ,) jest ciałem w którym równanie x

2

= −1 (x

2

= x  x) ma rozwiązanie. Elementy

tego ciała nazywamy liczbami zespolonymi a samo ciało ciałem liczb zespolonych.

Definicja 13. Różnicą i ilorazem liczb zespolonych z = (a, b) i w = (c, d) nazywamy, odpowiednio, liczby z − w

i

z

w

, gdzie

z − w = (a − c, b − d),

z

w

=

 ac + bd

c

2

+ b

2

,

bc − ad

c

2

+ d

2



, gdy w 6= 0.

Stwierdzenie 1. Każdą liczbę zespoloną z = (a, b) można zapisać w postaci

(a, b) = (a, 0) ⊕ ((b, 0)  (0, 1)).

Twierdzenie 7. Każdą liczbę zespoloną z = (a, b) można przedstawić w postaci z = a + bi.

Jeśli z = a + ib jest liczbą zespoloną, to liczby rzeczywiste a i b nazywamy, odpowiednio, częścią rzeczywistą

i częścią urojoną liczby z i piszemy Re(z) = a oraz Im(z) = b np. Re(2 − i) = 2 i Im(2 − i) = −1. Dwie liczby
zespolone z

1

= a

1

+ ib

1

i z

2

= a

2

+ ib

2

są sobie równe z

1

= z

2

wtedy i tylko wtedy, gdy a

1

= a

2

i b

1

= b

2

.

Uwaga 3. C = {a + bi: a,b ∈ R} - zbiór liczb zespolonych.

Przykład 18. Wyznaczyć liczby rzeczywiste x i y takie, że (1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 1 − 3i.

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej. Liczbę zespoloną z = a + bi przedstawiamy na płaszczyźnie

w postaci punktu o współrzędnych (a, b) lub w postaci wektora o początku w punkcie (0, 0) i końcu w punkcie
(a, b). W tej interpretacji zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy płaszczyzną zespoloną lub płaszczyzną
Gaussa. Oś OX nazywamy osią rzeczywistą a oś OY osią urojoną.

Uwaga 4. Interpretacja geometryczna dodawania i odejmowania dwóch liczb zespolonych.

Definicja 14. Sprzężeniem liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbę z = a − bi.

Np. jeśli z = 3 − 2i to z = 3 + 2i.

Twierdzenie 8. Jeśli z i w są liczbami zespolonymi, to

a) z ± w = z ± w;

b) zw = zw,

z

w

=

z

w

, gdy w 6= 0;

c) (z

n

) = (z)

n

;

d) z jest liczbą rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy z = z.

5

Definicja 15. Modułem liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a,b ∈ R, nazywamy liczbę rzeczywistą |z| zdefiniowaną

wzorem |z| =

√

a

2

+ b

2

.

Np. Jeśli z = 3 − 4i to |z| = 5.

Uwaga 5. Geometrycznie moduł liczby zespolonej z jest odległością punktu z od początku układu współrzędnych.

Moduł różnicy liczb zespolonych z

1

i z

2

jest długością odcinaka łączącego punkty z

1

i z

2

.

Twierdzenie 9. Jeśli z, w ∈ C, to

a) |z| =

√

zz,

|z| = |z| = | − z|;

b) |zw| = |z||w|,




z

w




=

|z|

|w|

, gdy w 6= 0;

c) |z|

> |Re((z))| > Re(z),

|z| > |Im(z))| > Im(z);

d) |z + w|

6 |z| + |w|, (nierówność trójkąta)

e) ||z| − |w||

6 |z + w|.

Uwaga 6. Interpretacja geometryczna nierówności trójkąta.

Wniosek 1. Dla każdej liczby n ∈ N i z,z

1

,z

2

. . . z

n

∈ C jest:

a) |z

n

| = |z|

n

i |z

−n

| = |z|

−n

(z 6= 0),

b) |z

1

+ z

2

+ · · · + z

n

| 6 |z

1

| + |z

2

| + · · · + |z

n

|.

Przykład 19.






(1 − i)

4

(6 + 8i)

(3 + 3i)

2






= 2

2

9

.

Przykład 20. Na płaszczyżnie zespolonej zaznaczyć zbiór tych liczb zespolonych z które spełniają warunki:

|z − 1 − 2i| = 4, |z − i| 6 1 i |z + 3 + i| > 2.

Przykład 21. Rozwiązać następujące równanie, gdzie z jest liczbą zespoloną:

zz + 2z = 19 + 4i.

Dla 0 6= z = a + bi mamy

z = |z|

 a

|z|

+

b

|z|



=

p

a

2

+ b

2



a

√

a

2

+ b

2

+

b

√

a

2

+ b

2



przy czym



a

√

a

2

+ b

2



2

+



b

√

a

2

+ b

2



2

= 1.

Istnieje więc dokładnie jedno θ ∈ [0, 2π) takie, że

cos θ =

a

√

a

2

+ b

2

,

sin θ =

b

√

a

2

+ b

2

.

Zatem z = |z|(cos θ + i sin θ) i gdy θ ∈ [0, 2π) to przedstawienie to jest jednoznaczne. θ nazywamy argumentem
liczby zespolonej z i oznaczać będziemy arg(z). Geometrycznie argumentem liczby z jest miara kąta skierowanego,
jaki wektor Oz tworzy z dodatnim kierunkiem osi Ox.

Przykład 22.

√

2

2

+

√

2

2

i = cos

π

4

+ i sin

π

4

,

√

3 + i = 2



cos

π

6

+ i sin

π

6



,

− 3 + 3

√

3i = 6



cos

5π

6

+ i sin

5π

6



,

1 = cos 0 + i sin 0,

i = cos

π

2

+ i

π

2

.

6

Lemat 1. Niech z

1

= r

1

(cos θ

1

+ i sin θ

1

) i z

2

= r

2

(cos θ

2

+ i sin θ

2

). Wówczas

z

1

z

2

= r

1

r

2

(sin(θ

1

+ θ

2

) + i sin(θ

1

+ θ

2

)),

z

1

z

2

=

r

1

r

2

(cos(θ

1

− θ

2

) + i sin(θ

1

− θ

2

)) .

Wniosek 2. Zachodzi wzór

[r(cos θ + i sin θ)]

n

= r

n

(cos(nθ) + i sin(nθ))

zwany wzorem de Moivre’a.

Przykład 23.

(sin θ + i cos θ)

n

=

h

cos



π

2

− θ



+ i sin



π

2

− θ

i

n

= cos



nπ

2

− nθ



+ i sin



nπ

2

− nθ



,

(1 + i)

16

=

h

√

2



cos

π

4

+ i sin

π

4

i

16

= 256,

(1 + cos α + i sin α)

n

= 2

n



cos

α

2



n



cos

nα

2

+ i sin

nα

2



, gdzie

α ∈ [−π, π].

Uwaga 7 (Wzór Newtona).

(a + b)

n

=

n

X

k=0

n

k



a

n−k

b

k

,

gdzie

n

k



=

n!

k!(n − k)!

.

Przykład 24. Korzystając ze wzoru de Moivre’a i Newtona zapisać sin 3x i cos 3x za pomocą potęg sin x i cos x.

Przykład 25. Wyznaczyć, zbiór liczb zespolonych z, spełniających nierówność π < arg(z − i) < 2π.

Definicja 16. Liczbę w nazywamy pierwiastkiem n−tego stopnia z liczby zespolonej z (n ∈ N), gdy w

n

= z.

Twierdzenie 10. Każda liczba zespolona z = |z|(cos θ + i sin θ) różna od zera ma dokładnie n różnych pier-

wiastków n-tego stopnia i wszystkie one określone są wzorem

w

k

=

n

p|z|



cos

θ + 2kπ

n

+ i sin

θ + 2kπ

n



,

gdzie k − 0, 1, . . . , n − 1, a

n

p|z| jest pierwiastkiem arytmetycznym.

Uwaga 8 (interpretacja geometryczna pierwiastków). Pierwiastki w

0

, w

1

, . . . , n − 1 stopnia n

> 3 z liczby

zespolonej z są wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu

n

p|z| i środku w początku układu

współrzędnych.

Przykład 26. Pierwiastkami 3 stopnia z 1 +

√

3i są: w

0

=

3

√

2 cos

π

9

+ i sin

π

9

, w

1

=

3

√

2 cos

7π

9

+ i sin

7π

9

i

w

2

=

3

√

2 cos

13π

9

+ i sin

13π

9

.

Wniosek 3. Pierwiastkami n-tego stopnia z 1 są:



k

= cos

2kπ

n

+ i sin

2kπ

n

,

gdzie

k = 0,1, . . . ,n − 1.

Wniosek 4. Jeśli w jest jakimkolwiek pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z 6= 0 i  = cos

2π

n

+ i sin

2π

n

, to

liczby: w, w, w

2

,. . . ,w

n−1

są wszystkimi pierwiastkami n-tego stopnia z liczby z.

Przykład 27. Pierwiastkami 3-go stopnia z liczby (1 + i)

6

są: w = 2i, w = −

√

3 − i oraz w

2

=

√

3 − i.

Przykład 28. Rozwiązaniami równania (2x + 1)

4

= (x − 2)

4

są liczby:

x =

1 + 2

k



k

− 2

,

gdzie 

k

jest pierwiastkiem stopnia 4-tego z jedności. Zatem rozwiązaniami są: −3, −i,

1
3

oraz i.

7

Pierwiastkami stopnia drugiego z liczby z = |z|(cos θ + i sin θ) są:

w

0

=

p|z|



cos

θ

2

+ i sin

θ

2



oraz w

1

=

p|z|



cos

 θ

2

+ π



+ i sin

 θ

2

+ π



= −w

0

.

Uwaga 9. Niech z = a + ib i w = x + iy, gdzie a, b, x, y ∈ R. Na to by liczba zespolona w była pierwiastkiem

kwadratowym liczby z potrzeba i wystarczy, aby

(x + iy)

2

= a + ib,

x

2

− y

2

+ 2xyi = a + ib,

x

2

− y

2

= a

oraz

2xy = b.

Przykład 29. Pierwiastkami kwadratowymi z liczby 1 − 2

√

2i są: −

√

2 + i oraz

√

2 − i.

Twierdzenie 11. Pierwiastkami zespolonymi równania az

2

+ bz + c = 0, gdzie a, b, c ∈ Z i a 6= 0są

z

1

=

−b −

√

∆

2a

z

2

=

−b +

√

∆

2a

, gdzie

∆ = b

2

− 4ac.

Ponadto

az

2

+ bz + c = a(z − z

1

)(z − z

2

).

Przykład 30. Pierwiastkami równania z

2

+ iz + 2 = 0 są z

1

= −2i i z

2

= i. Zatem z

2

+ iz + 2 = (z + 2i)(z − i).

Twierdzenie 12 (Zasadnicze twierdzenie algebry). Jeśli a

i

∈ C dla i = 1, 2, . . . , n, a

n

6= 0, to wielomian

w(z) = a

n

z

n

+ a

n−1

z

n−1

+ · · · + a

1

z + a

0

ma pierwiastek z

0

∈ C.

Zasadnicze twierdzenie algebry zostało sformułowane w XVIII wieku przez Maclaurina i Eulera. Twierdze-

nie to próbowali udowodnić najwięksi matematycy tego okresu: d’Alembert, Euler, Lagrange. Kilka dowodów
twierdzenia podał Gauss w XIX wieku. W znanych współcześnie dowodach wykorzystuje się metody analizy
matematycznej lub zaawansowane metody algebry.

Wniosek 5. Jeśli a

i

∈ C dla i = 1, 2, . . . , n, a

n

6= 0, to wielomian

w(z) = a

n

z

n

+ a

n−1

z

n−1

+ · · · + a

1

z + a

0

można rozłożyć na czynniki

w(z) = a

n

(z − z

1

)(z − z

2

) . . . (z − z

n

),

gdzie z

i

∈ C, niekonieczne różne, są pierwiastkami równania w(z) = 0.

Przykład 31. Pierwiastkami równania z

4

− z

3

− iz + i = 0 są liczby: 1, −i,

√

3+i

2

oraz

−

√

3+i

2

. Ponadto

z

4

− z

3

− iz + i = (z − 1)(z + i)

z −

√

3 + i

2

!

z −

−

√

3 + i

2

!

.

Pierwiastkami równania z

4

− 4z

3

+ 5z

2

− 4z + 4 = 0 są liczby: i, −i, oraz 2. Ponadto

z

4

− 4z

3

+ 5z

2

− 4z + 4 = (z − i)(z + i)(z − 2)

2

.

Definicja 17. Dla θ ∈ R liczbę zespoloną cos θ + i sin θ oznaczamy krótko przez e

iθ

;

e

iθ

= cos θ + i sin θ.

8

Twierdzenie 13 (Wzory Eulera). Niech θ ∈ R. Wówczas zachodzą wzory:

cos θ =

e

iθ

+ e

−iθ

2

;

sin θ =

e

iθ

− e

−iθ

2i

.

Stwierdzenie 2. Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci z = |z|e

iθ

, gdzie |z| jest modułem liczby z,

a θ jej argumentem głównym.

Przykład 32. −1 = e

iπ

, 1 + i =

√

2e

i

π

4

.

Twierdzenie 14. Niech z = re

iθ

, z

1

= r

1

e

iθ

1

, z

2

= r

2

e

iθ

2

i k ∈ Z. Wówczas

z

1

z

2

= r

1

r

2

e

i(θ

1

+θ

2

)

,

z

1

z

2

=

r

1

r

2

e

i(θ

1

−θ

2

)

(z

2

6= 0),

z

k

= r

k

e

ikθ

,

− z = re

i(θ+π)

,

z = re

−iθ

.

Przykład 33. Korzystając ze wzorów Eulera pokazać, że

cos x + cos y = 2 cos

x − y

2

cos

x + y

2

.

Liczb zespolonych używa się w elektrotechnice do opisu obwodów elektrycznych prądu zmiennego. Jednostkę

urojoną oznacza się wtedy symbolem j w celu odróżnienia jej od natężenia prądu i płynącego w obwodzie.
Zespolonym odpowiednikiem prądu i = a cos ωt + b sin ωt, gdzie a, b ∈ R, jest liczba zespolona a + jb.

Macierze

Definicja 18. Macierzą o m wierszach i n kolumnach nazywamy prostokątną tablice

A =














a

11

a

12

a

13

. . .

a

1n

a

21

a

22

a

23

. . .

a

2n

a

31

a

32

a

33

. . .

a

3n

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

a

m1

a

m2

a

m3

. . .

a

mn














utworzonych z elementów a

ij

(1

6 i 6 m, 1 6 j 6 n) ustalonego ciała K. Elementy a

ij

macierzy A nazywamy jej

współczynnikami. Na oznaczenie macierzy będziemy także używali symbolu [a

ij

]

m×n

. Symbolem K

m×n

będziemy

oznaczali zbiór wszystkich macierzy o wymiarach m × n, których współczynniki należą do ciała K. Macierze

a

i?

=

h

a

i1

a

i2

a

i3

. . .

a

in

i

∈ K

1×n

oraz

a

?j

=











a

1j

a

2j

a

3j

..

.a

mj











∈ K

m×1

nazywamy, odpowiednio, i-tym wierszem i j-tą kolumną macierzy A.

Przykład 34. Niech

A =





−1

2

−12

0

0

3





oraz

B =





i

2

2

1 − i





.

Macierz A jest macierzą rzeczywistą o 2 wierszach i 3 kolumnach. Macierz B jest macierzą zespoloną o 2

wierszach i 2 kolumnach.

Definicja 19 (rodzaje macierzy). Macierz wymiaru m × n, której wszystkie elementy są zerami nazywamy

macierzą zerową i oznaczamy 0

m×n

lub 0, gdy znamy jej wymiar. Macierz, której liczba wierszy jest równa

liczbie kolumn nazywamy macierzą kwadratową. Elementy macierzy, które mają ten sam numer wiersza i ko-

lumny, tworzą główną przekątną macierzy. Macierz kwadratową, w której wszystkie elementy stojące nad główną

9

przekątną są zerami, nazywamy macierzą trójkątną dolną. Macierz kwadratową, w której wszystkie elementy sto-

jące poniżej głównej przekątnej są zerami, nazywamy macierzą trójkątną górną. Macierz kwadratową, w której

wszystkie elementy nie stojące na przekątną są zerami, nazywamy macierzą diagonalną i oznaczamy ją sym-

bolem diag(a

1

, a

2

, . . . ,a

n

). Macierz diagonalną, w której wszystkie elementy głównej przekatnej są jedynkami,

nazywamy macierzą jednostkową. Macierz jednostkową o wymiarze n × n oznaczamy I

n

lub I, gdy znamy jej

wymiar.

Przykład 35. Niech

A =





0

0

0

0

0

0





, B =





i

2

2

1 − i





,C =








2

0

0

3

−1

0

1

4

−2








,

D =








2

−1

3i

0

−1

9

0

0

−2








, E =








6

0

0

0

−1

0

0

0

−2








, F =





1

0

0

1





.

Macierze A, B, C, D, E i F są odpowiednio macierzą zerową, kwadratową, trójkątną dolną, trójkątną górną,

diagonalną i jednostkową.

Definicja 20. Macierze A = [a

ij

]

m×n

∈ K

m×n

, B = [b

ij

]

k×l

∈ K

k×l

nazywamy równymi i piszemy A = B, gdy

m = k, n = l i a

ij

= b

ij

dla i = 1, . . . , m oraz j = 1, . . . , n.

Definicja 21. Niech A = [a

ij

]

m×n

∈ K

m×n

, B = [b

ij

]

m×n

∈ K

m×n

i α ∈ K. Wówczas

A ± B = [a

ij

± b

ij

]

m×n

oraz

αA = [αa

ij

]

m×n

.

Przykład 36. Niech

A =





−1

2

−12

0

0

3





oraz

B =





2

2

1

2

1

−8





.

Wówczas

A + B =





1

4

−11

2

1

−5





oraz − 3B =





−6

−6

−3

−6

−3

24





.

Twierdzenie 15. Niech A, B, C ∈ K

m×n

, α, β ∈ K oraz 0 będzie macierzą zerową wymiaru m × n. Wówczas

a) A + B = B + A;

b) A + (B + C) = (A + B) + C;

c) A + 0 = 0 + A = A;

d) A + (−1)A = 0;

e) α(A + B) = αA + αB;

f ) (α + β)A = αA + βB;

g) (αβ)A = α(βA);

h) 1 · A = A.

Wniosek 6. Z własności a)-d) wynika, że (K

m×n

, +) jest grupą przemienną.

10

Przykład 37. Wyznaczyć macierz X taką, że

2









i

−i

1

1 − i





+ X





= 3X −





2 − i

i

1

0





.

Definicja 22. Niech A = [a

ij

]

m×n

∈ K

m×n

oraz B = [b

ij

]

n×k

∈ K

n×k

. Wówczas

A · B = [c

ij

]

m×k

, gdzie

c

ij

=

n

X

l=1

a

il

b

lj

dla 1

6 i 6 m oraz 1 6 j 6 k.

Przykład 38.





2

0

1

1

0

−1





·








0

−1

2

−1

3

2








=





3

0

−3

−3









1

−1

−1

0





·





2

1

1

2





=





1

−1

2

−1









2

1

1

2





·





1

−1

−1

0





=





1

−2

−1

−1





.

Uwaga 10. Z powyższego przykładu widzimy, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.

Twierdzenie 16. Dla skalara α i macierzy A, B, C oraz macierzy jednostkowej I zachodzą następujące równości

(pod warunkiem, że występujące w nich działania są wykonalne):

a) A(B + C) = AB + AC;

b) (A + B)C = AC + BC;

c) IA = A i AI = A;

d) (αA)B = A(αB) = α(AB);

e) A(BC) = (AB)C.

Przykład 39. Wyznaczyć X taką, że





1

−2





h

2

3

i

+ X



=





1

−1

−2

2





.

Praktyczny przykład:
Niech macierz A reprezentuje tygodniową produkcje firmy ABAX. Firma ma trzy różne fabryki i wytwarza cztery
różne produkty (załóżmy, że liczymy je w jednostkach po 1000 sztuk). Macierz A ma postać

A =





7

5

0

1

0

4

3

7

3

2

0

2





.

Plan produkcyjny w drugim tygodniu jest inny. Przedstawia go macierz B:

B =





9

4

1

0

0

5

1

8

4

1

1

0





.

Zysk jednostkowy na poszczególnych produktach jest równy 3,9,8,2. Możemy zapisać go w formie macierzy

Z =







3
9
8
2







.

Łączna produkcja w ciągu tych dwóch tygodni wynosi: A + B. Aby obliczyć łączny zysk dla każdej fabryki w
pierwszym tygodniu wykonujemy działanie: A · Z.

11

Definicja 23. Macierzą transponowaną macierzy A = [a

ij

] ∈ K

m×n

nazywamy macierz A

T

= [a

ji

] ∈ K

n×m

dla

i = 1, . . . , n oraz j = 1, . . . , m.

A

T

powstaje z macierzy A przez zamianę wierszy na kolumny i kolumny na wiersze.

Przykład 40.

A =





9

4

1

0

5

2





oraz

A

T

=








9

0

4

5

1

2








.

Definicja 24. Macierz kwadratową A nazywamy macierzą symetryczną, gdy A

T

= A, a jest ona skośnie syme-

tryczna, gdy A

T

= −A.

Twierdzenie 17. Dla dowolnych macierzy A, B ∈ K

m×n

i C ∈ K

n×k

oraz skalara α ∈ K mamy

a) (A

T

)

T

= A;

b) (αA)

T

= αA

T

;

c) (A + B)

T

= A

T

+ B

T

;

d) (AC)

T

= C

T

A

T

.

Definicja 25. Mówimy, że macierz kwadratowa A ∈ K

n×n

jest odwracalna, jeśli istnieje macierz B ∈ K

n×n

,

taka że AB = BA = I

n

.

Przykład 41. Sprawdzić, że macierzą odwrotną do macierzy A jest macierz B, gdzie

A =





3

2

7

5





oraz

B =





5

−2

−7

3





.

Stwierdzenie 3. Jeśli A ∈ K

n×n

i B ∈ K

n×n

, to AB = I

n

wtedy i tylko wtedy, gdy BA = I

n

.

Przykład 42. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy:

A =





5

8

3

5





.

Twierdzenie 18. Jeśli A i B są macierzami odwracalnymi ze zbioru K

n×n

,to

a) macierz A

−1

jest odwracalna i (A

−1

)

−1

= A;

b) macierz A

T

jest odwracalna i (A

T

)

−1

= (A

−1

)

T

;

c) macierz AB jest odwracalna i (AB)

−1

= B

−1

A

−1

.

Przykład 43. Niech macierze A, B i C będą dane. Wyznaczyć X spełnających równanie:

a) AXB = C,

b) (AX)

T

= B,

c) (AX)

−1

= B.

Przykład 44. Uzasadnić, że macierz





1

1

−1

−1





nie ma macierzy odwrotnej.

Definicja 26. Potęge macierzy kwadratowej A ∈ K

n×n

definiujemy przyjmując, że A

0

= I

n

i A

k+1

= A

k

A dla

k > 0.

12

Definicja 27. Jeśli A = [a

ij

] ∈ K

n×n

, to sumę elementów należących do jej głównych przekątnych nazywamy

śladem macierzy A i oznaczamy tr(A).

Przykład 45.

tr















1

2

0

−1

3

9

0

4

−1















= 1 + 3 + (−1) = 3.

Twierdzenie 19. Jeśli A ∈ K

m×n

i B ∈ K

n×m

, to tr(AB) =tr(BA).

Definicja 28. Macierze A, B ∈ K

n×n

nazywamy podobnymi, gdy istnieje macierz odwracalna C ∈ K

n×n

taka,

że B = C

−1

AC. Macierz C nazywamy macierzą podobieństwa macierzy A do macierzy B.

Przykład 46. Macierze A =





4

1

3

2





i B =





1

0

0

5





są podobne, a macierz C =





−1

1

3

1





jest dla nich

macierzą podobieństwa.

Twierdzenie 20. Jeśli macierze kwadratowe A i B są podobne, to tr(A)=tr(B).

Przykład 47. Czy macierze A =





1

−1

2

9





i B =





1

−1

8

5





są podobne?

13