ZMIENNE LOSOWE CIĄGŁE

Maciej Patan

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Uniwersytet Zielonogórski

Metody analizy danych

Zmienne losowe

Zmienne losowe ciągłe

- mogą przyjmować wartości z

nieskończonego i nieprzeliczalnego zbioru (np. przedział liczb
rzeczywistych)

Przykłady

:

I

prędkość samochodu na autostradzie,

I

średnia temperatura latem,

I

amplituda sygnału analogowego,

I

częstotliwość fali elektromagnetycznej,

I

czas przeżywalności po przeszczepie,

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski

1

Metody analizy danych

Zmienne losowe

x

f x

X

( )

a

A

W

b

zdarzenie A Þ XÎBÌR

np. {a„X„b}

P (X ∈ B) =

Z

B

f

X

(x) dx,

∀B ⊂ R

w szczególności dla B = [a, b]:

P (a ¬ X ¬ b) =

Z

b

a

f

X

(x) dx

oraz B = a

P (X = a) =

Z

a

a

f

X

(x) dx = 0

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski

2

Metody analizy danych

Zmienne losowe

Funkcja

gęstości rozkładu prawdopodobieństwa

f

X

(x):

∀x, f

X

(x) ­ 0;

Z

∞

−∞

f

X

(x) dx = P (−∞ ¬ X ¬ ∞) = 1

Uwaga!

: Wartość f

X

(x) nie oznacza prawdopodobieństwa

żadnego szczególnego zdarzenia! W szczególności, może być
f

X

(x) > 1!

Przykład

: GRP może być dowolnie duża:

f

X

(x) =







1

2

√

x

,

0 < x ¬ 1

0,

w przeciwnym razie

Z

∞

−∞

f

X

(x) dx =

Z

1

0

1

2

√

x

dx =

√

x





1

0

= 1

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski

3

Metody analizy danych

Zmienne losowe

Wartość oczekiwana

E(X) =

Z

∞

−∞

xf

X

(x) dx

Przykłady

:

1) Dla rozkładu f

X

(x) =







1

2

√

x

,

0 < x ¬ 1

0,

w przeciwnym razie

E(X) =

Z

1

0

x

2

√

x

dx =

1
3

x

3/2





1

0

=

1
3

2) Dla rozkładu f

X

(x) =







1

x

2

,

1 ¬ x

0,

x < 1

E(X) =

Z

∞

1

x

x

2

dx = ln(x)





∞

1

= ∞

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski

4

Metody analizy danych

Zmienne losowe

Ogólnie

E[g(X)] =

Z

∞

−∞

g(x)f

X

(x) dx

Wariancja

var(X) = E

h

X − E(X)



2

i

=

Z

∞

−∞

(X − E(X))

2

f

X

(x) dx

1)

var(X) = E(X

2

) − (E(X))

2

> 0,

2)

E(aX + b) = a E(X) + b,

3)

var(X) = a

2

var(X).

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski

5

Metody analizy danych

Zmienne losowe

Rozkłady zmiennej losowej ciągłej

I. Rozkład jednostajny (prostokątny, równomierny)

Przykład

: Hazardzista kręci kołem fortuny, wyskalowanym w

sposób ciągły między 0 a 1. Zakładając, że wszystkie
podprzedziały tej samej długości są jednakowo
prawdopodobne, mamy

f

X

(x) =







c,

gdy 0 ¬ x ¬ 1,

0,

w przeciwnym razie

Jak określić c?

1 =

Z

∞

−∞

f

X

(x) dx =

Z

1

0

c dx = c

Z

1

0

dx = c

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski

6

Metody analizy danych

Zmienne losowe

Ogólnie:

f

X

(x) =

(

1

b−a

,

gdy a ¬ x ¬ b,

0,

w przeciwnym razie

a

b

0

1/(b−a)

E(X) =

Z

∞

−∞

xf

X

(x) dx =

Z

b

a

x

1

b − a

dx =

1

2(b − a)

x

2




b

a

=

a + b

2

E(X

2

) =

Z

b

a

x

2

b − a

dx =

1

3(b − a)

x

3




b

a

=

a

2

+ ab + b

2

3

var(X) = E(X

2

) − (E(X))

2

=

(b − a)

2

12

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski

7

Metody analizy danych

Zmienne losowe

II. Rozkład wykładniczy (λ > 0)

f

X

(x) =







λe

−λx

,

x ­ 0

0,

w przeciwnym razie

I

używany do modelowania czasu oczekiwania na
nastąpienie danego zjawiska (wystąpienia wypadku,
przepalenia się żarówki, rozpadu promieniotwórczego itd.)

Z

∞

−∞

f

X

(x) dx =

Z

∞

0

λe

−λx

dx = −e

−λx





∞

0

= 1

E(X) =

Z

∞

0

xλe

−λx

dx =

1

λ

,

var(X) =

1

λ

2

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski

8

Metody analizy danych

Zmienne losowe

λ = 0,25

λ = 4

0

1

2

3

4

5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0

1

2

3

4

5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski

9

Metody analizy danych

Zmienne losowe

Przykład

: Czas do momentu, gdy mały meteoryt spadnie gdziekolwiek na

Saharze modeluje się z.l. o rozkładzie wykładniczym o średniej 10 dni. W
tej chwili jest północ. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że meteoryt
spadnie pomiędzy 6:00 a 18:00 pierwszego dnia?

1

λ

= 10 ⇒ λ = 0,1,

P (X ­ a) = P (X > a) = e

−λa

P (

1
4

¬ X ¬

3
4

) = P (X ­

1
4

) − P (X >

3
4

) = e

−1/40

− e

−3/40

= 0,0476

A jakie jest prawdopodobieństwo, że meteoryt spadnie między 6:00 a
18:00 któregoś dnia?

∞

X

k=1

P (k −

3
4

¬ X ¬ k −

1
4

) =

∞

X

k=1

P (X ­ k −

3
4

) − P (X >

1
4

)

=

∞

X

k=1

(e

(4k−3)/40

− e

(4k−1)/40

) = 0,4998

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski

10

Metody analizy danych

Zmienne losowe

III. Rozkład normalny N (µ, σ)

f

X

(x) =

1

σ

√

2π

e

−

(x−µ)2

2σ2

I

rozkład o największym znaczeniu praktycznym,
reprezentujący najczęściej stosowany rozkład błędów
pomiarowych.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

σ

=0.5

σ

=3

σ

=1

µ

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski

11

Metody analizy danych

Zmienne losowe

Dystrybuanta rozkładu normalnego

Φ(x) = P (X < x) =

Z

x

−∞

1

σ

√

2π

e

−

(y−µ)2

2σ2

dy

nie ma postaci analitycznej =⇒ konieczna jest tabelaryzacja Φ.

0

0.25

0.5

0.75

1

σ

=0.5

σ

=1

σ

=3

µµ

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski

12

Metody analizy danych

Zmienne losowe

Standaryzacja rozkładu normalnego N (0, 1):

X ∼ N (µ, σ) ⇒ Y =

x − µ

σ

∼ N (0, 1)

Przykład

: Temperatura średnia w pewnym mieście dana jest

rozkładem normalnym T ∼ N (15

◦

C, 2

◦

C). Jakie są szanse, że

przekroczy ona w danym dniu 20

◦

C?

P (T < 20) = P



T −15

2

<

20−15

2



= P (Y < 2,5) = Φ

Y

(2,5) = 0,993

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski

13

Metody analizy danych

Zmienne losowe

Przykład

: Zamierzony termin wykonania pewnego procesu

produkcyjnego dany jest rozkładem normalnym X ∼ N (50, 5).

a)

Ile wynosi prawdopodobieństwo skończenia prac przed 46
dniem?

b)

Jaki jest maksymalny termin realizacji zadania na
poziomie ufności 97%?

a) P (X < 46) = Φ



46−50

5



= Φ(−0,8) = 1 − Φ(0,8)

= 1 − 0,788 = 0,212

b) P (Y < Y

max

) = 0, 97 ⇒ Y

max

= 1,88 =

X

max

− 50

5

⇒

⇒ X

max

= 50 + 1,88 · 5 = 59,4 dni

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski

14